人教版数学九年级上册 第二十四章 小结与复习

平分弦所对的 两条弧 .
[注意] ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的 “平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于 这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
2. 圆周角定理及其推论 (1) 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角度数的一半. (2) 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等. [注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”； “等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧 或等弧”不能改为“同弦或等弦”． (3) 推论2：90° 的圆周角所对的弦是直径. (4) 推论3：圆的内接四边形的对角互补.
例5 如图，线段 AB 是直径，点 D 是 ☉O 上一点，
∠CDB = 20°，过点 C 作 ☉O 的切线交 AB 的延长线
于点 E，则 ∠E 等于 50 °.
提示：遇切线，通常连接圆心 和切点，构造直角三角形求解. A
C
O
BE
D
针对训练
6. 如图，BE 是⊙O 的直径，点 A 是圆上一点，过点
A 作⊙O 的切线交 BE 延长线于点 C，若 AB = AC，
第二十四章 圆
小结与复习
一、与圆有关的概念
1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2.弦:连接圆上任意两点的线段.
3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.
4.劣弧:小于半圆的圆弧.
5.优弧:大于半圆的圆弧.
·
6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.
7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交.
12. 正多边形的相关概念 (1) 中心：正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心，称 其为正多边形的中心. (2) 半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3) 边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形 的边心距.
(4) 中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角 都相等，叫做正多边形的中心角.
CE = 2，⊙O 的半径长为__2___．
A
B
O
EC
例6 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C
的直线与 AB 延长线相交于点P．若∠COB = 2∠PCB，
求证：PC 是⊙O 的切线．
C
证明：如图，连接 AC.
∵ OA = OC，∴∠A =∠ACO． ∴∠COB = 2∠ACO．
S 1 nar 1 Cr. 其中 C 为正 n 边形的周长.
2
2
考点一 圆的有关概念及性质
例1 如图，在⊙O 中，∠ABC = 50°，则∠CAO 等于( B )
A．30°
B．40° C．50° D．60°
解析：根据圆周角定理可得∠AOC =
2∠B = 100°，又 OA = OC，从而可求
出∠CAO 的度数.
扇形的半径为 l ，扇形的弧长为 2πr ；
(3) 圆锥的侧面积为 πlr ； (4) 圆锥的全面积为 πlr πr2 .
5. 圆内接正多边形的计算
(1)
正
n
边形的中心角为
360° n
.
(2) 正 n 边形的边长 a，半径 R，边心距 r 之间的关系为
R2 r2 (a)2. 2
(3) 边长为 a，边心距 r 的正 n 边形的面积为
2. 扇形面积公式
nπR2 1
半径为 R，圆心角为 n° 的扇形面积 S = __3_60__或___2_l_R_.
3. 弓形面积公式
O
O
弓形的面积 = 扇形的面积±三角形的面积
4. 圆锥的侧面积 (1) 圆锥的侧面展开图是一个 扇形 ； (2) 如果圆锥的母线长为 l，底面圆半径为 r，那么这个
8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交. [注意] (1) 确定圆的要素：圆心决定位置，
半径决定大小；(2) 不在同一条直线上的
三个点确定一个圆.一个圆 n (n≥3) 等分， 依次连接各等分点所得到的多边形叫做这个圆的内接 正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.
A
O
BP
又∵∠COB = 2∠PCB，∴∠ACO =∠PCB．
∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ACO +∠OCB = 90°．
∴∠PCB +∠OCB = 90°，即 OC⊥CP．
∵ OC 是⊙O 的半径，∴ PC 是⊙O 的切线．
针对训练 7. 如图，点 D 是∠AOB 的平分线 OC 上任
意一点，过 D 作 DE⊥OB 于 E，以 DE 为半径作⊙D.
∵ PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP = 90°.
∴∠OBP = 90°. ∴ PB 是⊙O 的切线.
B C
OD E 有交点， 连交点， 证垂直
(2) 若 AP = 5，PE = 13，求 DE 的长．
解：在 Rt△APE 中， 由勾股定理易得 AE = 12．
P B
C
由 (1) 知 AP = BP = 5，则 BE = 8． A ∵ PB 为⊙O 的切线，∴∠OBE = 90°.
C
O 作出弓形的高 CD，则 AO = 5 mm， O
OD = 3 mm，利用勾股定理可算得 A
AD = 4 mm，所以 AB = 8 mm.
D
8 mm
B
4. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，且 AB = 2，C，D 是同一
半圆上的两点，并且 AC 与 BD 的度数分别是 96° 和
36°，动点 P 是 AB 上的任意一点，则 PC + PD 的最小
针对训练
2.如图 ，四边形 ABCD 为 ☉O 的内接正方形，点 P 为
劣弧 BC 上的任意一点 (不与 B，C 重合)，则∠BPC 的
度数是 135° .
A
D
O
B
C
P
例2 如图，已知 A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，
BC = CD，在下列四个说法中：① AC 2CD ；② AC =
提示：连接 OA，结合垂径定理与勾 A 股定理求有关线段的长，其中 (3) 需
运用方程思想求解.
C E
B
O
D
针对训练
3. 如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的口宽，
假设钢珠的直径是 10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的
距离为 8 mm，则这个小圆孔的口宽 AB = 8 mm.
解析 设圆心为 O，连接 OA，过点
它们所对应的其余各组量都分别相等.
三、与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离 d 与
圆的半径 r 比较得到.
设☉O 的半径是 r，点 P 到圆心的距离为 d ，则有
d＜r
点
P
在圆内；[以注转意化]为点点与到圆圆的心位的置距关离系
可 与
d=r
点 P 在圆上；半径之间的大小关系；反过
(2) 若 PA＝4 cm，求△PDE 的周长． 解：由 (1) 知，AD＝CD，BE＝CE.
