【考点】2020年中考考点讲练案：第09讲 不等式(组)及其应用 (教师版)

第09讲不等式（组）及其应用
一、考点知识梳理
【考点1 不等式的概念及性质】
1．不等式：一般地，用不等号连接的式子叫做不等式．
2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．
3．不等式的基本性质：
性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；
性质2：不等式两边同乘(或除以)以一个正数，不等号的方向不变；
性质3：不等式两边同乘(或除以)以一个负数，不等号的方向改变．
【考点2 一元一次不等式及其解法】
1．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，其一般形式是ax＋b>0或ax＋b<0(a≠0)．
2．解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1. 3．一元一次不等式的解集在数轴上的表示
解集在数轴上的表示
x<a
x>a
x≤a
x≥a
【考点3 一元一次不等式组及其解法】
1．一元一次不等式组：含有相同未知数的若干一元一次不等式（一般是两个）所组成的不等式组叫做一元一次不等式组．
2．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分．
3．解一元一次不等式组的步骤：(1)先求出各个不等式的解集；(2)再利用数轴找它们的公共部分；(3)写出不等式组的解集．
4.求不等式(组)的特殊解，一方面要先求不等式(组)的解集，然后在解集中找特殊解．
【考点4 一元一次不等式（组）的应用】
列不等式(组)解应用题的步骤：(1)找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式(组)；(2)解不等式(组)；(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案．
二、考点分析
【考点1 不等式的概念及性质】
【解题技巧】不等式的基本性质是不等式变形的重要依据，性质3——不等号的方向会发生改变这是不等式独有的性质．
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
【例1】（2019 上海中考）如果m＞n，那么下列结论错误的是（）
A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n
【答案】D．
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【解答】解：∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
故选：D．
【举一反三1-1】（2019 山东淄博中考模拟）若x＞y，则下列式子中错误的是(D)
A．x－3＞y－3 B．3x＞3y C．x＋3＞y＋3 D．－3x＞－3y
【答案】D．
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【解答】A是在不等式x＞y的两边都减去3，是正确的
B是在不等式x＞y 的两边都乘以3，是正确的
C是在不等式x＞y 的两边都加上3，是正确的
D是在不等式x＞y的两边都乘以-3，是错误的
故选：D．
【举一反三1-2】（2019辽宁葫芦岛中考模拟）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图3所示，则他们的体重大小关系是（）
A P R S Q >>>
B Q S P R >>>
C S P Q R >>>
D S P R Q >>>
【答案】D ．
【分析】根据不等式的性质即可求出答案． 【解答】跷跷板不平衡时是不等量关系，要注意较低的那边重些，解决此类问题常通过不等式(组)来转换，由图知 S>P ，P>R ，P+R>Q+S ，所以
S>P>R>S
选D
【举一反三1-3】（2019•广东佛山中考模拟）现有不等式的性质：
①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；
②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变．
请解决以下两个问题：
（1）利用性质①比较2a 与a 的大小（a ≠0）；
（2）利用性质②比较2a 与a 的大小（a ≠0）．
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【解答】（1）a ＞0时，a+a ＞a+0，即2a ＞a ，
a ＜0时，a+a ＜a+0，即2a ＜a ；
（2）a ＞0时，2＞1，得2•a ＞1•a ，即2a ＞a ；
a ＜0时，2＞1，得2•a ＜1•a ，即2a ＜a ．
【考点2 一元一次不等式及其解法】
【解题技巧】(1)已知一元一次不等式(组)的解集，确定其中字母的取值范围的方法是：①逆用不等式(组)的解集确定；②分类讨论确定；③从反面求解确定；④借助于数轴确定．
(2)根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
【例2】（2019 辽宁大连中考）不等式5x +1≥3x ﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C．D．
【答案】B．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：5x+1≥3x﹣1，
移项得5x﹣3x≥﹣1﹣1，
合并同类项得2x≥﹣2，
系数化为1得，x≥﹣1，
在数轴上表示为：
故选：B．
【举一反三2-1】（2019•呼和浩特）若不等式﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是（）
A．m＞﹣B．m＜﹣C．m＜﹣D．m＞﹣
【答案】C．
【分析】求出不等式﹣1≤2﹣x的解，求出不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得出关于m 的不等式，求出m即可．
【解答】解：解不等式﹣1≤2﹣x得：x≤，
∵不等式﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，∴x＜，
∴＞，
解得：m＜﹣，
故选：C．
【举一反三2-2】（2019•长春）不等式﹣x+2≥0的解集为（）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥2 D．x≤2
【答案】D．
【分析】直接进行移项，系数化为1，即可得出x的取值．
【解答】解：移项得：﹣x≥﹣2
系数化为1得：x≤2．
故选：D．
【举一反三2-3】（2019吉林中考）不等式3x﹣2＞1的解集是．
【答案】x＞1．
【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2再除以3，不等号的方向不变．
【解答】解：∵3x﹣2＞1，
∴3x＞3，
∴x＞1，
∴原不等式的解集为：x＞1．
故答案为x＞1．
