八年级下期角平分线新课讲义

八年级下期角平分线新课讲义
1.4角平分线
学习目标：
1、通过学习角平分线定理及逆定理的过程，掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以
及掌握该定理在三角形中的应用；
2、通过探索与证明，进一步发展推理意识及能力；
3、证明是严密推理的方法，并培养自身的逆向思维能力；
4、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。

学习重（难）点：
1、掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。

2、掌握三角形三条角平分线的性质定理并进行证明。

学习过程：
一、前置准备
1、角平分线性质定理。

2、角平分线判定定理（逆定理）：。

3、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边得距离。

4、引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S= 。

5、运用角平分线性质时，应注意两点：（1）交代清楚角平分线及角平分线上的点到两边的距离；（2）运用角平分线性质时可省去证明三角形全等的过程，直接写线段相等。

6、（1）由角平分线的性质联想两线段相等（2）由角平分线的轴对称性构造全等三角形（3）过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形
二、例题解析：
1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE=DC，求证BE=CF
2、如图所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=DC，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°
3、△ABC中，AC=BC, ∠C=900，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。

（1）已知：CD=4cm,求AC长（2）求证：AB=AC+CD
4、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．
（3）若将条件“M是BC的中点”改为“AM平分∠DAB”，试说明BM=CM
5、如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2006，最少经过次操作．
6、对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，
作，分别延长A
B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其
面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5= 。

7、如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1：10 000，用尺规作图）．（2）求出仓库G到铁路的实际距离．
三、当堂训练：
1、下列各语句中不正确的是（）
A、全等三角形的对应角相等 C、到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B、全等三角形的周长相等 D、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等
2、设a，b为实数，下面四个命题．①若a＞b，则a2＞b2；②若a2＞b2，则a＞b；③若|a|＞|b|，则a2
＞b2；④若a2＞b2，则|a|＞|b|．其中正确的有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
图1 图2 图3
3、如图1，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离
相等，则供选择的地址有（）
A、1处
B、2处
C、3处
D、4处
4、如图2，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使P到OA，OB的距离都等于a，做法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=a，H为垂足．（2）过N作NM∥OB．（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于P．（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（）
A、平行线之间的距离处处相等
B、到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C、到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
D、角的平分线上的点到角的两边的距离相等
5、如图3，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AC=6cm，则BD+DE的
和为（）
A、5cm
B、6cm
C、7cm
D、8cm
6、能把一个三角形分成面积相等的两部分的是该三角形的一条（）
A、中线
B、角平分线
C、高线
D、边的垂直平分线
7、自点O顺时针做四条射线OA、OB、OC、OD，已知∠AOB=90°，∠AOD和∠BOC的角平分线分别是OM和
ON，且∠MON=150°，则∠COD的度数是
8、如图1是一副三角尺拼成的图案。

（1）则∠EBC的度数为度；（2）将图1中的三角尺ABC绕点
B旋转α度（0°＜α＜90°）能否使∠ABE=2∠DBC．若能，则∠EBC的度数为度；若不能，说明理由．（图2、图3供参考）
9、判断题
（1）、角平分线是角的对称轴
（2）、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形
（3）、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个
（4）、到角两边距离不相等的一点一定不在角平分线上
中考真题：
1、如图，梯形ABCD，AD=DC=CB，AD、BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）（2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由。

2、三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置。

3、已知如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且2AE=（AB+AD），求证：∠B与
∠D互补。

4、在△ABC中,∠B、∠C的平分线相交于点O,（1）当在∠A=50°时，求∠BOC的度数；（2）若∠A=90°，
∠BOC的度数是多少？（3）若∠A=130°，∠BOC的度数是多少？你发现了什么规律？
5、如图,△ABC中（AB≠AC）,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF//BA,交AE于点F,AE平分∠BAC，求证：
DF=AC。