第七章 不等式

第七章不等式考点1 不等关系与不等式1.（2017•山东,7）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A.a+ ＜＜log2（a+b）B.＜log2（a+b）＜a+C.a+ ＜log2（a+b）＜D.log2（a+b））＜a+ ＜1. B ∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b= ．则= ，= = ，log2（a+b）= = ∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+ ．故选B．2.（2017·天津,8）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A.[﹣，2]B.[﹣，]C.[﹣2 ，2]D.[﹣2 ，]2. A 当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤ +a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+ x﹣3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最小值，则﹣≤a≤ ①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣（x+ ）≤ +a≤x+ ，即有﹣（x+ ）≤a≤ + ，由y=﹣（x+ ）≤﹣2 =﹣2 （当且仅当x= ＞1）取得最大值﹣2 ；由y= x+ ≥2 =2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2 ≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．故选A ． 3.(2016·北京,5)已知x ,y ∈R ,且x ＞y ＞0,则( )A.1x －1y＞0 B.sin x －sin y ＞0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y ＜0 D.ln x ＋ln y ＞0 3.C [函数y ＝1x 在(0,＋∞)上单调递减,所以1x ＜1y ,即1x －1y ＜0,A 错;函数y ＝sin x 在(0,＋∞)上不是单调函数,B 错;函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0,＋∞)上单调递减,所以⎝⎛⎭⎫12x ＜⎝⎛⎭⎫12y ,即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y＜0,所以C 正确；ln x ＋ln y ＝ln xy ,当x ＞y ＞0时,xy 不一定大于1,即不一定有ln xy ＞0,D 错.]4. (2016·全国Ⅰ,8)若a >b >1,0<c <1,则( )A.a c <b cB.ab c <ba cC.a log b c <b log a cD.log a c <log b c4.C [对A ：由于0<c <1,∴函数y ＝x c 在R 上单调递增,则a >b >1⇒a c >b c ,故A 错； 对B ：由于－1<c －1<0,∴函数y ＝x c －1在(1,＋∞)上单调递减,∴a >b >1⇔a c －1<b c －1⇔ba c <ab c ,故B 错；对C ：要比较a log b c 和b log a c ,只需比较a ln c ln b 和b ln c ln a ,只需比较ln c b ln b 和ln ca ln a ,只需比较b ln b 和a ln a .构造函数f (x )＝x ln x (x >1),则f ′(x )＝ln x ＋1>1>0,f (x )在(1,＋∞)上单调递增,因此f (a )>f (b )>0⇒a ln a >b ln b >0⇒1a ln a <1b ln b ,又由0<c <1得ln c <0,∴ln c a ln a >ln cb ln b ⇒b log ac >a log b c ,C 正确；对D ：要比较log a c 和log b c ,只需比较ln c ln a 和ln cln b,而函数y ＝ln x 在(1,＋∞)上单调递增,故a >b >1⇔ln a >ln b >0⇔1ln a <1ln b ,又由0<c <1得ln c <0,∴ln c ln a >ln cln b ⇔log a c >log b c ,D 错误,故选C.]5.(2015·江苏，7)不等式2x 2－x ＜4的解集为________.5.{x |－1＜x ＜2} [∵2x 2－x ＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.]考点2 线性规划1．（2018天津，2）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤5,2x −y ≤4,−x +y ≤1,y ≥0, 则目标函数z =3x +5y 的最大值为( )A．6B．19C．21D．451.C 绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：{x+y=5−x+y=1，可得点A的坐标为：A(2,3)，据此可知目标函数的最大值为：z max=3x+5y=3×2+5×3=21.本题选择C选项.2.（2017•新课标Ⅱ,5）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A.﹣15B.﹣9C.1D.92.A x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选A．3.（2017·天津,2）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A. B.1 C. D.33. D 变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选D．4.（2017•北京,4）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A.1B.3C.5D.94. D x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选D．5.（2017•浙江,）若x 、y 满足约束条件，则z=x+2y 的取值范围是（ ）A.[0，6]B.[0，4]C.[6，+∞）D.[4，+∞）5. A x 、y 满足约束条件 ，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过坐标原点时，函数取得最小值，经过A 时，目标函数取得最大值， 由解得A （0，3），目标函数的直线为：0，最大值为：36目标函数的范围是[0，6]．故选A ．6.(2016·四川,7)设p ：实数x ,y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2,q ：实数x ,y 满足⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.A [如图,(x －1)2＋(y －1)2≤2①表示圆心为(1,1),半径为2的圆内区域所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1②表示△ABC 内部区域所有点(包括边界).实数x ,y 满足②则必然满足①,反之不成立.则p 是q 的必要不充分条件.故选A.]7.(2016·山东,4)若变量x ,y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是()A.4B.9C.10D.127.C[满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如右图阴影部分(包括边界),x 2＋y 2是可行域上动点(x ,y )到原点(0,0)距离的平方,显然,当x ＝3,y ＝－1时,x 2＋y 2取最大值,最大值为10.故选C.]8.(2016·北京,2)若x ,y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为()A.0B.3C.4D.58.C [不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z ＝2x ＋y ,则y ＝－2x ＋z ,作直线2x ＋y＝0并平移,当直线过点A 时,截距最大,即z 取得最大值,由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1,2),可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4.]9.