江西省樟树中学2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题 理

江西省樟树中学2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题 理
一、选择题（本题共有12个小题，每小题5分，共60分）
1.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是
2.在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性 A.与第n 次有关，第一次可能性最大
B.与第n 次有关，第一次可能性最小
C.与第n 次无关，与抽取的第n 个样本有关
D.
3.在等比数列{}n a 中，216,a a 是方程
2
620x x ++=
A.2
B.
D.
4.已知ABC ∆中，AB =A ∠=ABC ∆的外接圆的面积为
C.π12
D.π3
，()1,b y =，其中,x y 都为正实数，若a b ⊥，则113x y
+的最小
C.4
D. 和方差分别为
A.844.84；
B.841.6；
C.851.6；
D.854；
7.《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入20a =，
8b =，则输出的结果为
A.4,3a i ==
B.4,4a i ==
C.2,3a i ==
D.2,4
a i ==
8.已知函数2
()54f x x x =-+，则不等式组()()0;
1 4.
f x f y x -≥⎧⎨
≤≤⎩表示的平面区域为
9.在区间[],ππ-上随机取两个实数,a b ，记向量()()=,4,4,OA a b OB a b =，则
24OA OB π⋅≥的概率为
A.18
π-
B.14
π-
C.12
π-
D.314
π-
10.甲、乙两枚质地均匀的骰子先后各抛一次，,a b 分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，当点(),P a b 落在直线x y m +=（m 为常数）上的概率最大时，m 的值为 A.6
B.5
C.7
D.8
11.已知P 是ABC ∆所在平面内一点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在ABC ∆内，则黄豆落在PBC ∆内的概率是 A.
1
4
B.
12
C.
13
D.
23
12.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 2sin cos 0B A C +=
,则当
cos B 取最小值时，a
c
=
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.在ABC ∆中，内角::1:2:3A B C =，求::=a b c .
14.设某总体是由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成的，利用下面的随机数表依
次选
取4个个体，选取方法是从随机数表第一行的第三列数字开始从左到右依次选取两个数字，
则选出来的第4个个体的编号为 .
0618 0765 4544 1816 5809 7983 8619 7606 8350 0310 5923 4605 0526 6238
15.在,,A B C 三个盒子中各有编号分别为1，2，3的3个乒乓球，现分别从每个盒子中随机地各取出1个乒乓球，那么至少有一个编号是奇数的概率为 ．
16.P 的坐标(,)x y 满足41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
，过点P 的直线l 与圆22
:12C x y +=相交于A B 、两
点，
则AB 的最小值是 ．
三、解答题（本大题有6个小题，共70分） 17．（本小题满分10分）
已知实数,x y 满足约束条件1
020y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪--≤⎩
，
（1）作出不等式组所表示的平面区域，并求目标函数2z x y =-的最大值； （2）求目标函数2
2
y z x +=+的最小值.
18.(本小题满分12分)
已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，24c b ==，2cos c C b =，,D E 为线段BC 上的点，且,BD CD BAE CAE =∠=∠. （1）求线段AD 的长； （2）求ADE ∆的面积.
19.(本小题满分12分)
某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x (℃)与该奶茶店的这种饮料销量y (杯)，得到如下数据：
（1）若先从这5组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
（2）请根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；并根据线性回归方
程预测当气象台预报1月16日的白天平均气温为7℃时奶茶店这种饮料的销量． 附：线性回归方程y bx a =+中，
参考数据:12
21
n
i i
i n i i x y
nx y
b x nx
==-=
-∑∑；a y bx =-；
5
2222221
91012118510i
i x
==++++=∑；
5
1
9231025123011268211271i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑.
20.(本小题满分12分)
某高级中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图. （1）求直方图中x 的值；
（2）求理科综合分数的众数和中位数；
（3）在理科综合分数为[220，240），[240，260），
[260，280），[280，300]的四组学生中，用分
层
抽样的方法抽取11名学生，则理科综合分数在 [220，240）的学生中应抽取多少人？
21.(本小题满分12分)
数列{}n a 中，11a =，点()1,n n P a a +在直线上02=+-y x ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令1
1
+=
n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项和为n S ．
（ⅰ）求n S ；
（ⅱ）是否存在整数λ()0≠λ，使得不等式()()1412
n
n
S n N λ*+-<
∈恒成立？若存在，求出λ的取值的集合；若不存在，请说明理由．
22.(本小题满分12分)
设二次函数()f x 满足：i ）()0f x >的解集为()0,1；ii ）对任意x R ∈都有
231()62x f x x --≤≤+成立．数列{}n a
()()1n n a
f a n N *+=∈．
f-的值；（1）求()1
f x的解析式；（2）求()
樟树中学2020届高二年级上学期第一次月考
数 学 答 案 （理 科）
考试范围：必修五、必修三 命题：陈 晖 审题：刘丽萍 时间：2018.10.17 一、选择题（本题共有12个小题，每小题5分，共60分）
ADBDC CACBC BD
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.2 14.09 15.
