2019-2020新人教B版数学选修2-3 课时分层作业19 回归分析

课时分层作业(十九) 回归分析
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( ) A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上
【解析】 结合线性回归模型y ＝bx ＋a ＋ε可知，解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上，故选B ．
【答案】 B
2．在回归分析中，相关指数r 的绝对值越接近1，说明线性相关程度( ) A ．越强 B ．越弱 C ．可能强也可能弱
D ．以上均错
【解析】 ∵r ＝
∑i ＝1
n
(x i －x －
)(y i －y －)(∑i ＝1n
x 2i －n x －2
)(∑
i ＝1n y 2i －n y －2)，
∴|r |越接近于1时，线性相关程度越强，故选A. 【答案】 A
3．已知x 和Y 之间的一组数据
则Y 与x 的线性回归方程y ＝b x ＋a 必过点( )
A ．(2,2)
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，0
C ．(1,2)
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，4
【解析】 ∵x ＝14(0＋1＋2＋3)＝32，y ＝1
4(1＋3＋5＋7)＝4， ∴回归方程y ^＝b
^x ＋a ^必过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4. 【答案】 D
4．已知人的年龄x 与人体脂肪含量的百分数y 的回归方程为y ^＝0.577x －0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( )
A ．一定是20.3%
B ．在20.3%附近的可能性比较大
C ．无任何参考数据
D ．以上解释都无道理
【解析】 将x ＝36代入回归方程得y ^＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B ．
【答案】 B
5．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④
D ．①④
【解析】 根据正负相关性的定义作出判断． 由正负相关性的定义知①④一定不正确． 【答案】 D 二、填空题
6．已知x ，Y 的取值如下表所示，由散点图分析可知Y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ＝0.95x ＋2.6，那么表格中的数据m 的值为________．
【解析】 x ＝
0＋1＋3＋44＝2，y ＝2.2＋4.3＋4.8＋m 4＝11.3＋m 4
，把(x －
，y －
)代入回归方程得11.3＋m 4＝0.95×2＋2.6，解得m ＝6.7.
【答案】 6.7
7．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．
【解析】 由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得5＝a ^＋1.23×4，∴a ^＝0.08，即y ^＝1.23x ＋0.08.
【答案】 y ^＝1.23x ＋0.08
8．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
【解析】 以x ＋1代x ，得y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321，与y ^＝0.254x ＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．
【答案】 0.254 三、解答题
9．关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用Y (万元)，有如下的统计资料：
(1)线性回归方程；⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫a ^＝y －b ^x －，b ^
＝
∑i ＝1n
x i y i －n x －
y －∑i ＝1
n
x 2
i
－n x 2
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 【解】 (1)x ＝
2＋3＋4＋5＋6
5
＝4，
y ＝
2.2＋
3.8＋5.5＋6.5＋7.0
5
＝5，
∑
i ＝15
x 2
i ＝90，∑
i ＝1
5
x i y i ＝112.3， b
^＝∑i ＝1
5
x i y i －5x －
y －∑i ＝1
5
x 2i －5x 2
＝
112.3－5×4×5
90－5×42
＝1.23.
于是a
^＝y －b ^x ＝5－1.23×4＝0.08. 所以线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^＝1.23x ＋0.08.
(2)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即估计使用10年时维修费用是12.38万元．
10．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
【解】 作出变量Y 与x 之间的散点图如图所示．
由图可知变量Y 与x 近似地呈反比例函数关系．
设y ＝k x ，令t ＝1
x ，则y ＝kt .由Y 与x 的数据表可得Y 与t 的数据表：
由图可知Y 与t 呈近似的线性相关关系．
又t －
＝1.55，y －
＝7.2， ∑5i ＝1t i y i ＝94.25，∑5
i ＝1
t 2i ＝21.312 5，
b ^＝∑5
i ＝1t i y i －5t －y －
∑5
i ＝1
t 2
i －5t －2
＝
94.25－5×1.55×7.2
21.312 5－5×1.552
≈4.134 4，
a ^＝y －－
b ^
t －
＝7.2－4.134 4×1.55≈0.8，
∴y ^＝4.134 4t ＋0.8，
即Y 与x 之间的回归方程为y ^＝4.134 4x ＋0.8.
[能力提升练]
1．根据如下样本数据
得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a ＞0，b ＜0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＜0，b ＜0
D ．a ＜0，b ＞0
【解析】 作出散点图如下：
由图象不难得出，回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b ＜0，当x ＝0时，y ^＝a ＞0.故
a＞0，b＜0.
【答案】 A
2．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝88＋1
2x D．y＝176
【解析】因为x＝174＋176＋176＋176＋178
5＝176，y＝
175＋175＋176＋177＋177
5＝176，而回归方程经过样本中心点，所以排除A，B，又身高的整体变化趋势随x的增大而增大，排除D，所以选C.
【答案】 C
3．以模型y＝c e kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到线性回归方程z＝0.3x＋4，则c＝________.
【解析】由题意，得ln(c e kx)＝0.3x＋4，
∴ln c＋kx＝0.3x＋4，
∴ln c＝4，∴c＝e4.
【答案】e4
4．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中w i ＝x i ，w ]＝18∑i ＝1
w i .
(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑n
i ＝1 (u i －u )(v i －v )∑n
i ＝1
(u i －u )2
，α^＝v －β^u . 【解】 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．
(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．
由于d
^＝
∑i ＝1
8
(w i －w )(y i －y )
∑i ＝1
8
(w i －w )2
＝108.8
1.6＝68，
c
^＝y －d ^ w ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，
年销售量y 的预报值y ^
＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^
＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12. 所以当x ＝13.6
2＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．。