黑省双鸭山市一中2020届高三上学期数学理科12月月考试卷附答案解析

双鸭山市一中2020届高三上学期12月月考
数学（理）试题
一、单选题
1．设集合{}
21log 3A x x =≤≤，{}
2
340B x x
x =--<，则A B =（ ）
A ．
()1,2-
B ．
(]1,8- C ．
[)2,4
D ．
[]4,8
2．在复平面内，复数21i
i
+-对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l
α⊥，l β⊥，则//αβ
C ．若l
α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥
4．已知一组样本数据点11223366(,),(,),(,),,(,)x y x y x y x y ，用最小二乘法求得其线性回归方程为
24y x =-+.若1236,,,
,x x x x 的平均数为1，则1236y y y y +++
+=（ ）
A ．10
B ．12
C ．13
D ．14
5．已知等比数列{}n a 满足11
2
a =
，且()24341a a a ⋅=-，则5a =（ ） A ．8 B ．16
C ．32
D ．64
6．点()1,2P -是角α终边上一点，则()sin πα-的值为（ ）
A ．
25
5 B ．25
5
-
C ．25
-
D ．
15
7．下列叙述正确的是（ ） A ．命题“p 且q ”为真，则
,p q 恰有一个为真命题
B ．命题“已知,a b ∈R ，则“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件”
C ．命题:0p x ∀>都有e 1x >，则0:0p x ⌝∃>，使得01x e ≤
D ．如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()0)·
(f a f b <，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点 8．函数()sin()(0)4
f x A x π
ωω=+
>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为
3
π
的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）
A ．向左平移
12
π
个单位 B ．向右平移
4π
个单位 C ．向左平移
4
π
个单位 D ．向右平移
34
π
个单位 9．己知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>直线l 过左焦点且倾斜角为3π，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长
等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ） A ．
7
7
B ．
25
5
C ．
55
D ．
277
10．在三棱锥P ABC －中，点P A B C ，，，均在球O 的球面上，且86AB BC AB BC ⊥==，，，若此三棱锥体积的最大值为405，则球O 的表面积为( ) A ．90π B ．120π
C ．160π
D ．180π
11．已知
()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()3f x x x =+，若
24log 5a f ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，()2log 4.1b f =，()2019c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．c a b <<
12．已知椭圆22
:182
x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，直线l 过点2F 且与椭圆C 交于M N ，两点，且
MA AN =，若2||OA AF =，则直线l 的斜率为( )
A ．±1
B ．1
2
±
C ．13
±
D ．14
±
二、填空题
13．“实数1m =-”是“向量(,1)a m =与向量(2,3)b m =-平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的一个填空) ．
14．设a ，b 为正实数，且2
14b a a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭，则2
21b a b a ++的最小值为____.
15．设函数
ln ,0
()(1),0x
x x f x x e x ⎧>=⎨+≤⎩
，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 的取值范围是____.
16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,60a b c ABC ABC ︒∠=∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_________ 三、解答题
17．已知数列{}n a 中，12a =，1
122n n n a a ++=+，设2n
n n
a b =
. （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列1
1
{}n n b b +的前n 项和n S .
18．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A ，B 实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．
（1）求图中a 的值；
（2）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．
优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 20 乙培育法 10 合计
附：下面的临界值表仅供参考．
()
20P K k ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0K
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．）
19．如图，在直角梯形ABED 中，//, AB ED AB EB ⊥,点C 是AB 中点，且,24AB CD AB CD ⊥==,现将三角形ACD 沿CD 折起，使点A 到达点P 的位置，且PE 与平面PBC 所成的角为45.
(1)求证:平面PBC ⊥平面DEBC ; (2)求二面角D PE B --的余弦值.
角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算. 20．如图，椭圆 ：
的左右焦点分别为 ，离心率为
，过抛物线 ： 焦点 的直线交抛物线于 两点，当
时， 点在 轴上的射影为 ，连接
并延长分别交 于 两点，连接 ， 与 的面积分别记为 ， ，设
.