26
27
16.三、解答题（本大题有6个小题，共70分） 17．（本小题满分10分）
解：（1）()max 1213z =-⨯-=；（2）min 121
123
z -+==+. 18.(本小题满分12分) 解：（1）
12,4,cos 24
b b
c C c ==∴=
=， 在ABC ∆中，由余弦定理可得：
22224161
cos 244
a b c a C ab a +-+-=
==，解得4a =，即4BC =
2BD CD CD =∴=，
在ABC ∆中，由余弦定理可得：2
2
2
2cos 6AD AC CD AC CD C =+-⋅=
AD ∴=（2）
AE 平分BAC ∠ 114
233
CE AC CE BC BE AB ∴
==∴==，
又sin C ==
114222242346
ADE ACD ACE S S S ∆∆∆∴=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 19.(本小题满分12分)
解：(1)设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A ，
∵所有基本事件(m ，n )(其中m ，n 为1月份的日期数)有(11，12)，(11，13)，(11，14)，(11，15)，(12，13)，(12，14)，(12，15)，(13，14)，(13，15)，(14，15)，共10个．
事件A 包括的基本事件有(11，12)，(12，13)，(13，14)，(14，15)，共4个． ∴抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率P (A )＝＝. (2)
910121182325302621
10,2555x y ++++++++=
===
5
2
22222191012118510i
i x
==++++=∑
5
1
9231025123011268211271i
i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑
∴由公式，求得b ＝2.1，4a y bx =-=， ∴y 关于x 的线性回归方程为y ＝2.1x ＋4，
∵当x ＝7时，y ＝2.1×7＋4＝18.7， ∴该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯(或18杯)．
20.(本小题满分12分)
解：（1）由（+0.005+0.002 5）×20=1，
得x =0.0075 （22
∵（0.002+0.009 5+0.011）×20=0.45＜0.5，
∴理科综合分数的中位数在[220，240）内，设中位数为a ， 则（0.002+0.009 5+0.011）×20+0.012 5×（a ﹣220）=0.5， 解得a =224，即中位数为224．
（3）理科综合分数在[220，240）的学生有0.012 5×20×100=25（位），同理可求理科
综合分数为[240，260），[260，280），[280，300]的用户分别有15位、10位、5位， 故抽取比为
111
=25+15+10+55
，
∴从理科综合分数在[220，240）的学生中应抽取25×
1
5
=5人． 21.(本小题满分12分)
解：（1）因为11a =，1(,)n n P a a +在直线上02=+-y x ，
所以12n n a a +-=，即数列{}n a 为等差数列，公差为2，
所以n a n 2=-1. （2）(ⅰ))1
21
121(21)12)(12(1)12)(12(1+--=+-=+-=
n n n n n n b n
)]1
21
121()5131()311[(21+--+⋅⋅⋅+-+-=∴n n S n 11(1)221n =-
+ ∴2
41
21+-=n S n .
(ⅱ)存在整数λ使得不等式()1n
λ<
－2
41n
S +()
n N *∈恒成立． 因为
241n S +＝1
21
23+-n . 要使得不等式()1n
λ<
－1
21
23+-n ()n N *∈恒成立，应有 （a ）当n 为奇数时，()1n
λ<－12123+-n ，即λ>-1
2123++n 恒成立
所以当=1n 时，31221n -++的最大值为－67，所以只需λ>－67
.
（b ）当n 为偶数时，λ<121
23+-n 恒成立，
所以当=2n 时，12123+-n 的最小值为1013，所以只需λ<1013
.
可知存在76λ-<<10
13
，且0≠λ.
又λ为整数，所以λ取值集合为{}1,1-.
22.(本小题满分12分)
解：（1）由于对任意x R ∈都有2
31()62x f x x --≤≤+成立，则
令1x =，得()44f x -≤≤-，则()14f -=-； （2）由于()0f x >的解集为()0,1，可设()()1f x ax x =-，
由()14f -=-，可得2a =-，则()2
22f x x x =-+；
则1
213n
n b -⎛⎫= ⎪
⎝⎭。