高二数学上学期 第4课时 等比数列概念预习案 沪教版(2021年最新整理)

2017年高二数学上学期第4课时等比数列概念预习案沪教版
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等比数列概念
【教学目标】1、掌握等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式；
2、掌握等比数列的有关性质，并能利用这些知识解决有关问题；
【教学重点】等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式以及等比数列的有关性质的应用 【教学难点】等比数列的判断和性质的应用 【教学方法】讲练结合 【教学过程】 一、主要知识：
1．定义：一般地,如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于同 一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．
（1）通项公式： ； 。

(2）等比中项：如果,,a G b 成等比数列，则2G = ,G 叫做,a b 的 。

2。

等比数列的性质：
(1）若n a 是等比数列，则a m =a n q m —n
；
(2）若n a 是等比数列，m ， n ， p, q ∈N ＊
， 当m+n=p+q 时，a m a n = a p a q ；当m+n=2p 时，a m a n = a p 2
．
（3)若n a 是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列；
(4）若n a 是等比数列，S n 是n a 的前n 项和，则S m ， S 2m —S m , S 3m -S 2m …成等比数列．
（5)两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列．
3.等比数列的前n 项和公式： 当1q =时，n S = ；
当1q ≠时,n S = ； . 二、例题分析:
考点一、等比数列的通项公式
例1、在等比数列{}n a 中，已知473,81a a ==-,求公比q 及首项1a
巩固练习:
1．下列数列中成等比数列的是____________（填序号）
（1）1,1,1,1--； （2)111
1,,,4916
； (3）12; （4）11,2,,222 2．在等比数列{}n a 中
（1）若315,2,______a q a ===则; (2）若481,16,______a a q ===则； （3）若11,256,2,______n a a q n ====则
3．分别求下列两数的等差中项A 和等比中项G ：
(1）28--与； （2)22+
4．数列{}n a 是公差不为零的等差数列,11a =，若125,,a a a 成等比数列，则通项n a = 5．在由实数组成的等比数列{}n a 中，已知1235673,48a a a a a a ++=++=，求数列{}n a 的通项公式.
例2、有四个数前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数和第四个数之和是16，第二个数与第三个数之和是12，求这四个数.
巩固练习:
（1）三个实数,,
a b c成等差数列，又成等比数列，则::
a b c= .
（2）有四个数，前三个成等比数列，后三个成等差数列,第一和第四个数之和为22，中间两个数和为6，求这四个数。

考点二、等比数列的性质
例3、已知等比数列{}n a，3719
+=⋅=,求等比数列{}n a的通项公式。

a a a a
20,64
巩固练习：
(1)等比数列{}n a ,4738512,124a a a a ⋅=-+=，且公比q 为整数，则10a = 。

(2）等比数列{}n a ，已知5816,8a a =-=，则11a = 。

（3）在等比数列{}n a 中，若35727a a a =，则5a = (4）若等比数列{}n a 公比大于1,且7114146,5a a a a =+=,则
14
4
a a = 例4、数列{}n a 中,116,122n n a a a +=+=+，求数列的通项公式。

巩固练习：
已知数列{}n a 中，111
1,12
n n a a a +==+，求n a 。

考点三、等比数列的求和公式应用
例5、等比数列{}n a 中，已知189,96,2n n S a q ===，求1a 与n 。

巩固练习：
1。

等比数列{}n a 中，公比42,1q S ==，则8S = .
2.等比数列{}n a 中，11
8,2
a q ==，则5S = .
3.在等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ： (1）若163,2,______a q S ===则；
（2）若1611
2.7,,______390
n a q a S =-=-==,则；
(3）若34521,63,______a a S ==-=则; (4)若132,14,______a S q ===则；
例6、等比数列{}n a 的前n 项和为10，前2n 项和为30，求其前3n 项的和3n S .
巩固练习:
等比数列{}n a 中,71448,60S S ==，则21S = . 考点四、等比数列的判断
例7、若,,a b c 成等比数列，求证：2222,,a b ab bc b c +++也成等比数列.
巩固练习：
若,,,a b c d 成等比数列，公比1q ≠-，求证：,,a b b c c d +++成等比数列.
提高练习：
在ABC ∆中，若三边成等比数列，对应的三内角成等差数列，证明ABC ∆为等边三角形。

考点五、等比数列的在实际中应用
例8、某市2004年底有住房面积1200万平方米，从2005年起，每年拆除20万平方米旧住房，假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5％. （1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；
（2）求2024年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位，且精确到0。

01)
巩固练习:
某林场原有林木的存储量为a ，林木以每年20％的增长率生长,而每年冬天要砍伐一定量的林木，为了实现经过10年达到林木的存储量为原来的2倍目标,求每年砍伐量的最大值。

