高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第二次高考模拟考试数学试卷文科

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第二次高考模拟考试数学试卷（文科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，24小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回. 参考公式：锥体的体积公式是：1
3V S h =
•锥体底
，其中S 底是锥体的底面积，h 是锥体的高. 第一部分 选择题（共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{1,2,5}A =，{}1,3,5U C B =，则A B =（ ）
A ．{5}
B ．{2}
C ．{1,2,4,5}
D ．{3,4,5}
2．已知Z=
i
i
+12 (i 为虚数单位),则Z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
3.已知非零向量()
21,1a m m =-+与向量()1,2b =-平行，则实数m 的值为（ ）
A ．1-或
21B ．1或2
1- C ．1-D ．2
1
4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )
A ．1
B ．
23C ．1321D ．610987
5．设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． 若2a =，c =，2
1
sin =
A ，且b c <，则=
B （ ） A ．
6πB ．3πC ．2
π
D ．32π
3
3
4
俯视图
侧视图
正视图
第10题图
6．设数列}{n a 是等差数列，n S 为其前n 项和.若368S S =，
853=-a a ，则20a =（ ）
A ．4B.36 C.74- D.80 7．设函数⎩
⎨
⎧≥<-+=-)1(,3)
1(),2(log 1)(1
3x x x x f x ,则=+-)12(log )7(3f f ( ) A ．7B.9 C.11D.13
8．已知命题p ⌝:存在x ∈(1,2)使得0x
e a ->,若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）
A. (∞,e )
B. (∞, e ]
C. (2
e ,+∞) D. [2e ,+∞)
9. 已知函数()()sin f x A ωx φ=+002πA ωφ⎛
⎫>>< ⎪⎝
⎭，，的部分图象如图所示，
若将()f x 图像上的所有点向右平移
12
π
个单位得到函数()g x 的图像， 则函数()g x 的单调递增区间为（ ）
A ．[,]36
k k π
π
ππ-
+,k Z ∈B ．2[+,]63k k ππππ+
,k Z ∈ C ．[,]1212k k ππππ-+,k Z ∈D ．7[,]1212
k k ππππ--,k Z ∈
10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )
A ．31π
B ． 32π
C ． 34π
D ．36π
11．《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷
盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2
136
V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么，近似公式2
275
V L h ≈
相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A ．
227B ．25
8
C ．
15750D ．355
113
12．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，A 、B 为抛物线上两点，若3AF FB =，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为() A ．
3B ．83
C ．43
D ．23
第9题图
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13．已知直线l 过圆()2
234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则直线l 的方程为.
14．实数,x y 满足1030330x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎩
，则1++=y x Z 的最大值为.
15．设△ABC 的内角为A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c .若ab c b a c b a =++-+))((，则角C=__________.
16．设函数)('x f 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，0)1(=-f ，当0x >时，
0)()('<-x f x xf ，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是.
三、解答题:本大题共 8小题，满分 70 分。

解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且24a =，530S =，数列{}n b 满足
n n a nb b b =+++ 212.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1+⋅=n n n b b c ，求数列{}n c 的前n 项和n T .
18．（本小题满分12分）
8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失.某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：
现从该港口随机抽取了n 家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家. （Ⅰ）求,m n 的值；
（Ⅱ）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n 家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率
.
19．（本小题满分12分）
如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，
1
1AB AA =，160o BAA ∠=．
（Ⅰ）证明：1AB AC ⊥； （Ⅱ）若1==CB AB ，2
6
1=C A ，求三棱锥BC A A 1-的体积.
20．（本小题满分12分）
如图，圆C 与x 轴相切于点)0,2(T ，与y 轴正半轴相交于两点,M N （点M 在点N 的下方），且3MN =．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）过点M 任作一条直线与椭圆22
184
x y +=相交于两点A B 、， 连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠．
21．（本小题满分12分）
已知函数2
()ln ,f x x ax x a R =++∈.