∴ △PDE 的周长为 PD＋PE＋DE ＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8 (cm).
求证：OA 是⊙D 的切线．
A
证明：过点 D 作 DF⊥OA 于 F，
∵ 点 D 是∠AOB 的平分线 OC 上
F
C
任意一点，DE⊥OB，
D
∴ DF = DE， 即 D 到直线 OA 的距离等于⊙D
O 无切点，E
B
的半径.
作垂直，
∴ OA 是⊙D 的切线．
证半径
8. 如图，PA 与⊙O 相切于点 A，过点 A 作 AB⊥OP，
值是 3 . 解析：作 D 点关于 AB 的对称点 D′， 连接 CD′，与 AB 交于点 P，此时 PC + PD 的最小值即为 CD′ 的长度. A 先求出∠COD′ 的度数，再求 CD′.
C D
PO P B D′
考点二 与圆有关的位置关系
例3 ☉O 的半径为 R，圆心到点 A 的距离为 d，且 R、
O
D
E
设 OB = r，则 OE = 12 - r.
在 Rt△OBE 中，由勾股定理得
∴
DE
OE
r2 + 82 OD
= (12 12 r
- r)2， 解得 r 16 .
r
=
10 3
.
3
例7 如图，PA，PB 是 ⊙O 的切线，A，B 为切点，过 AB 上的一点 C 作⊙O 的切线，交 PA 于 D，交 PB 于 E. (1) 若∠P＝70°，求∠DOE 的度数； 解：连接 OA，OB，OC． ∵ ⊙O 分别切 PA，PB，DE 于点 A，B，C， ∴ OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD＝CD，BE＝CE． ∴ OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC. ∴∠DOE＝ 1 ∠AOB. ∵∠P＋∠AO2 B＝180°，∠P＝70°， ∴∠AOB＝110°. ∴∠DOE＝55°.
针对训练
5. 平面直角坐标系中，M 点坐标为 (-2，3)，以 2 为半 径画⊙M，则以下结论正确的是（ D ） A．⊙M 与 x 轴相交，与 y 轴相切 B．⊙M 与 x 轴相切，与 y 轴相离 C．⊙M 与 x 轴相离，与 y 轴相交 D．⊙M 与 x 轴相离，与 y 轴相切
考点三 切线的判定与性质
3. 与切线相关的定理 (1) 判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线. (2) 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3) 切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切 线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平 分这两条切线的夹角
五、圆中的计算问题
1. 弧长公式
nπR
半径为 R 的圆中，n° 圆心角所对的弧长 l =__1_80__.
2CD；③ OC⊥BD；④∠AOD = 3∠BOC，正确说法的
个数是
（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
AB
C O
D
√① AC 2CD； ②AC = 2CD； √ √ ③OC⊥BD； ④∠AOD = 3∠BOC
解析：由 OB⊥AC 可知 OB 垂直平分AC，
则 AB = BC = CD. ∴ AB BC CD. ∴ AC 2CD.
d＞r
点 P 在圆外.
来，也可以通过这种大小关 系判断点与圆的位置关系．
2. 直线与圆的位置关系
设r为 圆的半
图形
径，d 公共点个数
为圆心 直线与圆的
到直线 位置关系
的距离 公共点名称
直线名称
0个 相离
1个 相切
切点 切线
2个 相交
交点 割线
四、有关定理 1. 垂径定理及其推论 (1) 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且
d 分别是方程 x2－6x＋8＝0 的两根，则点 A 与☉O 的
位置关系是（ D ）
A. 点 A 在☉O 内部
B. 点 A 在☉O 上
C. 点 A 在☉O 外部
D. 点 A 不在☉O 上
解析：此题需先计算出一元二次方程 x2－6x＋8＝0 的
两个根，然后再根据 R 与 d 的之间的关系判断出点 A
与☉O 的关系.
垂足为 C，交⊙O 于点 B．连接 PB，AO，并延长 AO
交⊙O 于点 D，与 PB 的延长线交于点 E．
(1) 求证：PB 是⊙O 的切线；
P
证明：连接 OB.
∵ PO⊥AB，∴ AC = BC. ∴ PA = PB.
∵ PO = PO，
A
∴△PAO≌△PBO (SSS).
∴∠OAP =∠OBP.
10. 三角形的外接圆 外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. [注意] (1) 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分 线的交点；(2) 一个三角形的外接圆是唯一的.
11. 三角形的内切圆 内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
[注意] (1) 三角形的内心是三角形三条角平分线的交 点；(2) 一个三角形的内切圆是唯一的.
A. 32° B. 60°
C. 68°
D. 64°
E
D
A
O
B
C
例3 如图，⊙O 的弦 AB 和直径 CD 交于点 E，且 CD
平分 AB.
(1) 若 OC = 13，CE = 8，那么 AB 的长是__2_4___；
(2) 若 AB = 16，OC = 10，那么 CE 的长是 4 ；
(3) 若 AB = 8，CE = 2，那么⊙O 的半径长是___5___．
点 C 是 BD 的中点，易得 OC⊥BD， ∠AOB =∠BOC =∠COD， 即∠AOD = 3∠BOC. 易知 AB + BC＞AC，即 2CD＞AC. 综上可知，正确的说法有 3 个. 故选 C.
AB
C O
D
针对训练
2. 如图，AB，CD 是⊙O 的直径，AE BD，若∠AOE
= 32°，则∠COE 的度数是（ D ）
二、 圆的基本性质 1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条_直__径__所在的直线都是 它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心即为对称中心.
2. 有关圆心角、弧、弦的性质 (1) 在同圆中，如果圆心角相等，那么 它们所对的弧相等，所对的弦也相等；
(2) 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧和两条弦中有一组量相等，那么