（1）求椭圆 和抛物线 的方程； （2）求 的取值范围.
21．已知函数()()()2
21ln f x a x ax a R x
=---∈． （Ⅰ）当1a =时，求
()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设函数()()12
x e ax a
g x f x x
--+=+，若2x =是()g x 的唯一极值点，求a ．
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θ
θ=-+⎧⎨=+⎩
（θ为参数）．
（Ⅰ）求曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）经过点(1,2)M -作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若M 恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的普通方程．
23．已知
,a b 是正实数，且2a b +=， 证明： （Ⅰ）2a b +≤； （Ⅱ）3
3
(4)()a b a b ++≥．
解析
双鸭山市一中2020届高三上学期12月月考
数学（理）试题
一、单选题
1．设集合{}
21log 3A x x =≤≤，{}
2
340B x x
x =--<，则A B =（ ）
A ．
()1,2-
B ．
(]1,8- C ．
[)2,4
D ．
[]4,8
【答案】B
【解析】求出集合A ，集合B ，然后求交集即可. 【详解】
解：因为{}
28A x x =≤≤，{}
14B x x =-<<， 所以{}
18A B x x ⋃=-<≤. 故选：B. 【点睛】
本题考查集合交集的运算，以及对数不等式，二次不等式的求解，是基础题. 2．在复平面内，复数21i
i
+-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
解：()()()()21+21+3i
==111+2
i i i i i i ++--， 所以复数
21i i +-对应的点的坐标为：13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，位于第一象限， 故选：A ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l
α⊥，l β⊥，则//αβ
C ．若l
α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥
【答案】B
【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系
4．已知一组样本数据点11223366(,),(,),(,),
,(,)x y x y x y x y ，用最小二乘法求得其线性回归方程为
24y x =-+.若1236,,,
,x x x x 的平均数为1，则1236y y y y +++
+=（ ）
A ．10
B ．12
C ．13
D ．14
【答案】B
【解析】设样本数据的中心为(1,)y ，代入回归直线的方程，求得2y =，进而求得答案。

【详解】
由题意，设样本数据的中心为(1,)y ，代入回归直线的方程，可得2142y =-⨯+=， 则1234566212y y y y y y +++++=⨯=，故选B 。

【点睛】
本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的基本特征是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

5．已知等比数列{}n a 满足11
2
a =
，且()24341a a a ⋅=-，则5a =（ ） A ．8 B ．16
C ．32
D ．64
【答案】A
【解析】先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式即可求出5a 的值 【详解】
等比数列{}n a 满足11
2
a =
，且2434(1)a a a =-， 则
32111
4(1)222
q q q ⨯⨯⨯=⨯-， 解得2
4q =，
42511
482
a a q ∴==⨯=，
故选：A ． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于基础题. 6．点()1,2P
-是角α终边上一点，则()sin πα-的值为（ ）
A ．
25
5
B ．25
5
-
C ．25
-
D ．
15
【答案】A
【解析】利用三角函数的定义求出sin α的值，然后利用诱导公式可求出()sin πα-的值. 【详解】
由三角函数的定义可得()
2
2
2
25
sin 5
12α=
=
-+， 由诱导公式可得()25
sin sin 5
παα-==. 故选：A. 【点睛】
本题考查三角函数的定义，同时也考查了利用诱导公式求值，在利用诱导公式求值时，充分理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查计算能力，属于基础题. 7．下列叙述正确的是（ ） A ．命题“p 且q ”为真，则
,p q 恰有一个为真命题
B ．命题“已知,a b ∈R ，则“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件”
C ．命题:0p x ∀>都有e 1x >，则0:0p x ⌝∃>，使得01x e ≤