(Ⅰ)当1=a 时，求函数)(x f 的图象在点(1，)1(f )处的切线方程； (Ⅱ)讨论函数()f x 的单调区间；
(Ⅲ)已知0a <，对于函数()f x 图象上任意不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，其中21x x >，直
线AB 的斜率为k ，记(,0)N u ，若(12),AB AN λλ=≤≤求证'
().f u k <
请考生在第22 , 23 , 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分, 作答时请在答题卡中用2B 铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答． 22．（本题满分10分）选修41:几何证明选讲
第20题图
如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为弧BC 的中点，E 为BC 的中点． (Ⅰ)求证：DE ∥AB ； (Ⅱ)求证：AC ⋅BC= 2AD ⋅CD ．
23．（本题满分10分）选修44: 坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是2
π4cos()103
ρρθ---=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是
cos ()3sin x t t y t α
α
=⎧⎪⎨
=+⎪⎩为参数. (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且||32AB =，求直线的倾斜角α的值．
24.(本小题满分10分)选修45；不等式选讲 已知函数()1
,2
f x x a x x R =-+-∈ (Ⅰ)当5
2
a =
时，解不等式()10f x x ≤+； (Ⅱ)关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的取值范围。

绝密★启用前试卷类型：A 茂名市第二次高考模拟考试
第22题图
数学试卷（文科）参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
11.提示：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则h r h r r l 22
)2(753
,2πππ=
=，所以8
=
π.故选B
12.提示：抛物线x y 42
=的焦点为)0,1(，设直线l 的方程为：1+=my x ，代入抛物线方程可得
0442=--my y .设),(),,(2211y x B y x A ，则4,42121-=⋅=+y y m y y ，
由3AF FB =，得213y y -=，则312
=m ，
||||2
1
21y y OF S AOB -⋅=∴∆=.3341616214)(21221221=+=⋅-+m y y y y 故选C
二、填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上。

） 13.30x y -+=；14.4 ；15.
3
2π
； 16.(,1)(0,1)-∞- 16.提示：记函数()()f x g x x
=，则''2
()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'
()()0xf x f x -<，故当0x >时，'
()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，
()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立
的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-.
三、解答题（本大题共70分）
17、解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由25430a S ==，得
由114
54
5302
a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩……………………………………………………………………2分 解得1=22a d =，，………………………………………………………………………4分
故数列{}n a 的通项公式为：()2122n a n n =+-⨯=………………………………5分
（Ⅱ）由（1）可得122.......2n b b nb n +++=①…………………………………………6分 所以当2n ≥时，1212.......(-1)2(1)n b b n b n -+++=-②……………………………7分
①②得2n nb =，即2
n b n =
………………………………………………………………8分 又112b a ==也满足2n b n =，所以2n b n N n
+
=∈，.………………………………9分
)1
11(4)1(41+-=+=
⋅=∴+n n n n b b c n n n …………………………………………………10分
111
11144(1)4(1)223
111
n n
T n n
n n ∴=-+-+
+-=-=
+++………………………12分 18;0.30+2m+m+0.10=1,解得：m=0.20.……………………２分
分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知，利用分层抽样的方法从中抽取10家公司，则消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家.……………………６分
记消防安全等级为二级的4家公司分别为A,B,C,D,三级的2家公司分别记为a ,b ，则从中抽取2家公司，不同的结果为（Ａ，B ）（Ａ，C ）（Ａ，D ）（B ，C ）（B ，D ）（C ，D ）（Ａ，a ）（Ａ，b ）（B ，a ）（B ，b ）（C ，a ）（C ，b ）（D ，a ）（D ，b ）（a ，b ）…共15种，………８分