【举一反三2-4】（2019 河北保定中考模拟）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a－b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5.若3⊕x 的值小于13，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．
【分析】利用不等式的基本性质，按照解不等式的步骤给以变形．
【解答】由3⊕x小于13，得3(3－x)＋1<13，
去括号，得9－3x＋1＜13，
移项合并，得－3x＜3，解得x>－1.
在数轴上表示如图．
【举一反三2-5】（2019 江苏南京中考）已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．
（1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围．
（2）当x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）解不等式﹣2x+2＞x﹣3即可；
（2）先计算出x＝1对应的y2的函数值，然后根据x＜1时，一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）的图象在直线y2＝x﹣3的上方确定k的范围．
【解答】解：（1）k＝﹣2时，y1＝﹣2x+2，
根据题意得﹣2x+2＞x﹣3，
解得x＜；
（2）当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，把（1，﹣2）代入y1＝kx+2得k+2＝﹣2，解得k＝﹣4，
当﹣4≤k＜0时，y1＞y2；
当0＜k≤1时，y1＞y2．
【考点3 一元一次不等式组及其解法】
【解题技巧】解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利
用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
【例3】（2019 山西中考）不等式组的解集是（）
A．x＞4 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1
【答案】A．
【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出其公共解集．
【解答】解：，
由①得：x＞4，
由②得：x＞﹣1，
不等式组的解集为：x＞4，
故选：A．
【举一反三3-1】（2019 甘肃中考）不等式组的最小整数解是．
【答案】0．
【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
则最小的整数解为0，
故答案为：0
【举一反三3-2】（2019 河南中考）不等式组的解集是．
【答案】x≤﹣2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式≤﹣1，得：x≤﹣2，
解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，
则不等式组的解集为x≤﹣2，
故答案为：x≤﹣2．
【举一反三3-3】（2019 湖北黄石中考）若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组
，求点P所在的象限．
【分析】先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限．
【解答】解：，
解①得：x≥4，
解②得：x≤4，
则不等式组的解是：x＝4，
∵＝1，2x﹣9＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，﹣1），
∴点P在的第四象限．
【举一反三3-4】（2019天津中考）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得；
（Ⅱ）解不等式②，得；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．
故答案为：x≥﹣2，x≤1，﹣2≤x≤1．
【举一反三3-5】（2019浙江温州中考）不等式组的解为．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
由①得，x＞1，
由②得，x≤9，
故此不等式组的解集为：1＜x≤9．
故答案为：1＜x≤9．
【考点4 一元一次不等式（组）的应用】
【解题技巧】（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
【例4】（2019•哈尔滨）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；
（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？
【分析】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：，求解即可；
（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，即可求解；
【解答】解：（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，
根据题意得：，
∴，
∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；
（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，
根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，
∴z≤25，
∴最多可以购买25副围棋；
【举一反三4-1】（2019•台湾）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧购买10盒蛋糕，花费的金额不超过2500元．若他将蛋糕分给75位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？（）
A．2150 B．2250 C．2300 D．2450
【答案】D．
【分析】可设阿慧购买x盒桂圆蛋糕，则购买（10﹣x）盒金爽蛋糕，根据不等关系：①购买10盒蛋糕，花费的金额不超过2500元；②蛋糕的个数大于等于75个，列出不等式组求解即可．
【解答】解：设阿慧购买x盒桂圆蛋糕，则购买（10﹣x）盒金爽蛋糕，依题意有
，
解得2≤x≤3，
∵x是整数，
∴x＝3，
350×3+200×（10﹣3）
＝1050+1400
＝2450（元）．
答：阿慧花2450元购买蛋糕．
故选：D．
【举一反三4-2】（2015 .河北中考）水平放置的容器内原有210 mm高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4 mm，每放入一个小球水面就上升3 mm，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y mm.
