备考2020年高考物理专题1.12动力学中的临界极值问题精准突破(含解析)

专题1.12 动力学中的临界极值问题
【专题诠释】
1．临界或极值条件的标志
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点．
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态．
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点．
(4)若题目要求“最终加速度”“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度．
2．几种临界状态和其对应的临界条件
【高考领航】
【2019·江苏高考】如图所示，质量相等的物块A和B叠放在水平地面上，左边缘对齐。

A与B、B与地面间的动摩擦因数均为μ。

先敲击A，A立即获得水平向右的初速度，在B上滑动距离L后停下。

接着敲击B，B立即获得水平向右的初速度，A、B都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下。

最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。

求：
(1)A被敲击后获得的初速度大小v A；
(2)在左边缘再次对齐的前、后，B 运动加速度的大小a B 、a B ′；
(3)B 被敲击后获得的初速度大小v B 。

【答案】 (1)2μgL (2)3μg μg (3)22μgL
【解析】 A 、B 的运动过程如图所示：
(1)A 被敲击后，B 静止，A 向右运动，由牛顿第二定律知，A 的加速度大小a A ＝μg
A 在
B 上滑动时有2a A L ＝v 2
A
解得：v A ＝2μgL 。

(2)设A 、B 的质量均为m
对齐前，A 相对B 滑动，B 所受合外力大小
F ＝μmg ＋2μmg ＝3μmg
由牛顿第二定律得F ＝ma B ，得a B ＝3μg
对齐后，A 、B 相对静止，整体所受合外力大小F ′＝2μmg
由牛顿第二定律得F ′＝2ma B ′，得a B ′＝μg 。

(3)设B 被敲击后，经过时间t ，A 、B 达到共同速度v ，位移分别为x A 、x B ，A 的加速度大小等于a A 则v ＝a A t ，v ＝v B －a B t
x A ＝12a A t 2，x B ＝v B t －12
a B t 2
且x B －x A ＝L
解得：v B ＝22μgL 。

【2012·重庆理综】某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为x .比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a 的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v 0时，再以v 0做匀速直线运动跑至终点．整个过程中球一直保持在球拍中心不动．比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾
角为θ0，如图所示．设球在运动中受到的空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m ，重力加速度为g .
(1)求空气阻力大小与球速大小的比例系数k ；
(2)求在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v 变化的关系式；
(3)整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v 0，而球拍的倾角比θ0大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r 的下边沿掉落，求β应满足的条件．
【答案】见解析
【解析】 (1)在匀速运动阶段，有mg tan θ0＝kv 0
得k ＝mgtan θ0v 0
. (2)加速阶段，设球拍对球的支持力为F′N ，有
F′N sin θ－kv ＝ma
F′N cos θ＝mg
得tan θ＝a g ＋v v 0
tan θ0.
(3)以速度v 0匀速运动时，设空气阻力与重力的合力为F ，有 F ＝mg
cos θ0
球拍倾角为θ0＋β时，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为a ′，有F sin β＝ma ′
设匀速跑阶段所用时间为t ，有t ＝x v 0－v 0
2a
球不从球拍上掉落的条件12
a ′t 2≤r 得sin β≤2r cos θ0g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x v 0－v 02a 2
.
【方法技巧】．
处理临界问题的三种方法。