记“抽取的2家公司的消防安全等级都是二级”
为事件M ，则事件M 包含的结果有：（Ａ，B ）B ，C ）（B ，D ）（C ，D ）…共6种，……………………１０分 分 19．（Ⅰ）证明：取AB 的中点O ，连接CO ，1OA ，
1A B ．
CA CB
=，
∴CO AB ⊥， (2)
分
又1AB AA =，160o
BAA ∠=．
1A AB ∴∆为等边三角形．
1A O AB ∴⊥，………….…….3分
又因为CO ⊂平面1COA ，1
AO ⊂平面1COA ，1
CO AO O =． AB ∴⊥平面1COA ．………………………………………..………….5分 又1
AC ⊂平面1COA ，因此1AB A C ⊥；…………………………….6分
1
（Ⅱ）解：在等边ABC ∆中23231=⨯=CO ，在等边1ABA ∆中2
32311=⨯=O A ； 在1A OC ∆中212
12
2
3
4343C A O A CO ==+=
+． ∴1A OC ∆是直角三角形，且190o A OC ∠=，故O A CO 1⊥．……….….8分
由（Ⅰ）得CO AB ⊥
又AB ⊂平面1ABA ，⊂O A 1平面1ABA ，O O A AB =1 ，
⊥∴CO 平面1ABA ．
故CO 是三棱锥1ABA C -的高．……………………………..…………….9分 又4
360sin 11211=︒⨯⨯=
∆ABA S ． ∴8
123433131111=⨯⨯=⋅=
=∆--CO S V V ABA ABA C BC A A ……………….12分 （其他解法酌情给分）
20、解：（Ⅰ）设圆C 的半径为r （0r >），依题意，圆心坐标为),2(r . ∵3MN =∴2
2
2322r ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，解得2254r =．⋅
2分
∴ 圆C 的方程为()4252522
2
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+-y x ．⋅
4分
（Ⅱ）把0=x 代入方程()4252522
2
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+-y x ，解得1=y 或4=y ，
即点)4,0(),1,0(N M ．⋅
6分
（1）当y AB ⊥轴时，可知ANM BNM ∠=∠=0．
（2）当AB 与y 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为1+=kx y ．
联立方程⎩⎨
⎧=++=8
212
2
y x kx y ，消去y 得，064)21(2
2=-++kx x k ．⋅
8分
设直线AB 交椭圆于()()1122,,A x y B x y 、两点，则
221214k k x x +-=
+，2
2
1216
k x x +-=．
∴2
1212122112211)
(323344x x x x x kx x kx x kx x y x y k k BN AN +-=-+-=-+-=
+ 若0AN BN k k +=，即ANM BNM ∠=∠⋅10分
∵021122112)(322
22121=+-+-=+-k
k
k k x x x kx ， ∴ANM BNM ∠=∠．⋅12分
21.解:(Ⅰ)当1=a 时,x x x x f ++=2
ln )(
121
)('++=
∴x x
x f ⋅1分
4)1('=∴f
又2111ln )1(2
=++=f ⋅
2分
∴函数)(x f 的图象在点(1，)1(f )处的切线方程为:)1(42-=-x y ,
即024=--y x ⋅3分
(Ⅱ)()f x 的定义域为(0,)+∞
2121
'()21ax x f x ax x x
++=++=⋅
4分
当0a ≥时，'()0f x >在(0,)+∞上恒成立，()f x 在定义域内单调递增；⋅
5分
当0a <时，令'()0,f x =解得，x =
a
a
x x 4811,0---=
∴>
则1(0,
)4x a
-∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；
)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；⋅
6分
综上，0a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；
0a <时，()f x
的单调递增区间为1(0,
4a
--，
()f x
的单调递增区间为1(
)4a
-+∞…….7分
（Ⅲ）证明：2221222111
2121
ln ln y y x ax x x ax x k x x x x -++---==
-- 21
1221
ln ln ()1x x a x x x x -=
+++-
1222(,0),(,),(,),(12)N u A x y B x y AB AN λλ=≤≤ 21
211(1)(),x x x x u x u λλλ
+-∴-=-∴=
，
又1
'()21f x ax x
=
++，2121(1)'()21(1)x x f u a x x λλλλ+-∴=
+++- 21212121ln ln '()(2)()(1)x x a f u k x x x x x x λ
λλλ
-∴-=
-+--+--
21210,,12,(2)()0a
a x x x x λλλ
<>≤≤∴--<
要证：'
().f u k <，只需证
212121
ln ln 0(1)x x x x x x λ
λ--<+--
即证：
212121()(ln ln )0(1)x x x x x x λλ---<+-，设21
1x
t x =>
令(1)
()ln ,1
t g t t t λλ-=-+-则2222
(22)(1)'(),(1)t t g t t t λλλλ-+-+--=+- 令2
2
2
()(22)(1),1,12h t t t t λλλλ=-+-+-->≤≤
对称轴2(1)1
12
t λ-+=
≤. ()(1)0,h t h <='()0g t ∴<，故()g t 在(1,)+∞内单调递减，则()(1)0,g t g <=故'()f u k <.