(1)只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式；(不必写出x大的范围)
(2)仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小．
①求y与x小的函数关系式；(不必写出x小的范围)
②限定水面高不超过260 mm，最多能放入几个小球？
【分析】水面高度与球的个数是一次函数关系
【解答】(1)y ＝4x 大＋210；
(2)①当x 大＝6时，y ＝4×6＋210＝234，
∴y ＝3x 小＋234；
②依题意，得3x 小＋234≤260，
解得x 小≤823
， ∵x 小为自然数，∴x 小最大为8，
即最多能放入8个小球．
【举一反三4-3】（2019 湖北孝感中考）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A 、B 两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B 型一体机的价格比每套A 型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A 型一体机和200套B 型一体机．
（1）求今年每套A 型、B 型一体机的价格各是多少万元？
（2）该市明年计划采购A 型、B 型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A 型一体机的价格比今年上涨25%，每套B 型一体机的价格不变，若购买B 型一体机的总费用不低于购买A 型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
【分析】（1）直接利用今年每套B 型一体机的价格比每套A 型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A 型一体机和200套B 型一体机，分别得出方程求出答案；
（2）根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案．
【解答】解：（1）设今年每套A 型一体机价格为x 万元，每套B 型一体机的价格为y 万元，
由题意可得：，
解得：，
答：今年每套A 型的价格各是1.2万元、B 型一体机的价格是1.8万元；
（2）设该市明年购买A 型一体机m 套，则购买B 型一体机（1100﹣m ）套，
由题意可得：1.8（1100﹣m ）≥1.2（1+25%）m ，
解得：m ≤600，
设明年需投入W 万元，
W ＝1.2×（1+25%）m +1.8（1100﹣m ）
＝﹣0.3m +1980，
∵﹣0.3＜0，
∴W随m的增大而减小，
∵m≤600，
∴当m＝600时，W有最小值﹣0.3×600+1980＝1800，
故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划．
【举一反三4-4】（2019 福建中考）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．（1）求该车间的日废水处理量m；
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．
【分析】（1）求出该车间处理35吨废水所需费用，将其与350比较后可得出m＜35，根据废水处理费用＝该车间处理m吨废水的费用+第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设一天产生工业废水x吨，分0＜x≤20及x＞20两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵35×8+30＝310（元），310＜350，
∴m＜35．
依题意，得：30+8m+12（35﹣m）＝370，
解得：m＝20．
答：该车间的日废水处理量为20吨．
（2）设一天产生工业废水x吨，
当0＜x≤20时，8x+30≤10x，
解得：15≤x≤20；
当x＞20时，12（x﹣20）+8×20+30≤10x，
解得：20＜x≤25．
综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤20．
三、【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 云南中考）若关于x的不等式组的解集是x＞a，则a的取值范围是（）
A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2
【答案】D．
【分析】根据不等式组的解集的概念即可求出a的范围．
【解答】解：解关于x的不等式组得
∴a≥2
故选：D．
2.（2019•日照）把不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再把不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：