D ．如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()0)·
(f a f b <，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点 【答案】C
【解析】由p 且q 的真值表，可判断正误；由充分必要条件的定义和特值法，可判断正误；由全称命题的否定为特称命题，可判断正误；由函数零点存在定理可判断正误. 【详解】
解：对于A ，命题“P 且q 为真，则P ，q 均为真命题”，故错误；
对于B ，“a ＞b ”推不出“a 2＞b 2”，比如a ＝1，b ＝﹣1；反之也推不出，比如a ＝﹣2，b ＝0，“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的不充分不必要条件，故错误；
对于C ，命题:0p x ∀>都有e 1x >，则0:0p x ⌝∃>，使得01x e ≤，故正确； 对于D ，如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上是连续不断的一条曲线，
并且有f （a ）•f （b ）＜0，由零点存在定理可得函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，故错误． 其中真命题的个数为1， 故选：C ． 【点睛】
本题考查命题的真假判断，考查命题的否定和充分必要条件的判断，以及函数零点存在定理和函数的单调性的判断，考查判断能力和运算能力，属于中档题．
8．函数()sin()(0)4
f x A x π
ωω=+
>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为
3
π
的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）
A ．向左平移
12
π
个单位 B ．向右平移
4
π
个单位 C ．向左平移4
π
个单位 D ．向右平移
34
π
个单位 【答案】A
【解析】依题意有
()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x π
ωω
⎛
⎫=
=
==+ ⎪⎝
⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故应左移π12.
9．己知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>直线l 过左焦点且倾斜角为3π，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长
等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ） A ．
7
7
B ．
25
5
C ．
55
D ．
277
【答案】D
【解析】假设直线方程，求得圆心到直线的距离d ，利用弦长等于222a d -可构造关于,a c 的齐次方程，
从而求得离心率. 【详解】
由题意知，椭圆左焦点为(),0c -，长轴长为2a ，焦距为2c
设直线l 方程为：
()3y x c =+，即330x y c -+=
则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为
()0,0，半径为a
∴圆心到直线l 的距离332
2
c d c =
=
222232224
c a
d a c ∴=-=-，整理得：2
247c a =
∴椭圆的离心率为
427
77
c a ==
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够利用直线被圆截得的弦长构造出关于,a c 的齐次方程.
10．在三棱锥P ABC －中，点P A B C ，，，均在球O 的球面上，且86AB BC AB BC ⊥==，，，若此三棱锥体积的最大值为405，则球O 的表面积为( ) A ．90π B ．120π C ．160π D ．180π
【答案】D
【解析】根据条件可知，当球心在三棱锥P ABC -的高上时，此三棱锥的体积最大.
根据数形结合，设半径为R ，1OO A ∆是直角三角形，满足2
2
2
11AO AO OO =+，建立关于R 的方程,最后
24S R π=计算表面积.
【详解】
因为三棱锥P ABC -的底面积一定，所以当球心在三棱锥P ABC -的高上时， 此三棱锥的体积最大.设球O 的半径为R ，顶点P 在底面内的射影为1O .
因为AB BC ⊥，所以1O 为斜边AC 的中点，则22
186522
AC AO +===， 如图所示.由三楼锥P ABC -的体积113ABC V S PO ∆=⋅得111
4058632
PO =⨯⨯⨯⨯ ， 解得1
55PO =.在1Rt AOO ∆中，有222
11AO AO OO =+，
即2225(55)R R =+-，解得35R =，故球O 的表面积2244(35)180S R πππ===球
.
【点睛】
本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为,,a b c ，那么外接球的直径2222R a b c =
++，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，
先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立R 的方程.