课堂测试:
1．一等比数列前四项的和是前两项和的2倍,则此数列的公比是______
2______,等差中项的值是______
3．某公司2000年新研发生产某种产品为2万件，从2001年起，每年比上一年增长20％,则从
______年起年产量将超过10万件
4．三个不同的实数,,a b c 成等差数列，且,,a c b 成等比数列，则a:b ：c=______ 5．已知{}n a 是等比数列，且0n a <，若243546225a a a a a a ++=,则35_______a a += 6．等比数列{}n a 的通项公式为42n n a -=，则6_______S = 7．数列{}n a 中，22221124621,2,_____n n n a a a a a a a +==+++
+=则
8．已知等比数列{}n a 各项均为正数，公比39
1,,2
a a q P Q P Q +≠=
=设则与的大小关系是____P Q
9．已知{}n a 是等比数列,公比为q ,前n 项和为n S （1）若162,3,____q a S =-==则；
（2）若12,162,____,____n n a a S q n =====242,则;
（3）若55131
,,____28
q S a ===则
10．设{}n a 是等差数列，12n
a
n b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，已知123123211,88b b b b b b ++=⋅⋅=，求数列{}n a 的通项。

课后作业
1．已知数列{}n a 是等比数列，且415827,1,____,____a a a a =-===则 2．在等比数列{}n a 中，完成问题：
（1）165,2,____a q S ===则； （2)8811
,,____162a q S =
==则 （3）132,14,____a S q ===则； （4）611891
,,____42
S q a ===则
3．111
1242
n +++⋅⋅⋅=__________；
4．数列1, 1-2, 1—2+4，1-2+4-8，… 的一个通项公式为______ 5．等比数列{}n a 中，1234451,9,_______a a a a a a +=+=+=则
6．首项为4，公比为5的等比数列的前n 项和为n S ，则使S n 〉107
的最小自然数n 是_____ 7．数列{}n a 中，111
2,,____2n n n n
a a a a +==+
=则 8．数列1111
1,3,5,7,24816
⋅⋅⋅的前n 项和为_____
9．在等比数列{}n a 中，公比为q ，前n 项和为n S
（1)若324332,32,____a S a S q =+=+=则； （2）若482,1,____q S ===则S ； （3）若123452345631,62,____n a a a a a a a a a a a ++++=++++==则
10．数列
111,,,2558811
⋅⋅⋅⨯⨯⨯的前n 项和为_____ 11．在图中表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，试求a b c ++的值
12．设数列｛a n }的前n 项和为S n ,且对任意正整数n ,4096n n a S += （1)求数列{}n a 的通项公式
（2）设数列2{log }n a 的前n 项和为n T ，对数列{}n T ，从第几项起509n T <-?
13．已知数列{}n a 中,0n a >且()2
11132,1n n n n a a a a a ++=-=
(1）求证:数列{}n a 是等比数列,并求通项公式；
（2）若123331
(log log log )n a
a a n
b n =++⋅⋅⋅+,且数列{b n }的前n 项的和为T n ，求T n 的最大值。

第4课时
例1:11
3,9q a =-=-
巩固练习：1.(3); 2。

5
,2,94±; 3.5,4A G =-=±，2,1A G ==±;4.2n —1 ；
5。

1327n n a -=⋅或()1
2n n a -=-
例2：0,4,8，16或15,9,3，1 巩固练习：（1）1:1：1；(2）1,-3，9,21或25,5,1,-3
例
3:(12n n a -=⋅
或1
322n n a -⎛⎫
=⋅± ⎪ ⎪⎝⎭
巩固练习：（1）512;（2）-4；（3）3；（4）3
2
例4：1721n n a -=⋅- 巩固练习:()1
1122n n a -⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭721
2T =
例5：3,6
巩固练习：1.17；2. 15。

5 ;3。

6189S =,91
45n S =-，5427
3S =，23q q ==-或
例6： 70 巩固练习： 63
例7： 略 巩固练习:略 提高练习：略
例8：(1)1240；1282;(2）2522。

64 巩固练习:0.16a
课堂测试：
（1）1或1-; (2）
±； （3） 2009；(4）4：1:（2-）； （5) 5-； （6)3
154； （7） ()4
16115n -；（8)P Q >； （9)63-，3,5，1
8；
（10）2352n n a n a n =-=-或
课后作业：
（1)81，2187-； （2）315，25516,23q q ==-或，24； (3)11212n +⎛⎫
- ⎪⎝⎭；
（4）()
123n
n a --=； （5) 27±； (6) 11； （7）1132n -⎛⎫- ⎪⎝⎭； （8）21
12n n +-；
（9)4，17，12n -； （10） 64n
n +; (11） 9
8
（12）解(1） ∵a n + S n =4096， ∴a 1+ S 1=4096, a 1 =2048。

当n ≥2时, a n = S n －S n －1=(4096－a n ）－(4096－a n －1)= a n －1－a n ∴1-n n
a a =2
1 a n =212—n。

(2) ∵log 2a n =log 2[2048(21）n －1
］=12－n,
∴T n =21
（－n 2
+23n ）。

由T n <－509,解待n 〉24601
23+
，而n 是正整数,于是，n ≥46。

∴从第46项起T n <－509.
13。

（1）1
13n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2）721
2T =。