解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x＜1，
故不等式组的解集为：﹣3≤x＜1，
在数轴上表示为：
故选：C．
3.（2019•广东佛山中考模拟）一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（）
A．4 B． 5 C．6 D． 7
【答案】C．
【分析】根据解不等式组的方法即可
【解答】∵解不等式2x+1＞0得：x ＞﹣
21， 解不等式x ﹣5≤0得：x≤5， ∴不等式组的解集是﹣2
1＜x≤5， 整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，
故选C ．
4.（2019 安徽中考）已知三个实数a ，b ，c 满足a ﹣2b +c ＝0，a +2b +c ＜0，则（ ）
A ．b ＞0，b 2﹣ac ≤0
B ．b ＜0，b 2﹣ac ≤0
C ．b ＞0，b 2﹣ac ≥0
D ．b ＜0，b 2﹣ac ≥0
【答案】D ．
【分析】根据a ﹣2b +c ＝0，a +2b +c ＜0，可以得到b 与a 、c 的关系，从而可以判断b 的正负和b 2﹣ac 的正负情况，本题得以解决．
【解答】解：∵a ﹣2b +c ＝0，a +2b +c ＜0，
∴a +c ＝2b ，b ＝， ∴a +2b +c ＝（a +c ）+2b ＝4b ＜0，
∴b ＜0，
∴b 2﹣ac ＝
＝﹣ac ＝＝≥0，
即b ＜0，b 2﹣ac ≥0，
故选：D ．
5.（2019 河北沧州中考模拟）已知点P （a +1，2a ﹣3）在第一象限，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＜﹣1
B ．﹣1＜a ＜
C ．﹣＜a ＜1
D ．a ＞ 【答案】D ．
【分析】根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：∵点P （a +1，2a ﹣3）在第一象限，
∴， 解得：a ＞，
故选：D ．
6.（2019 山东淄博中考模拟）数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x ]表示不超过x 的最大整数，如：[π]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，给出如下结论：
①[﹣x]＝﹣x；
②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n+1；
③当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2；
④x＝﹣2.75是方程4x﹣2[x]+5＝0的唯一一个解．
其中正确的结论有（）
A．①②B．②③C．①③D．③④
【答案】B．
【分析】①可举反例；②可根据题意中的规定判断；③当﹣1＜x＜0，x＝0，0＜x＜1时，分类讨论得结论；
④根据x的取值范围，求出方程的解后判断．
【解答】解：因为[﹣3.1]＝﹣4≠﹣3，所以[﹣x]≠﹣x，故①错误；
若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n+1，故②是正确的；
当﹣1＜x＜0时，[1+x]+[1﹣x]＝0+1＝1，
当x＝0时，[1+x]+[1﹣x]＝1+1＝2，
当0＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]＝1+0＝1，综上③是正确的；
由题意，得0≤x﹣[x]＜1，
4x﹣2[x]+5＝0，
2x﹣[x]+＝0，
x﹣[x]＝﹣x﹣，
∴0≤﹣x﹣＜1，
∴﹣3.5＜x≤﹣2.5．
当﹣3.5＜x＜﹣3时，方程变形为4x﹣2×（﹣4）+5＝0，
解得x＝﹣3.25；
当﹣3≤x≤﹣2.5时，方程变形为4x﹣2×（﹣3）+5＝0，
解得x＝﹣2.75；
所以﹣3.25与﹣2.75都是方程4x﹣2[x]+5＝0的解．故④是错误的．
故选：B．
7.（2019 河北衡水中考模拟）一元一次不等式组的最大整数解是（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】C．
【分析】求出不等式组的解集，即可求出正最大整数解；
【解答】解：，
由①得到：2x+6﹣4≥0，
∴x≥﹣1，
由②得到：x+1＞3x﹣3，
∴x＜2，
∴﹣1≤x＜2，
∴最大整数解是1，
故选：C．
8.（2019 重庆中考）若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的分式方程﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）
A．0 B．1 C．4 D．6
【答案】B．