11．已知
()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()3f x x x =+，若
24log 5a f ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，()2log 4.1b f =，()2019c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．c a b <<
【答案】B
【解析】根据题意，分析可得函数f （x ）是周期为2的周期函数，据此可得c ＝f （2019）＝f （1+2×1007）＝f （1），b ＝f （log 24.1）＝f （log 24.1﹣2）＝f （log 24.14），结合函数的奇偶性可得a =f （log 245）＝f （﹣log 24
5
）＝f （log 2
5
4
），结合函数解析式可得f （x ）在[0，1]上为增函数，据此分析可得答案． 【详解】
根据题意，f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为2的周期函数， 则c ＝f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1），b ＝f （log 24.1）＝f （log 24.1﹣2）＝f （log 24.1
4
）， 又由f （x ）为偶函数，则a =f （log 2
45）＝f （﹣log 245）＝f （log 25
4
）， 当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 3+x ，易得f （x ）在[0，1]上为增函数，又由0＜log 24.14＜log 25
4
＜1， 则有b ＜a ＜c ； 故选：B ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．
12．已知椭圆22
:182
x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，直线l 过点2F 且与椭圆C 交于M N ，两点，且
MA AN =，若2||OA AF =，则直线l 的斜率为( )
A ．±1
B ．1
2
±
C ．13
±
D ．14
±
【答案】B 【解析】设()()1122,,,M
x y N x y ,利用点差法可得: 1
4
OA MN k k ⋅=-
,再根据△2OAF 为等腰三角形,可得OA MN k k =-,联立两个方程可解得1
2
MN k =±,即得直线l 的斜率.
【详解】 如图:
设()()1122,,,M x y N x y ，则22
1122
22182
1
8
2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得()()()()12121212082x x x x y y y y -+-++=，则14OA MN k k ⋅=-；因为2||OA AF =，所以△2OAF 为等腰三角形,故OA MN k k =- ，解得1
2MN k =±，故直线l 的斜率为1
2
±
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程以及直线的斜率,属中档题.
二、填空题
13．“实数1m =-”是“向量(,1)a m =与向量(2,3)b m =-平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的一个填空) ． 【答案】充分必要
【解析】由向量共线的判断及向量共线的坐标运算可得解. 【详解】
解：当1m =-时，(1,1),(3,3)a
b =-=- ，即3b a =，所以a b ；
当a b 时，31(2)0m m ⨯-⨯-=，解得1m =-， 故“1m =-”是“a b ”的充分必要条件． 【点睛】
本题考查了共线向量及充分必要条件，属基础题
.
14．设a ，b 为正实数，且2
14b a a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭，则2
21b a b a ++的最小值为____.
【答案】4
【解析】由2
1
4()b a a b
a b +=
+，展开可解得22124a b a a b b a b ++=+，进而可得22122b a b a b a b a
++=+，利用基本不等式解出即可． 【详解】 因为2
1
4()b a a b
a b +=
+，所以22124a b a a b b a b
++=+； 所以221222224b a b a b a b a b a b a
+
+=+≥⨯=，当且仅当a =b 成立 故答案为：4． 【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，配凑定值是关键，属于中档题． 15．设函数
ln ,0()(1),0
x
x x f x x e x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 的取值范围是____. 【答案】(0,1]
【解析】将问题转化为()y f x =与y b =有三个不同的交点；在同一坐标系中画出()y f x =与y b =的图象，根据图象有三个交点可确定所求取值范围. 【详解】
函数()()g x f x b =-有三个零点等价于()y f x =与y b =有三个不同的交点 当0x ≤时，
()()1x f x x e =+，则()()()12x x x f x e x e x e '=++=+
()f x ∴在(),2-∞-上单调递减，在(]2,0-上单调递增
且
()212f e
-=-
，()01f =，()lim 0x f x →-∞= 从而可得
()f x 图象如下图所示：
通过图象可知，若()y f x =与y b =有三个不同的交点，则(]0,1b ∈
本题正确结果：(]0,1
【点睛】
本题考察根据函数零点个数求解参数取值范围的问题，关键是将问题转化为曲线和直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果.