…….12分
22.选修41: 几何证明选讲
．解：（Ⅰ）连接BD ，因为D 为弧BC 的中点， 所以BD DC =．
因为E 为BC 的中点，所以DE BC ⊥．
因为AC 为圆的直径，所以90ABC ∠=︒，
所以//AB DE ． …5分
（Ⅱ）因为D 为弧BC 的中点，所以BAD DAC ∠=∠，
又BAD DCB ∠=∠,则BCD DAC ∠=∠．又因为AD DC ⊥，DE CE ⊥，所以
DAC ∆∽ECD ∆． 所以AC AD CD CE
=，AD CD AC CE ⋅=⋅,2AD CD AC BC ∴⋅=⋅. …10分 23.选修44: 坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）由2π
4cos()103
ρρθ---=
得圆C
的方程为22(1)(5x y -+=……………………………………………4分
（Ⅱ）将cos sin x t y t αα
=⎧⎪⎨=⎪⎩代入圆的方程得22(cos 1)(sin )5t t αα-+=…………5分 化简得22cos 40t t α--=……………………………………………………………6分
设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、,则12122cos 4t t t t α+=⎧⎨
=-⎩………………………7分
所以12||||AB t t =-==
=分 所以24cos 2α=
,cos α=±,π3π44
αα==或…………………………………10分
24. 选修45: 不等式选讲
24解：（Ⅰ）当52a =时，()123,21152,222
523,2x x f x x a x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=-+-=≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩
① 当12x <
时，由()10f x x ≤+得2310x x -+≤+，解得73x ≥-，此时7132
x -≤<；…3分 ② 当1522x ≤≤时，由()10f x x ≤+得210x ≤+，解得8x ≥-，此时1522
x ≤≤；..4分 ③ 当52x >时，由()10f x x ≤+得210x ≤+，解得13x ≤，此时5132x <≤……..5分 综上，不等式()10f x x ≤+的解集为7133x x ⎧
⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭
………6分
(Ⅱ)由绝对值不等式的性质的()()111,222f x x a x x a x a ⎛⎫=-+-≥---=-+ ⎪⎝
⎭ ()f x ∴的最小值为12
a -+。

……..8分 由题意得12a a -+≥，解得14
a ≤， 所以，实数a 的取值范围为1,4
⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦………..10分
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）
A.30
B.20
C.15
D.10
2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）
A.{﹣1，0，1，2}
B.{﹣2，﹣1，0，1}
C.{0，1}
D.{﹣1，0}
3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）
A.＞
B.＜
C.＞
D.＜
5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）
A.0
B.1
C.2
D.3
6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）
A.192种
B.216种
C.240种
D.288种
7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）
A.﹣2
B.﹣1
C.1
D.2
8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）
A.[，1]
B.[，1]
C.[，]
D.[，1]
9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（）
A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②
10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）
A.2
B.3
C.
