高考数学一轮复习 第5章 数列 热点探究训练3 数列中的

热点探究训练(三) 数列中的高考热点问题
1．(2017·广州综合测试(一))已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .
[解] (1)设数列{a n }的公比为q ，
因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2
.2分
因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4. 即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0.
因为公比q ≠0，所以q ＝2.
所以a n ＝a 2q n －2
＝4×2n －2＝2n
(n ∈N *).5分
(2)因为a n ＝2n
，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1，
所以a n b n ＝(2n －1)2n
，7分
则T n ＝1×2＋3×22＋5×23
＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ，① 2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)2n ＋1.② 由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1
＝2＋2×41－2n －1
1－2－(2n －1)2n ＋1
＝－6－(2n －3)2n ＋1，
所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1
.12分
2．(2016·四川高考)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和， S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *
.
(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；
(2)设双曲线x 2－y 2
a 2n
＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 21＋e 22＋…＋e 2
n . [解] (1)由已知S n ＋1＝qS n ＋1，得S n ＋2＝qS n ＋1＋1， 两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.
又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，
故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．
所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝q n －1
.3分
由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3， 所以a 3＝2a 2，故q ＝2.
所以a n ＝2n －1
(n ∈N *).5分
(2)由(1)可知a n ＝q
n －1， 所以双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率 e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2n －1.8分 由e 2＝1＋q 2＝2解得q ＝3，
所以e 21＋e 22＋…＋e 2n
＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋[1＋q
2(n －1)] ＝n ＋[1＋q 2＋…＋q 2(n －1)]
＝n ＋q 2n －1q 2－1＝n ＋12
(3n －1).12分 3．(2016·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝6.正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)若λb n >a n ，对n ∈N *
均成立，求实数λ的取值范围．
[解] (1)∵等差数列{a n }中，a 1＝1，S 3＝6，
∴d ＝1，故a n ＝n .2分 由⎩⎨⎧ b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n ，①
b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1， ②
①÷②得b n ＝2S n －S n －1＝2a n ＝2n (n ≥2)，
b 1＝2S 1＝21＝2，满足通项公式，故b n ＝2n .5分
(2)λb n >a n 恒成立，即λ>n
2n 恒成立，7分 设c n ＝n 2n ，则c n ＋1c n ＝n ＋12n
， 当n ≥1时，c n ＋1≤c n ，{c n }单调递减，
∴(c n )max ＝c 1＝12，故λ>12，∴λ的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞.12分 4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－
4a n ＋3，数列{b n }满足b n ＝1a n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{b n }的通项公式；
(2)证明：1b 21＋1b 22＋…＋1b 2n
<7. [解] (1)由题意得a n ＋1＋1＝2－4a n ＋3＝2a n ＋2a n ＋3
， b n ＋1＝1a n ＋1＋1＝a n ＋32a n ＋2＝a n ＋1＋22a n ＋1＝1a n ＋1＋12
＝b n ＋12.3分 又b 1＝12，∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列，∴b n ＝n 2
.5分 (2)证明：当n ＝1时，左边＝1b 21
＝4<7不等式成立；6分 当n ＝2时，左边＝1b 21＋1b 22＝4＋1＝5<7不等式成立；8分 当n ≥3时，1b 2n ＝4n 2<4n n －1＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1－1n ， 左边＝1b 21＋1b 22＋…＋1b 2n <4＋1＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝5＋4⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1n ＝7－4n <7.10分
∴1b 21＋1b 22＋…＋1b 2n
<7.12分。