16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,60a b c ABC ABC ︒∠=∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_________ 【答案】3
3
【解析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【详解】 解：由题意得
12ac sin60°1
2
=a sin30°12+c sin30°， 即3ac ＝a +c ， 得
11
3a c
+=， 得4a +c ＝33（4a +c ）（11a c +）3453c a a c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭≥34253c a a c ⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭
＝33， 当且仅当
4c a
a c
=，即c ＝2a 时，取等号， 故答案为：33． 【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用与三角形的面积公式，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．
三、解答题
17．已知数列{}n a 中，12a =，1
122n n n a a ++=+，设2n
n n
a b =
. （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列1
1
{
}n n b b +的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）111
n S n =-
+ 【解析】（1）证明1n n b b c --=（c 为常数）即可；
（2）将
1
1
n n b b +采用裂项的方式先拆开，然后利用裂项相消的求和方法求解n S . 【详解】
（Ⅰ）证明：当2n ≥时，11
1121222
n n n n n n n n n a a a a b b ------=
-== 11b =，所以{}n b 是以为1首项，为1公差的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，n b n =，所以
+1111
1
n n b b n n =-+，
所以111111
11223
11
n S n n n =-+-++
-=-
++. 【点睛】
常见的裂项相消形式：
（1）111(1)1n n n n =-++；（2）111
11
n n n n =-+++；
（3）
1111
()(21)(21)22121
n n n n =--+-+；
（4）112311
(31)(31)3131
n n
n n n ++=-----. 18．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A ，B 实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．
（1）求图中a 的值；
（2）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．
优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 20 乙培育法
10
合计
附：下面的临界值表仅供参考．
()
20P K k ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0K
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．）
【答案】（1）0.040；（2）列联表见解析，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系. 【解析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积之和为1即可求解；
（2）根据题中“分别在实验地随机抽取各50株”判断即可补全数据，再根据二联表算出2K ，并结合2K 与0K 的关系判断即可 【详解】
（1）0.005100.01000.02510100.020101a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.040a = ；
（2） 结合（1）与频率分布直方图，优质花苗的频率为(0.040.02)100.6+⨯=，则样本种，优质花苗的颗数为60棵，列联表如下表所示：
优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 20 30 50 乙培育法 40 10 50 合计 60
40
100
可得22
100(20103040)16.667 2.70660405050
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.
所以，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系. 【点睛】
本题考查频率分布直方图中具体值的计算，解题关键在于抓住图形中面积之和为1进行求解，二联表的填写，
2K 的计算和相关性的判断，属于中档题
19．如图，在直角梯形ABED 中，//, AB ED AB EB ⊥,点C 是AB 中点，且,24AB CD AB CD ⊥==,
现将三角形ACD 沿CD 折起，使点A 到达点P 的位置，且PE 与平面PBC 所成的角为45.
(1)求证:平面PBC ⊥平面DEBC ; (2)求二面角D PE B --的余弦值. 【答案】（1）见解析； （2）77
-
. 【解析】（1）可证CD ⊥平面PBC ，从而可证平面PBC ⊥平面DEBC .
