最新-【数学】江西省白鹭洲中学2018学年高二下学期期中考试(理) 精品

江西省白鹭洲中学18-10学年高二下学期期中考试
理科数学试卷
本卷满分150分 完卷时间120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 ，有且只有一项符合题目要求。

1.
22
(1cos )x dx π
π-+⎰等于( ).
A ．π B. 2 C. 2π- D. 2π+ 2．设复数i 2
321+-=ω，则ω+1等于（ ）
A ．ω-
B ．2
ω C ．ω
1
-
D ．
2
1ω 3．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A ． 充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件
4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22
5a ，2a =1，则1a =（ ） A.
21 B. 2
2 C. 2 D.2 5．若双曲线22
221(0,0)y x a b a b
-=>>的渐近线方程是3y x =±，则该双曲线的离心率是
（ ）
A ．2
B ．3
C ．23
D ．
23
3
6．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积为0的概率 ( )
A ．
43 B ．21 C ．32 D ．6
5 7．37
1(2)x x
-的展开式中的常数项为a ，最后一项的系数为b ，则a b +的值为 （ ）
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
8．在R 上定义运算:(1)(1).x y x y ⊗⊗=--若不等式1)()(->+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则 （ ）
A ．11<<-a
B ．20a -<<
C ．02a <<
D ．2
1
23<<-
a
9．今天为星期六，则今天后的第2010
2
天是 （ ）
A ．星期一
B ．星期二
C ．星期四
D ．星期日
10．下面是高考第一批录取的一份志愿表。

现有4所重点院校，每所院校有3 个专业是你较为满意的选择，如果表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有（ ）种不同的填写方法.
志 愿 学 校 专 业
第一志愿 A 第1专业 第2专业 第二志愿 B 第1专业 第2专业 第三志愿 C 第1专业 第2专业
A ．323
34()A ⋅
B ．323
34()C ⋅
C ．32343()A C ⋅
D ．323
43()A A ⋅
11.正三棱锥S ABC -的底面边长为2a ，,,,E F G H 分别是,,,SA SB BC AC 的中点，则
EFGH 的面积的取值范围是（ ）。

A ．(0,)+∞
B ．23(
,)3a +∞ C ．2213(,)23a a D ．22
33(,)63
a a 12．已知)(x f 、)(x g 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''<，
)()(x g a x f x =，
25)1()1()1()1(=--+g f g f ，在有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
( n =1,2,…,10)中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于
64
63
的概率是（ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．54
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13.若0x >，则2
x x
+
的最小值为 . 14．从5篇稿件中挑选3篇参加征文比赛，不同的选法有 种。

（用数字作答） 15．观察下列等式：
15
35522C C +=-， 1597399922C C C ++=+， 159131151313131322C C C C +++=-，
1591317157171717171722C C C C C ++++=+，
………
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于*
n N ∈，159
41
41414141n n n n n C C C C ++++++++
+= ．
16．在下列命题中：
（1）若“p 且q ”为假命题，则,p q 均为假命题； （2）6
10
341(1)(1)x x
++
展开式中的常数项为4246； （3）如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<<⊆x x A ，那么实数a 的取值范围是(2,)a ∈+∞。

（4）函数232118
()324
a f x x ax x -=++
在1x =处的切线恰好在此处穿过函数图像的充要条件是2a =-
其中真命题的序号是 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知数列}{n a 为等差数列，且11=a ．}{n b 为等比数列，数列}{n n b a +的前三项依次为3，7，13。

求（１）数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（２）数列}{n n b a +的前n 项和n S 。

18．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，且满
足22
4a b ab +=+，3
C π
=。

（1）2
A π
≠
时，若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．
（2）求ABC △的面积等于3的一个充要条件。

