老头物理高一教科版必修2学案第3章3万有引力定律的应用

3 万有引力定律的应用
若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m 的物体所受的重力mg 等于地球对物体的引力，即mg ＝G Mm R
2，式中M 是地球的质量，R 是地球的半径，也就是物体到地心的距离．
由此式可得出地球的质量为M ＝gR 2
G
.
2．计算天体的质量 （1）将行星的运动近似看做匀速圆周运动，行星做圆周运动的向心力由万有引力提供，
则有GMm r 2＝mrω2
＝mr 4π2
T
2，式中M 是太阳的质量，m 是行星的质量，r 是行星的轨道半径，也
就是行星和太阳中心的距离，T 是行星的公转周期．
由此式可得出太阳的质量为M ＝4π2r
3GT
2.
（2）同样的道理，如果已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，也可以计算出行星的质量．
（3）观测行星的运动，可以计算太阳的质量；观测卫星的运动，可以计算行星的质量． 3．发现未知天体
（1）18世纪，人们发现太阳系的第七个行星——天王星的运动轨道有些古怪：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差．据此，人们推测，在天王星轨道的外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的吸引使其轨道发生了偏离．
（2）海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位． 一、天体质量和密度的计算
1．不考虑地球自转的影响，地面上的物体受到地球的引力有哪两种表达形式？ 答案：不考虑地球自转的影响，地面上的物体受到地球的引力F 等于物体的重力，因此，
F ＝mg ，根据万有引力公式F ＝GMm R
2.
2．根据地球表面的重力加速度g 、引力常量G 怎样计算出地球的质量？ 答案：因为地面上的物体受到地球的引力F 近似等于物体的重力，所以mg ＝
GMm
R 2
，地球质量M ＝gR 2
G
（其中R 是地球的半径）．
3．根据地球表面的重力加速度g 、引力常量G 怎样计算出地球的密度？
答案：因为地面上的物体受到地球的引力F 近似等于物体的重力，mg ＝GMm
R
2，又因为M
＝43πR 3
ρ，所以密度ρ＝3g 4πGR
.
近年来，美国发射的“凤凰号”火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究（如发现了冰），为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为（k 为某个常量）（ ）．
A ．ρ＝kT
B ．ρ＝k
T C ．ρ＝kT 2
D ．ρ＝k T
2
答案：D
解析：根据万有引力定律可知：G Mm R 2＝mR 4π2T 2，得火星质量M ＝4π2R 3
GT 2，火星的体积V ＝
4
3
πR 3
，故火星的平均密度ρ＝M V ＝3πGT 2＝k T
2，选项D 正确．
1．求天体质量的思路
绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体（或卫星）的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量．
2．计算天体的质量
下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：
（1）若已知地球的半径R 和地球表面的重力加速度g ，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得
mg ＝G M 地·m R 2，解得地球质量为M 地＝R 2g G
.
（2）质量为m 的卫星绕地球做匀速圆周运动
G Mm
r 2
＝⎩⎪⎨⎪⎧
m (2πT
)2r ⇒M ＝4π2r 3
GT 2，已知卫星的r 和T 可以
求M ；m v 2
r ⇒M ＝rv 2G
，已知卫星的r 和v 可以求M ；
mω2
r ⇒M ＝r 3
ω2
G
，已知卫星的r 和ω可以求M .
3．计算天体的密度
若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M
43
πR 3
将M ＝4π2r 3GT 2代入上式得：ρ＝3πr 3GT 2R
3
特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半
径r 等于天体半径R ，则ρ＝3π
GT
2.
4．计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．注意方法的拓展应用，明确计算出的是中心天体的质量．
二、应用万有引力定律分析计算天体运动的问题 宇宙飞船进入绕地球运转的轨道做匀速圆周运动．宇宙飞船运行时还需要开发动机吗？为什么？
答案：不需要．因为在轨道上运行的宇宙飞船受到地球对它的万有引力提供向心力． 2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙2251”卫星和美国的“铱33”卫星在西伯利亚上空约805 km 处发生碰撞．这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件．碰撞过程中产生
的大量碎片可能会影响太空环境．假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（ ）．
A ．甲的运行周期一定比乙的长
B ．甲距地面的高度一定比乙的高
C ．甲的向心力一定比乙的小
D ．甲的加速度一定比乙的大 答案：D
解析：根据万有引力提供向心力有GMm (R ＋h )2＝
mv 2R ＋h ＝m （R ＋h ）4π2
T 2＝ma ，得v ＝GM
R ＋h
，T ＝2π
(R ＋h )
3
GM ，a ＝GM
(R ＋h )
2，由于v 甲＞v 乙，所以甲离地面的高度小于乙离地面的高度，
甲的周期小于乙的周期，甲的向心加速度比乙的大．由于甲、乙质量未知，所受向心力大小无法判断，综上所述正确选项为D.