（2）以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 所在的直线y 轴OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系, 求出平面PDE 和平面PEB 的法向量后可求二面角的余弦值. 【详解】
(1)证明:在平面ABED 中，, AB CD BC CD ⊥⊥
PC 为AC 沿CD 折起得到，PC CD ∴⊥ PC BC C CD =⊥，平面PBC ，
又
CD ⊂平面,DEBC ∴平面PBC ⊥平面DEBC
(2)解:在平面ABED 中，
//AB CD AB BE CD EB ⊥⊥，，
由(1)知CD ⊥平面PBC EB ∴⊥，平面PBC ，
而PB ⊂平面PBC ，故EB PB ⊥. 由PE 与平面PBC 所成的角为45，得45EPB ∠=，
PBE ∴∆为等腰直角三角形，PB EB ∴=,
//AB DE ，又//CD EB ，得2BE CD ==, 2PB ∴=，故PBC ∆为等边三角形， 取BC 的中点O ,连结PO ,
,PO BC PO ⊥∴⊥平面EBCD ，
以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 所在的直线y 轴OP 所在的直 线为z 轴建立空间直角坐标系如图， 则()()0,1,02,1,0B
E ，，
()2,1,00,0, 3 ()D P -， 从而()()0,2,02,0,01(23),,DE BE PE =
==-，
，，
设平面PDE 的一个法向量为(), , m x y z =
, 平面PEB 的一个法向量为(), , n a b c =,
则由00
m DE m PE ⎧⋅=⎨
⋅=⎩得
20
230
y x y z =⎧⎪⎨
+-=⎪⎩，令2z =-得()
3,0,2m =--， 由00n BE n PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20230a a b c =⎧⎪⎨+-=⎪
⎩，令1c =得()
0,3,1n =，
所以27
cos 772
m n m n m n
⋅-==
=-⨯⋅，
，
设二面角D PE B --的大小为θ，则θ为钝角且7
7
cos θ=-
， 即二面角D PE B --的余弦值为77
-
【点睛】
面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.
20．如图，椭圆 ：
的左右焦点分别为 ，离心率为
，过抛物线 ： 焦点 的直线交抛物线于 两点，当
时， 点在 轴上的射影为 ，连接
并延长分别交 于
两点，连接 ， 与 的面积分别记为 ， ，设
.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）求的取值范围.
【答案】（I），；（II）．
（Ⅰ）由题意得得，根据点M在抛物线上得，又由，【解析】试题分析：
得，可得，解得，从而得，，可得曲线方程。

（Ⅱ）设，，分析可得，先设出直线的方程为，由，解得
，从而可求得，同理可得,故可将
化为m的代数式，用基本不等式求解可得结果。

试题解析：
（Ⅰ）由抛物线定义可得，
∵点M在抛物线上，
∴，即①
又由，得
将上式代入①，得
解得
∴
，
所以曲线的方程为，曲线的方程为。

（Ⅱ）设直线的方程为，
由消去y整理得，
设（，.
则，
设 ， ，
则
，
所以
， ②
设直线 的方程为 ，
由
，解得 ，
所以
，
由②可知，用
代替 ，
可得
，
由
，解得
，
所以
，
用
代替 ，可得
所以
，当且仅当 时等号成立。

所以 的取值范围为 .
点睛：解决圆锥曲线的最值与范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 21．已知函数()()()2
21ln f x a x ax a R x
=---
∈．
（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设函数()()12x e ax a g x f x x
--+=+，若2x =是()g x 的唯一极值点，求a ． 【答案】（1）()f x 在(0,2)上单调递增；在(2,)+∞上单调递减；（2）0a =
【解析】（1）当1a =时， ()2ln f x x x x
=--，定义域为()0,∞+，求导，解()0f x '>，即可得出单调性． （2）由题意可得：()()12221ln x e ax a g x a x ax x x --+=----，求导得()()()x 123x 2e ax x a g'x x
----+=，由于2x =是()g x 的唯一极值点，则有以下两种情形：情形一：120x e ax x a ---+≥对()0,x ∀∈+∞恒成
立．情形二：1
20x e ax x a ---+≤对()0,x ∀∈+∞恒成立．设，对a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【详解】
解：（1）当1a =时， ()2ln f x x x x
=--，定义域为()0,∞+． ()()()22x 1x 212'1x
f x x x -+-=-+=， 解()0f x '>，解得02x <
<． ∴函数()f x 在()0,2上单调递增；在()2,+∞上单调递减．
（2）由题意可得：()()12221ln x e ax a g x a x ax x x
