刚体力学

M 1 2
f
R m
f
注意：当不计滑轮的质 量及摩擦阻力时：
m = 0,
R ]
a =
M
Hale Waihona Puke f=0T1 =
m 1 [( 2 m 2
1 2
m )g 1 2
M
(m 2 - m1 ) m1 m 2
g
m1 m2
m 2 [( 2 m 1 1 2
m
M
f
T1 = T 2 =
2m 1m 2 m1 m 2

r Fi = m
r dv c
dt
注意各量的 物理意义
质心运动定理说明：不管物体的质量如何分布、外力作用 在什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此， 而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。 （例:炮弹在飞行轨道上爆炸 ……见教材p98--例3)
一 刚体转动的角速度和角加速度 (1) 刚体作定轴转动的特征 转轴上各点静止，其它各质元都在垂直于 转轴的平面内作圆周运动。 (2) 刚体转动时的角量描述 标量描述: 角位置 rad 角位移 角速度 角加速度
r
r 以圆运动为例 r

r r
R
r v
a an
r = r = r sin = R r = v = v sin 90 r
0
r a
r an
x
0
y
v = R
2
= R

a = an =
dv dt v
2
= R = R
2
定轴转动 各质元的 ω 相同, v 不同 时,刚体中 各质元的 β 相同, at 不同
3 角动量守恒定律 当转轴给定时,若作用在物体上的合外力矩为零,可得 Jω = 恒量
v2 =
r1 r2
v1
二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1 刚体定轴转动的角动量 刚体以角速度 绕定轴转动,刚体上每一 r 质点都以相同的角速度绕轴作圆周运动. 1 其中质点 m i 对轴的角动量为 m
L i = m i v i r i = m i ri 于是刚体上所有质点对轴的角动量,即刚体 对定轴的角动量为
(2) 转动：刚体上各质点都绕同一轴作圆周运动。 如果转 轴固定不动，就称定轴转动。 (3) 质心运动定理
一般的刚体运动很复杂， 但可以看成是平动和转动的合成。 将一最简单的刚体 抛出时，刚体上每个质点 的轨道都不是抛物线，但质心仍然作抛物线运动。
可以证明，质心的运动遵循以下规律：
r r Fi = m a c 或
r r vv = 0
r dr
r r r d r r (r mv ) = r (mv ) mv dt dt dt r r r r d r r dL rF = ( r mv ) 即 M = dtr r dt 或 M dt = d L 取积分有 d

t2 t1
t2 t1
r r r M dt = L 2 - L 1

t2
Mdt =
t1

L2
合外 力矩 的冲 量矩
如果物体在转动过程转动惯量J发生了变化, 设在时间t1到t2内由J1变为J2,下式仍然成立.
L1
dL = L 2 - L 1 = J 2 - J 1

t2 t1
Mdt = J 2 2 - J 1 1
物体所受合外力矩的冲 量矩等于物体角动量的 增量---角动量定理

r r M dt 是 M 的冲量矩
对同一参考点O,质点所受 合外力矩的冲量矩等于质 点角动量的增量.-----质点 的角动量定理
3. 质点的角动量守恒定律 r r r r r 若 M = 0 则 L 2 = L1 或 L = r 当质点所受对参考点0的合力矩为零时, 质点对该参考点的角动量为一恒矢量. ---- 质点的角动量守恒定律 注意： 0 质点的角动量守恒的条件是 1
L
质点 与刚 体组 合的 转动 惯量
R
m
m1
2
m
r m1
2
J =
1 3
mL
m1L
2
J =
1 2
mR
m 1r
2
五、转动定律的应用 例1、一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量 为 m1 和 m2 的物体，m1 <m2 ，滑轮的 质量为 m ，半径为 R，所受的摩擦阻 力矩为 Mf ，绳与滑轮间无相对滑动。 试求：物体的加速度和绳的张力。 已知： m1，m2 ，m， R ，Mf 求： a , T 1 , T 2 解: 研究对象 m1 ，m2 ，m 建立坐标，受力分析 如图 T 对m1 ： 1 - m 1 g = m 1 a
R
4
r 一 力矩（力 Fr 对转轴的力矩） r
2 力矩 转动定律 转动惯量 d
o
r M = rF M = rF sin = Fd
r M
d: 力F对转轴的力臂r 注意: 下述情况中,力 F 对转 轴的力矩为零. r 0 1 F 的作用线通过转轴. r 20 F 的方向与转轴平行.
r 若不在,则将 F 分解为平行
r r

r F
r M
r F
r F 应理解为在垂直于转轴的平面内。
o
于转轴的分量和垂直于转轴 的分量.只有垂直于转轴的力 的分量才对转轴有力矩.
r r

合外力矩 M = r1 F 1 sin 1 - r2 F 2 sin 2 r3 F 3 sin 3
合外力矩等于这几个外力矩的代数和.
=

m1
m i
(一般定逆时针为正)
=
d dt
d dt
= d
2
.s -1 rad
2

-2
rad s
dt
刚体内各质元作圆周运动的 以及 相同.
r r d = 方向由与 d 相同 dt r r r 2 r r d d d 0, 与 r = = r 2 d 0, 与 dt dt
r P = 恒矢量 r r r r
r F r F
力心 质点所受对参考点O的合力矩为零 r 20 M r 0 的两种可能情况: = r F = 0 或 合力F 通过参考点O 例如有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。 r r r r r 特征： r // F , ( M = ( r F ) = 0 ) L=恒矢量 质点对力心的角动量永远守恒！ 30 质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。 40 角动量守恒，不见得动量守恒。 50 是普遍规律，宏观、微观都适用。
r p 共同决定的平面
r ( P 乘以 p 的延长线到转轴的距离)
r r