(2015·广东,6)若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A.315B.6C.235D.49.C[不等式组所表示的可行域如下图所示,由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z 2,依题当目标函数直线l ：y ＝－32x ＋z2经过A ⎝⎛⎭⎫1，45时,z 取得最小值即z min ＝3×1＋2×45＝235,故选C.]10.(2015·北京,2)若x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A.0B.1C.32D.210.D[可行域如图所示.目标函数化为y ＝－12x ＋12z ,当直线y ＝－12x ＋12z ,过点A (0,1)时,z 取得最大值2.]11.(2015·福卷,5)若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A.－52B.－2C.－32D.211.A[如图,可行域为阴影部分,线性目标函数z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ,由图形可知当y ＝2x －z 过点⎝⎛⎭⎫－1，12时z 最小,z min ＝2×(－1)－12＝－52,故选A.]12.(2015·山东,6)已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4,则a ＝( )A.3B.2C.－2D.－312.B[不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A (2,0),由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1,1).由z ＝ax ＋y ,得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时,z ＝ax ＋y 在O (0,0)处取得最大值,最大值为z max ＝0,不满足题意,排除C,D 选项；当a ＝2或3时,z ＝ax ＋y 在A (2,0)处取得最大值, ∴2a ＝4,∴a ＝2,排除A,故选B.]13.(2015·陕西,10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.1713.D[设甲、乙的产量分别为x 吨,y 吨,由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3).则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元).]14．（2018全国Ⅰ，13）若x ，y 满足约束条件{x −2y −2≤0x −y +1≥0y ≤0 ，则z =3x +2y 的最大值为_____________．14.6 根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由z =3x +2y 可得y =−32x +12z ，画出直线y =−32x ，将其上下移动，结合z2的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由{x −2y −2=0y =0，解得B(2,0)，此时z max =3×2+0=6，故答案为6.15．（2018全国Ⅱ，14）若x, y 满足约束条件{x +2y −5≥0,x −2y +3≥0,x −5≤0, 则z =x +y 的最大值为__________．15.9 不等式组表示的可行域是以A(5,4),B(1,2),C(5,0)为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数z =x +y 的最大值必在顶点处取得，易知当x =5,y =4时，z max =9.16．（2018浙江，12）若x,y满足约束条件{x−y≥0,2x+y≤6,x+y≥2,则z=x+3y的最小值是___________，最大值是___________．16. -28 作可行域，如图中阴影部分所示，则直线z=x+3y过点A(2,2)时z取最大值8，过点B(4,-2)时z取最小值-2.17．（2018北京，12）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y−x的最小值是__________．17.3 作可行域，如图，则直线z=2y−x过点A(1,2)时，z取最小值3.18.（2017•新课标Ⅰ,14）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为________．18. -5 由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．19.（2017•新课标Ⅲ,13）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为________19.﹣1 由z=3x﹣4y，得y= x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y= x﹣，通过平移可知当直线y= x﹣，经过点B（1，1）时，直线y= x﹣在y轴上的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．20.（2017•山东,10）已知,x y 满足30{350 30x y x y x -+≤++≤+≥，则2z x y =+的最大值是__________．20. 5 画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由 解得A （﹣3，4），此时直线y=﹣ x+ z 在y 轴上的截距最大， 所以目标函数z=x+2y 的最大值为z max =﹣3+2×4=5．故选C ．21.(2016·全国Ⅲ,13)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________.21.32[满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0的可行域为以A (－2,－1),B (0,1),C ⎝⎛⎭⎫1，12为顶点的三角形内部及边界,过C ⎝⎛⎭⎫1，12时取得最大值为32.] 22.(2016·全国Ⅰ,16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.22.216 000 [设生产A 产品x 件,B 产品y 件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，x ∈N *，y ∈N*目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).]23.(2015·新课标全国Ⅰ,15)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________. 23.3[约束条件的可行域如下图,由y x ＝y －0x －0,则最大值为3.]考点3 基本不等式1．（2018全国Ⅲ，12）设a =log 0.20.3，b =log 20.3，则( ) A ．a +b <ab <0 B ．ab <a +b <0 C ．a +b <0<ab D ．ab <0<a +b1.B ∵a =log0.20.3,b =log20.3,∴1a =log0.30.2,1b =log0.32,∴1a +1b =log0.30.4,∴0<1a +1b<1,即0<a+b ab<1.又∵a >0,b <0,∴ab <0,即ab <a +b <0.故选B.2．（2018天津，13）已知a , b ∈R ，且a −3b +6=0，则2a +18b 的最小值为_____________.2.1 4由a−3b+6=0可知a−3b=−6，且：2a+18b=2a+2−3b，因为对于任意x，2x>0恒成立，结合均值不等式的结论可得：2a+2−3b≥2×√2a×2−3b=2×√2−6=14.当且仅当{2a=2−3ba−3b=6，即{a=−3b=1时等号成立.综上可得2a+18b的最小值为14.3.（2017•江苏,10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．3.30 由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x≥4×2× =240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．4.（2017·天津,12）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．4. 4 a，b∈R，ab＞0，∴≥= =4ab+ ≥2 =4，当且仅当，即，即a= ，b= 或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．。