--+=----，()0,x ∈+∞． ()()()x 12x 124e a x e ax a 2x 212g'x a x a x x -----+⋅-=-++ ()()123
2x x e ax x a x ----+=，()0,x ∈+∞． 由于2x =是()g x 的唯一极值点，则有以下两种情形：
情形一：120x e ax x a ---+≥对()0,x ∀∈+∞恒成立．
情形二：120x e ax x a ---+≤对()0,x ∀∈+∞恒成立．
设．()1'21x h x e ax -=--．
①当0a =时，()1'1x h x e -=-．则()'10h =．
可得1x =时，函数()h x 取得极小值即最小值，∴()()10h x h ≥=．满足题意．
②当0a <时，
．在()0,x ∈+∞单调递增． 又．∴存在()00,1x ∈，使得()0
'0h x =． 当0x x >时，()'0h x >，()h x 在()0,x +?单调递增，∴()()()0102h x h h <=<，这与题意不符．
③当0a >时，设
．()1'2x p x e a -=-， 令()'0p x =，解得()1ln 2x a =+．
可得()p x 在()(),1ln 2a -∞+上单调递减；在()()1ln 2,a ++∞上单调递增．
i ）当12a >
时，()1ln 21a +>，由()'h x 在()()0,1ln 2a +上单调递减， 可得()()''00h x h <<，()h x 在()()0,1ln 2a +上单调递减， ∴()()()1101ln 22h h h a ⎛⎫>=>+ ⎪⎝⎭
，这与题意矛盾，舍去． ii ）当102a <≤
时，()1ln 21a +≤ ，由()()'h x p x =的单调性及()'00h <， 可知：()0,1x ∈
时，都有()'0h x <． 又()'h x 在()1,3上单调递增，()221'3616102h e a e =--≥-⨯->，
则存在()11,3x ∈
，使得()10h x =． ∴()10,x x ∈时，()'0h x <，此时()h x 单调递减， ∴()()11h 102h h x ⎛⎫>=> ⎪⎝⎭
，这与题意矛盾，舍去． 综上可得：0a =．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩
（θ为参数）． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）经过点(1,2)M -作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若M 恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的普通方程．
【答案】（1）()()22
114x y ++-=（2）15515100x y -++=或15515100x y ++-=． 【解析】（1）根据三角函数的基本关系式，消去参数，即可得到曲线C 的普通方程；
（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程，根据参数的几何意义，即可求解．
【详解】
（1）由曲线C 的参数方程，得1212x cos y sin θθ
+=⎧⎨-=⎩（θ为参数），
所以曲线C 的普通方程为()()22x 1y 14++-=．
（2）设直线l 的倾斜角为α，则直线的参数方程为12x cos y tsin αα=-+⎧⎨
=+⎩（t 为参数）， 代入曲线C 的直角坐标方程，得()()22tcos α1tsin α4++=，即2t 2tsin α30+-=，
所以1212t t 2t t 3
sin α+=-⎧⎨=-⎩，由题意知，不妨设12t 2t =-， 所以222t 22t 3sin α-=-⎧⎨-=-⎩，即10464cos sin αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或10464
cos sin αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即15k 5=-或15k 5=， 所以直线l 的普通方程为15x 5y 15100-++=或15x 5y 15100++-=．
【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记直线参数方程中参数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
23．已知
,a b 是正实数，且2a b +=， 证明： （Ⅰ）2a b +≤；
（Ⅱ）33
(4)()a b a b ++≥．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）利用基本不等式证明即可．
（2）利用综合法，通过重要不等式证明即可．
【详解】
()1 ,a b 是正实数，2a b ab ∴+≥，
1ab ∴≤， ∴()224,a b a b ab +=++≤
2a b ∴+≤，
当且仅当1a b ==时，取"".=
()2
222,a b ab +≥ ∴()()2
2222224a b a b ab a b +≥+=+= ∴222,a b +≥
∴()()()223443344222224,a b a b a b a b ab a b a b a b ++=+++≥++=+≥ 当且仅当22,1,a b a b =⎧⎨
=⎩
即1a b ==时，取"".= 【点睛】 本题考查不等式的证明，综合法的应用，基本不等式的应用，是基本知识的考查．。