注意: 20
10 同一运动质点对不同定点的角动量是不同的。
L
2
质点作圆周运动时对圆心的角动量大小：
r
L = rmv = rm ( r ) = mr = J
mv
2. 质点的角动量定理
r r r r F = r
r d(mv ) dt
质点系的 合内力矩=?0
o
r r 1
r F3
1
r F1
r r2
r F2
1
2
d
F12 r1
r2
F21
2
二 转动定律 刚体由n个质点组成,质点i r 的质量为 m i , F i 为外力, r , F i 为其它质点作用的内力, 且这两个力均在与转轴垂直 平面内,则该质点作圆周运动 的切向上的牛顿运动方程为
1 12
mL
2
薄圆环 R 或薄圆筒 圆盘或 圆柱体
m
J = mR
2
R
m
J =
1 2
mR
2
注意J 的大小与刚体总质量、质量分布、转轴位置有关 10 与刚体的质量有关, (两个相同的圆盘,铁质的转动惯量比木质的大). 20 与密度分布有关, (质量分布离轴越远, J 越大) 30 与转轴位置有关, (同一刚体,转轴位置不同,转动惯量就不相同)
矢量描述: r d r
r
方向由右手螺旋确定
r d dθ r
r 同向 r 反向
r

二 匀变速转动公式
= 0 0t
= 0 t
1 2
t
2

2
= 0 2 ( - 0 )
2
三 线量与角量的关系
z
r r r v = r
r v = r sin = R r r r d r r dr r dv a = = r dt dt dt r r r = r v
大学物理电子教案
刚体力学
教学基本要求
一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌 握角量与线量的关系. 二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕 定轴转动的转动定理. 三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运 动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题. 四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能 在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能 守恒定律 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体 的简单系统的力学问题.
J =

r dm kg . m2,标量。
2
刚体的转动惯量是 刚体中各质点的转 动惯量 (miri2) 的叠加
M = J
m：质点惯性的量度 J：刚体惯性的量度 转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量 几种常见刚体的转动惯量：(有关推导详见教材P120)
细棒
L
J =
1 3
mL
2
m
细棒
L
m
J =
2
1
m i
L=
m
i i
r = ( m i ri ) = J
2 2
ri
2 刚体定轴转动的角动量定理 作用在质点i上的合力 Mi中含有外力作用在质点i的力 矩 M i应等于质点i的角 矩 M 和刚体内质点间作用力 i外 动量随时间的变化率 的力矩 Mi内.由于刚体内各质点 dL i 的内力矩之和应为零,所以在遍 即 Mi = 及刚体内所有质点后,可得 dt
rF
i
i
sin i
rF
i
, i
sin i = ( m i ri )
,
2
合外力矩M
M = J
刚体绕定轴转动时,刚体的角加速度与 它所受的合外力矩成正比,与刚体的转 动惯量成反比. ---- 刚体的转动定律
三
转动惯量
J =
m
i i
r
2
如果刚体连续分布
r r 对比 F = m a
M
合力矩 即 M =
i
=
M
i外

M
i内
=
M
i外
=
d dt
( Li )
合内力矩为零
dL dt
合外力矩M
刚体角动量L
刚体作定轴转动时,刚体所受合外力矩等于 刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率.
转动惯量为J的刚体在合外力矩的作用下作定轴转动,在时 间 t1 到 t2 内,其角速度由 1变为 2 ,则有
例、在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔， 其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳， 开始时小球绕孔运动，速率为 v1 ，半径为 r1 ，当半径变 为 r2 时 r2 f拉 求小球的速率 v2 解：小球受力：
f拉
L 2 = L1
2
因f 拉为有心力
r r L 2 = L1
r1 mv
1
= r2 mv
合内力矩
刚体由n个质点组成,其中 r 质点1和质点2间相互作用 r3 力在垂直转轴平面的分力 各为F12和F21,它们大小相 3 等、方向相反且在同一直 线上,如图.它们的合力矩 M = F 12 r1 sin 1 - F 21 r2 sin 2 = F 12 d - F 21 d = 0 刚体的合内 力矩为零
.
m
R
m1
m2
Mf
' T1
m
T2
'
对m2： m 2 g - T 2 = m 2 a
T 对m： 2 R - T 1 R - M
' ' f


T1
m1g
T2
= J
m2g
a = R, J =
1 2
mR , T 1 =
2
' T1 , T 2
=
' T2
联立求得： = a
( m 2 - m 1 )g m1 m2
第四章
刚体的转动
刚体： 形状和大小都不改变的物体（刚体内任意两质点间 的距离保持不变） 重点研 究：刚体的定轴转动
4—1 刚体的定轴转动
刚体的一般运动 (1)平动：刚体上任意两点间的联线在整 个运动过程中， 保持原方向不变。通常以质心 (刚体的质 量分布中心)的运动来代表整个刚体的运动。（质量、力）
,
o
r ri m i
r, Fi ,
i

i
r Fi
F = F i sin i F i sin i = m i a i = m i ri
,
由于合力的径向分量通过转轴,其力矩为零,所以不予考虑. 2 , , ri F i sin i ri F i sin i = m i ri 转动惯量J 遍及刚体内所质点 合内力矩为零
g
m )g 1 2
T2 =
R
]
这便是中学所熟知 的结果
m1 m2
m
4
3 角动量 角动量守恒定律 定义
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律 r 1. 质点的角动量 L
r r r L = r mv
kg m s r L = rmv sin
2 -1
r mv
0
r 方向：垂直于 r ,