19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥，PA AB ⊥，PA AB =，
3
ABC π
∠=
，2
BCA π
∠=
， 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC ，
（1）求证：BC ⊥平面PAC ；
（2）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； （3）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由．
20．（本小题满分
12分）是否存在常数a 、b 、c 使等式
+++222321···+-+22)1(n n ···)(12222c bn an +=+对于一切n ∈N*都成立，若
存在，求出a 、b 、c 并证明；若不存在，试说明理由.
21．（本小题满分12分）设函数)1ln()(2++=x b x x f ，其中0≠b . （1）若12b =-，求)(x f 在[1,3]的最小值；
（2）如果()f x 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围； （3）是否存在最小的正整数N ，使得当N n ≥时，不等式311
ln
n n n n
+->恒成立. 22．（本小题满分14分）设椭圆E ： 22
221x y a b
+=（,0a b >）过(2,2)M ，(6,1)N 两
点，O 为坐标原点，
（1）求椭圆E 的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B 且
OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围，若不存在说明理由．
高二数学(理)期中考试参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D
C
D
B
D
A A
A
D
D
B
B
13. 22； 14．10；15．()41
21
2
12n
n n --+-
16．（2）、（4）
17 解：①设公差为d ，公比为q
由
2,2,213731
13322111===⇒⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫
=+=+=+=q d b b a b a b a a ∴n
n n b n a 2,12=-= ……………(６分) ②)()(2121n n n b b b a a a S +++++++=
2
1)21(22121--+-+=n n n 2212-+=+n n ………………(1２分)
18．【 解析】（1）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=， 即sin cos 2sin cos B A A A =，
由cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，（3分）
联立方程组2242a b ab b a ⎧+=+⎨=⎩，，
解得233a =，433b =．
所以ABC △的面积123sin 23
S ab C =
=
．（6分） （2）若ABC △的面积等于3，则
1
sin 32
ab C =，得4ab =． 联立方程组2244a b ab ab ⎧+=+⎨=⎩，，
解得2a =，2b =，即A B =，又3C π
=，
故此时ABC △为正三角形，故2c =，即当三角形面积为3时，
ABC ∆是边长为2的正三角形。

（12分）
19．解：（法1）（Ⅰ）∵PA AC ⊥，PA AB ⊥，AC
AB A =，∴PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC.
又90BCA ︒
∠=，∴AC ⊥BC.∴BC ⊥平面PAC.（4分） （Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴1
2
DE BC =
， 又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E.
∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，∵PA ⊥底面ABC ， ∴PA ⊥AB ，又PA=AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形， ∴1
2
AD AB =
，∴在Rt △ABC 中，60ABC ︒∠=，∴12BC AB =.
∴在Rt △ADE 中，2
sin 24
DE BC DAE AD AD ∠=
==
， ∴AD 与平面PAC 所成的角的大小2
arcsin
4
.（8分） （Ⅲ）∵AE//BC ，又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ， 又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ， ∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角，∵PA ⊥底面ABC ，
∴PA ⊥AC ，∴90PAC ︒
∠=.∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ， 这时90AEP ︒
∠=，故存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角.（12分） （法2）如图，以A 为原煤点建立空间直角坐标系A xyz -，设PA a =，
由已知可得(0,0,)P a ，(0,0,0)A ，13(,,0)22B a a -
，3(0,,0)2
C a . （Ⅰ）∵(0,0,)AP a =，1(,0,0)2
BC a =，∴0AP BC ⋅=， ∴BC ⊥AP.又∵90BCA ︒
∠=，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC.（4分） （Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴E 为PC 的中点， ∴131(,,)442D a a a -
，31(0,,)42
E a a ，∴又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E.∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，
∵13131,,,0,,44242AD a a a AE a a ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴14
cos 4
AD AE DAE AD AE
⋅∠=
=
⋅， ∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为
24。