D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11.（5分）复数=.
12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.
13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数
据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）
14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是.
15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.
④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.
其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.
17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB
的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.
（1）证明：P是线段BC的中点；
（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.
19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.
（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.
20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当最小时，求点T的坐标.
21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）
A.30
B.20
C.15
D.10
【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.
【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，
令r=2可得，T3=C62x2=15x2，
∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，
在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.
故选：C.
【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.
2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）
A.{﹣1，0，1，2}
B.{﹣2，﹣1，0，1}
C.{0，1}
D.{﹣1，0}
【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.
【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，
∴A∩B={﹣1，0，1，2}.
故选：A.
【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.
3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得
【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，
即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，
故选：A.
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题.
4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）
A.＞
B.＜
C.＞
D.＜
【分析】利用特例法，判断选项即可.
【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，
则，，∴A、B不正确；
，=﹣，
∴C不正确，D正确.
解法二：
∵c＜d＜0，
∴﹣c＞﹣d＞0，
∵a＞b＞0，
∴﹣ac＞﹣bd，
∴，
∴.
故选：D.
【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确.
5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为
A.0
B.1
C.2
D.3
【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值.
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，
画出可行域如图：
当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2.
故选：C.
【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.
6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）
A.192种
B.216种
C.240种
D.288种
【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.
【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，
根据加法原理可得，共有120+96=216种.
故选：B.
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.
7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）
A.﹣2
B.﹣1
C.1
D.2
【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案.
【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），
∴=m+=（m+4，2m+2），
又∵与的夹角等于与的夹角，
∴=，
∴=，
∴=，
解得m=2，
故选：D.
【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档.
8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）
A.[，1]
B.[，1]
C.[，]
D.[，1]
【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.
【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.
不妨取AB=2.
在Rt△AOA1中，==.
sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，
=1.
∴sinα的取值范围是.
故选：B.
【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题.
9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（）
A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②
【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案.
【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），
∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；
f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln （）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正
确；
当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））
∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g （0）=0，
又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；
故正确的命题有①②③，
故选：A.
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档.
10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）
A.2
B.3
C.
D.
【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题.
【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB与x轴的交点为M（m，0），
由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，
∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，
结合及，得，
∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2.
不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，
∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，
=.
当且仅当，即时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B.
【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：
1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式.
2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高.
3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11.（5分）复数= ﹣2i .
【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果.
【解答】解：复数===﹣2i，
故答案为：﹣2i.
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.
12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= 1 .
【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值.
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，
∴=1.
故答案为：1.
【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”.
13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 60 m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）
【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度.
【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，
则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，
AB=，根据正弦定理，，
得BC===60m.
故答案为：60m.
【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题.
14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是 5 .
【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值.
【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），
注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.
故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）
故答案为：5
【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题.
15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.
④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.
其中的真命题有①③④.（写出所有真命题的序号）
【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论.
【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R.反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；
（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M].
∴﹣M≤f（x）≤M.例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f （x）无最大值，无最小值，故②是假命题；
（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M.故f （x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）.
则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；
（4）对于命题④，∵﹣≤≤，
当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题.
故答案为①③④.
【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想.本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.
【分析】（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=.再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值.
【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），
∴s inαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）
即（sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），
又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，
当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣.
当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣.
综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣.
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.
17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；
（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论.
（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可.
【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100.
则P（X=﹣200）=，
P（X=10）==
P（X=20）==，
P（X=100）==，
故分布列为：
X ﹣200 10 20 100
P
由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，
则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣.
由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=.
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.
【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力.
18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.
（1）证明：P是线段BC的中点；
（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.
【分析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，
（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值. 【解答】解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2
设O为BD的中点，连接OA，OC
于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC
因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP
假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线
从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点
（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）
于是，，
设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和
由，则，设z1=1，则
由，则，设z2=1，则
cos===。