1．解决天体问题的两条思路
（1）所有做圆周运动的天体，所需要的向心力都来自万有引力．因此，向心力等于万有引力，是我们研究天体运动建立方程的基本关系式，即G Mm r
2＝ma ，式中的a 是向心加速度．
（2）物体在地球（天体）表面时受到的引力等于物体的重力，即：G Mm r
2＝mg ，式中的R 为地球（天体）的半径，g 为地球（天体）表面物体的重力加速度．
2．常用的几个关系式
设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动：
（1）由G Mm r 2＝m v 2r 得v ＝GM
r
，r 越大，天体的
v 越小．
（2）由G Mm r 2＝mω2
r 得ω＝GM r 3，r 越大，天体的ω越小．
（3）由G Mm r 2＝mr （2πT ）2得T ＝2πr 3
GM ，r 越大，天体的T 越大．
（4）由G Mm r 2＝ma 得a ＝G M
r
2，r 越大，天体的a 越小．
3．解决天体问题时应注意的问题
（1）在用万有引力等于向心力列式求天体的质量时，只能测出中心天体的质量，而环绕天体的质量在方程式中被消掉了．
（2）应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件．如地球公转一周是365
天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9.8 m/s 2
等．
（3）由G Mm r
2＝mg 可以得到：GM ＝gR 2
.由于G 和M （地球质量）这两个参数往往不易记住，而g 和R 容易记住，所以粗略计算时，一般都采用上述代换，这就避开了万有引力常量G 值和地球的质量M 值，更加方便．这个替换关系被称为“黄金代换”．
1．下列说法正确的是（ ）．
A ．海王星和冥王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的
B ．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的
C ．天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D ．以上说法都不对 答案：AC
解析：海王星的发现是因为在1781年发现的天王星的运行轨道总是与万有引力定律计算出来的结果有一定的偏离，冥王星的发现也是基于同样的原因．
2．若已知某行星绕太阳公转半径为r ，公转周期为T ，万有引力常量为G ，则由此可求出（ ）．
A ．某行星的质量
B ．太阳的质量
C ．某行星的密度
D ．太阳的密度 答案：B
解析：应用万有引力定律可以计算中心天体的质量，有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，则M ＝4π2r
3
GT
2，中
心天体是太阳，知道行星绕太阳运转的轨道半径和周期，可求太阳的质量，所以选项B 正确． 3．地球和木星绕太阳运行的轨道都可以看成是圆形的．已知木星的轨道半径约为地球轨道半径的5.2倍，则木星与地球绕太阳运行的线速度之比约为（ ）．
A ．0.19
B ．0.44
C 答案：B
解析：由万有引力定律和圆周运动知识得G Mm R 2＝m v 2R 可得v ＝GM
R
，所以木星与地球绕
太阳运动的线速度之比v 1v 2＝R 2
R 1
＝0.44，B 正确．
4．地球表面的平均重力加速度为g ，地球半径为R ，万有引力常量为G ，可以用下面哪
个式子来估算地球的平均密度（ ）．
A ．3g 4πGR
B ．3g 4πGR 2
C ．g GR
D ．g GR 2 答案：A
解析：在地球表面处：G Mm R 2＝mg ，所以M ＝gR 2G ，又由于M ＝43πR 3ρ，所以ρ＝M 43
πR 3＝3g
4πRG
.
5．登月舱在离月球表面112 km 的高空绕月球运行，运行周期为120.5 min ，已知月球
半径为1.7×103
km ，试估算月球的质量．
答案：6.73×1022
kg
解析：由GMm (R ＋h )2＝m （2πT ）2（R ＋h ）得M ＝4π2(R ＋h )3
GT
2
≈6.73×1022
kg.。