（8分） （Ⅲ）∵DE//BC ，又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ， 又∵DE ⊂平面PAC ，DE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ， ∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角，∵PA ⊥底面ABC ，
∴PA ⊥AC ，∴90PAC ︒
∠=.∴在棱PC 上存在一点E ， 使得AE ⊥PC ，这时90AEP ︒
∠=，
故存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角.（12分） 20. （本题１２分） 解 假设存在a 、b 、c 使
+++222321···+-+22)1(n n ···)(12222c bn an +=+对于一切n ∈N*都成立.
当n=1时，a （b+c ）=1；当n=2时，2a （4b+c ）=6；当n=3时，3a （9b+c ）=19.
解方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=+,
19)9(33)4(,
1)(c b a c b a c b a 解得
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
===.1,2,31c b a
证明如下：
①当n=1时，由以上知存在常数a,b,c 使等式成立. ②假设n=k （k ∈N*）时等式成立，
即+++222321···+-+22)1(k k ···)(12222c bk ak +=+)12(3
1
2+=
k k ； 当n=k+1时，
+++222321···+++22)1(k k ···=+2212=)12(3
12+k k 2
2)1(k k +++
=22)1()132(31++++k k k k =2)1()1)(12(31++++k k k k =[]
1)1(2)1(3
12
+++k k 即n=k+1时，等式成立.
因此存在a=31
，b=2，c=1，使等式对一切n ∈N*都成立.
21. 解：（1）由题意知，)(x f 的定义域为),1(+∞-，
12b =-时，由2/
122212()2011
x x f x x x x +-=-==++，得2x =（3x =-舍去），
当[1,2)x ∈时，/()0f x <，当(2,3]x ∈时，/
()0f x >，
所以当[1,2)x ∈时，()f x 单调递减；当(2,3]x ∈时，()f x 单调递增， 所以min ()(2)412ln3f x f ==-
（2）由题意2/
22()2011
b x x b f x x x x ++=+
==++在),1(+∞-有两个不等实根，
即2
220x x b ++=在),1(+∞-有两个不等实根， 设()g x =2
22x x b ++，则480(1)0
b g ∆=->⎧⎨
->⎩，解之得1
02b <<；
（3）对于函数())1ln(2+-=x x x f ， 令函数())1ln()(233++-=-=x x x x f x x h ,
则()1
)1(311232
32
/
+-+=++-=x x x x x x x h ， ()0),0[/>+∞∈∴x h x 时，当
所以函数()x h 在),0[+∞上单调递增，又),0(,0)0(+∞∈∴=x h 时，恒有()0)0(=>h x h 即)1ln(32++<x x x 恒成立. 取),0(1+∞∈=
n x ，则有321
1)11ln(n
n n ->+恒成立. 显然，存在最小的正整数N=1，使得当N n ≥时，不等式321
1)11ln(
n
n n ->+恒成立 解析；（1）因为椭圆E ； 22
221x y a b +=（a ，b>0）过M （2，2） ，N(6，1)两点，
所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得2211
8
114a b
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为
22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，
且OA OB ⊥，设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组2218
4x y y kx m
+==+⎧⎪
⎨⎪⎩得
222()8x kx m ++=，
即222
(12)4280k x kmx m +++-=，
则△=222222
164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>，即2
2
840k m -+>
122
2
1224122812km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
， 2222222
2
21212121222
2(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++
要使OA OB ⊥，需使12120x x y y +=，即
222
22
28801212m m k k k --+=++， 所以2
2
3880m k --=，所以22
38
08
m k -=≥又22840k m -+>， 所以22238
m m ⎧>⎨≥⎩，所以2
83m ≥，即263m ≥或263m ≤-，
因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为21m
r k =+，222
228381318
m m r m k ===-++
，26
3r =， 所求的圆为22
83x y +=
，此时圆的切线y kx m =+都满足263m ≥或263
m ≤-， 而当切线的斜率不存在时切线为26
3
x =±与椭圆22184x y +=的两个交点为2626(
,)33±或2626
(,)33
-±满足OA OB ⊥， 综上， 存在圆心在原点的圆2
2
8
3
x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥．
因为122
2
12241228
12km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
， 所以2222
2
21212122222
4288(84)()()4()41212(12)
km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++，
()
222
2
2
2
2
12121222
8(84)
||()(1)()(1)(12)k m AB x x y y k x x k k -+=-+-=+-=++
42242423245132[1]34413441
k k k k k k k ++=⋅=+++++，
①当0k ≠时22321
||[1]1344AB k k
=
+++
因为2
21
448k k
+
+≥所以2211
01
8
44k k
<≤++， 所以
2232321[1]1213344k k
<+≤++，
所以
46||233AB <≤当且仅当22
k =±时取”=”． 当0k =时，46
||3
AB =
． 当AB 的斜率不存在时， 两个交点为2626(
,)33±或2626
(,)33
-±，所以此时46
||3
AB =
， 综上， |AB |的取值。