【分析】先解关于x的一元一次不等式组，再根据其解集是x≤a，得a小于5；再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出a的值，再求和即可．
【解答】解：由不等式组得：
∵解集是x≤a，
∴a＜5；
由关于y的分式方程﹣＝1得2y﹣a+y﹣4＝y﹣1
∴y＝，
∵有非负整数解，
∴≥0，
∴a≥﹣3，且a＝﹣3，a＝﹣1（舍，此时分式方程为增根），a＝1，a＝3
它们的和为1．
故选：B．
（二）填空题
1.（2019•呼和浩特）对任意实数a，若多项式2b2﹣5ab+3a2的值总大于﹣3，则实数b的取值范围是．【答案】﹣6＜b＜6．
【分析】将已知转化为对任意实数a，3a2﹣5ab+2b2+3＞0恒成立，利用△＜0即可求解．
【解答】解：由题意可知：2b2﹣5ab+3a2＞﹣3，
∴3a2﹣5ab+2b2+3＞0，
∵对任意实数a，3a2﹣5ab+2b2+3＞0恒成立，
∴△＝25b2﹣12（2b2+3）＝b2﹣36＜0，
∴﹣6＜b＜6；
故答案为﹣6＜b＜6．
2.（2019•沈阳）二元一次方程组的解是．
【答案】﹣6＜b＜6．
【分析】通过观察可以看出y的系数互为相反数，故①+②可以消去y，解得x的值，再把x的值代入①或②，都可以求出y的值．
【解答】解：，
①+②得：4x＝8，
解得x＝2，
把x＝2代入②中得：2+2y＝5，
解得y＝1.5，
所以原方程组的解为．
故答案为．
3.（2019辽宁绥中中考模拟）一辆公交车每月的支出费用为3000元，乘车平均票价为1.5元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元，当每月乘客量达到人以上时，该公交车才不会亏损．【答案】2000．
【分析】设当每月乘客量达到x人以上时，该公交车才不会亏损，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：设当每月乘客量达到x人以上时，该公交车才不会亏损，
则1.5x﹣3000≥0，
解得：x≥2000，
故答案为：2000．
4.（2019 山西大同中考模拟）已知m，n都是正整数，且是整数．若的最大值是a，最小值是b，则a+b＝．
【答案】1.8．
【分析】将的分子与分母同除以m得，由是整数，则6﹣3×可以等于±1，±2，±4共6个值．由于6﹣3×的最大值为4，此时最小，即＝；反之6﹣3×的最小值为﹣4，最大，即＝；从而可求出a，b的值，代入即可．
【解答】解：∵＝是整数，
∴6﹣3×＝±1或±2或±4，
∴6﹣3×的最大值为4，此时最小＝，即的最大值为；
6﹣3×的最小值为﹣4，此时最大＝，即的最小值为；
∵的最大值是a，最小值是b，
∴a＝，b＝；
∴a+b＝+＝1.8．
故答案为：42，6．
5.（2019 河南安阳中考模拟）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是，小朋友的人数是．
【答案】1.8．
【分析】设小朋友为x人，根据每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，表示出苹果的个数，再由每位小朋友分8个苹果，根据人数为x人，用总苹果数减去前x﹣1人、每人8个所分的苹果数，即为最后一名小朋友分到的苹果数，再利用最后一位小朋友分到了苹果，但不足5个列出关于x的不等式，求出不等式的解集，在解集中找出正整数解得到x的值，即为小朋友的人数，即可得到一箱苹果的个数．
【解答】解：设有x位小朋友，则苹果为（5x+12）个，
依题意得：0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜5，
可化为：，
解得：5＜x＜，
∵x是正整数，
∴x＝6，
当x＝6时，5x+12＝42；
∴这一箱苹果有42个，小朋友有6位，
故答案为：42，6．
6.（2019 山东青岛中考模拟）某次知识竞赛共有20道题，每答对一题得5分，答错或不答的题都扣3分．小亮获得二等奖（70～90分），则小亮答对了道题．
【答案】17或18．
【分析】先设小亮答对了x道题，则小亮的得分是5x﹣3（20﹣x），再根据小亮获得二等奖（70～90分），列出不等式组，求出解集，最后根据x只能取整数即可得出答案．
【解答】解：设小亮答对了x道题，根据题意得：
，
解得：≤x≤，
∵x只能取整数，
∴x＝17或18；
故答案为：17或18．
7.（2019 河北张家口中考模拟）1月份，A型汽油均价为5.7元/升，B型汽油均价为6元/升，某汽车租赁公司购买这两种型号的汽油共支付40800元；2月份，这两种型号的汽油均价都上调了0.6元/升，该公司要购买与1月份A型汽油和B型汽油数量都相同的汽油就需多支付费用．
（1）若多支付的费用不超过4200元，那么该公司1月或2月最多可购买A型汽油升？
（2）3月份，该公司A型汽油的购买量在（1）小题中2月份最多购买量的基础上减少了m%，但A型汽油的均价在2月份的基础上上调了元，因此3月份支付A种型号汽油的费用与（1）小题中2月份支付最多数量A型汽油的费用相同，则m=．
【答案】37．
