初三数学用推理方法研究四边形教案示例五 华东师大版

初三数学用推理方法研究四边形教案示例五
知识技能目标
1.掌握等腰梯形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是等腰梯形；
2.能运用等腰梯形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．
过程性目标
经历探索等腰梯形有关性质与判定条件的过程，巩固梯形中常见添线方法，进一步发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教学过程
一、创设情景
在第12章中，我们已学过等腰梯形的一些性质．现在也可以用逻辑推理的方法来证明这些性质．
二、探究归纳
定理等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等．
已知：如图27.3.8，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．
求证：∠ABC＝∠DCB，∠BAD＝∠CDA．
图27.3.8
分析可以过点D作DE∥AB，交BC于E．
（请学生写出完整的证明过程）
定理等腰梯形的两条对角线相等．
已知：如图27.3.9，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．
求证：AC＝BD．
图27.3.9
分析可以通过证明△ABC≌△DCB得出结论．
（请学生写出完整的证明过程）
我们同样可以探索一个梯形具备哪些条件才能成为等腰梯形．
定理同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．
已知：如图27.3.10，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．
求证：四边形ABCD是等腰梯形．
图
27.3.10
证明 过点D 作DE ∥AB ，交BC 于E ，则
∠B ＝∠DEC （两直线平行，同位角相等）．
因为∠B ＝∠C ，
所以∠DEC ＝∠C ，
所以DE ＝DC （等角对等边）．
因为AD ∥BC ，DE ∥AB ，
所以四边形ABED 是平行四边形（平行四边形的定义），
所以AB ＝DE （平行四边形的对边相等）．
因此 AB ＝DC ，
即四边形ABCD 是等腰梯形．
我们还可以得到：
定理两条对角线相等的梯形是等腰梯形．
三、实践应用
例1 用图中所示的辅助线的方法，证明同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形． B D
C
E
A
已知：如图27.3.10，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠C ．
求证：四边形ABCD 是等腰梯形．
证明 延长BA 和CD 交于E ．
因为∠B ＝∠C ，
所以BA ＝CE ．
有因为AD ∥BC ，
所以∠B ＝∠EAD ，∠C ＝∠EDA ，
所以∠EAD ＝∠EDA ．
所以AE ＝DE ．
所以BE -BA ＝CE -CD ，
即AB ＝CD ，
所以四边形ABCD 是等腰梯形．
例2 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ＝BC ，且AC ⊥BD ，CH 是高．
求证：AB +CD ＝2CH ． H B D
A O E
C
证明 过C 作CE ∥DB ，交AB 的延长线于E ．
因为AB ∥DC ，CE ∥DB ，
所以四边形DBEC 是平行四边形．
所以CD ＝BE ，CE ＝BD ．
又因为等腰梯形ABCD ，
所以AC ＝BD ，
所以AC ＝CE ．
又因为CH 是高，
所以AH ＝HE ．
因为AC ⊥BD ，CE ∥DB ，
所以AC ⊥CE ．
所以2CH ＝AE ＝AB +BE ＝AB +DC ，
即AB +DC ＝2CH ．
四、交流反思
1.等腰梯形的性质：
(1)由定义得等腰梯形的两腰相等；
(2)等腰梯形是轴对称图形；
(3)等腰梯形的两条对角线相等；
(4)等腰梯形同一底上两个内角相等．
2.等腰梯形的判定：
(1)由定义得两腰相等的梯形是等腰梯形；
(2)同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形；
(3)两条对角线相等的梯形是等腰梯形．
(4)常见的添线方法：
五、检测反馈
1.用图中所示的添辅助线的方法，证明等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等．
(第1题)
2.已知等腰梯形的一个底角为60°，它的两底分别是6 cm、16 cm．求这个等腰梯形的周长．
3.求证：两条对角线相等的梯形是等腰梯形．。