【分析】（1）先根据1月份的A型数量表示B型汽油的数量，由多支付的费用不超过4200元，列不等式可得x的取值，可得结果；
（2）根据（1）的数据表示出3月份的购买量和价格，算出总费用列出方程解答即可．
【解答】解：（1）设1月份可购买A型汽油x升，则1月份购买B型汽油的升数为：（40800﹣5.7x）＝（6800﹣0.95）升，
由题意得，0.6x+0.6（6800﹣0.95x）≤4200，
解得，x≤4000，
答：该公司1月或2月最多可购买A型汽油4000升．
（2）由题意可列方程，
4000（1﹣m%）×（5.7+0.6+）＝4000×（5.7+0.6），
即4000（1﹣m%）×（6.3+）＝4000×6.3，
解得m1＝37，m2＝0（舍去），
∴m的值为37．
答：m的值为37．
8.（2019 山东济南中考模拟）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞2．求k的取
值范围．
【答案】k＞3．
【分析】①+②求出3x+3y＝3k﹣3，根据已知得出不等式k﹣1＞2，求出即可．
【解答】解：，
∵①+②得：3x+3y＝3k﹣3，
∴x+y＝k﹣1，
∵关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞2，
∴k﹣1＞2，
∴k的取值范围是k＞3．
（三）解答题
1.（2019•南通）解不等式﹣x＞1，并在数轴上表示解集．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项可得．
【解答】解：4x﹣1﹣3x＞3，
4x﹣3x＞3+1，
x＞4，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
2.（2019•济南）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：
解①得：x≤4；
解②得：x＞2；
∴原不等式组的解集为2＜x≤10；
∴原不等式组的所有整数解为3、4、5、6、7、8、9、10．
3.（2019 辽宁大连中考）如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知铁环粗0.5厘米，每个铁环长
4.6厘米，设铁环间处于最大限度的拉伸状态
（1）填表：
铁环个数1234
链条长（cm） 4.68.211.815.4
（2）设n个铁环长为y厘米，请用含n的式子表示y；
（3）若要组成2.17米长的链条，至少需要多少个铁环？
【分析】（1）根据铁环粗0.5厘米，每个铁环长4.6厘米，进而得出3个/4个铁环组成的链条长；
（2）根据铁环与环长之间的关系进而得出y与n的关系式；
（3）由（2）得，3.6n+1≥217，进而求出即可．
【解答】解：（1）由题意可得：3×4.6﹣4×0.5＝11.8（cm），
故3个铁环组成的链条长为11.8cm．
4×4.6﹣6×0.5＝15.4（cm），
故4个铁环组成的链条长为15.4cm．
故答案为：11.8；15.4；
（2）由题意得：y＝4.6n﹣2（n﹣1）×0.5，
即y＝3.6n+1；
（3）据题意有：3.6n+1≥217，
解得：n≥60，
答：至少需要60个铁环．
4.（2019 河北沧州中考模拟）为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准见表：
某居民五月份用电190千瓦时，缴纳电费90元．
(1)求x和超出部分电费单价；
(2)若该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元，求该户居民六月份的用电量范围．
【分析】先列方程求出不超过160千瓦时的部分的电费价格，然后列不等式求出该户居民六月份的用电量的范围。

【解答】：(1)根据题意，得
160x＋(190－160)(x＋0.15)＝90，
解得x＝0.45，
则超出部分的电费单价为x＋0.15＝0.6元/千瓦时；
(2)设该户居民六月份的用电量为a千瓦时．
则75≤160×0.45＋0.6(a－160)≤84，
解得165≤a≤180.
则该户居民六月份的用电量范围为165千瓦时到180千瓦时．
5.（2019•宁夏）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣≥1，得：x≥4，
解不等式＜x+2，得：x＞﹣7，
则不等式组的解集为x≥4．
6.（2019•青海）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨．
（1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；
（2）若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费为600元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？。