优选全国三卷理科数学高考真题及答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，
，，则A B =I A ．{}0
B ．{}1
C ．{}12，
D ．{}012，
， 2．()()1i 2i +-= A ．3i --
B ．3i -+
C ．3i -
D ．3i +
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方
体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
4．若1
sin 3
α=，则cos2α=
A ．89
B ．
7
9
C ．79
-
D ．89
-
5．5
22x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 的系数为
A ．10
B ．20
C ．40
D ．80
6．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2
222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围
是 A ．[]26，
B ．[]48，
C ．232⎡⎤⎣⎦，
D ．2232⎡⎤⎣⎦
， 7．函数422y x x =-++的图像大致为
8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p = A ．0.7
B ．0.6
C ．0.4
D ．0.3
9．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为
222
4a b c +-，则C = A ．
π2
B ．
π
3
C ．
π
4
D ．
π6
10．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93D ABC -体积的最大值为
A ．123
B ．183
C ．243
D ．543
11．设12F F ，是双曲线22
221x y C a b
-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的
垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为
A B ．2 C D 12．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则
A ．0a b ab +<<
B ．0ab a b <+<
C ．0a b ab +<<
D ．0ab a b <<+
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．
14．曲线()1e x y ax =+在点()01，
处的切线的斜率为2-，则a =________． 15．函数()πcos 36f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在[]0π，的零点个数为________．
16．已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，
则k =________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须
作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 18．（12分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两
种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。

第一组工人用第一种生产方式，第
二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2
附：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，
()
2
P K k
≥0.0500.0100.001
k 3.841 6.63510.828
19
如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M是»CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M ABC
-体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
20．（12分）
已知斜率为k的直线l与椭圆
22
1
43
x y
C+=
：交于A，B两点，线段AB的中点为()()
10
M m m>
，．
（1）证明：1
2
k <-；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r ．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r
成等差数列，并求
该数列的公差． 21．（12分）
已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．
（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；
（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
，
（θ为参数），过点()
02-，且倾斜角为α的
直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数()211f x x x =++-．
（1）画出()y f x =的图像；
（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．
参考答案：
13.
1
2
14.3- 15.3 16.2 17.(12分)
解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1
n n a q -=.
由已知得42
4q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.
故1(2)n n a -=-或12n n a -=.
（2）若1
(2)
n n a -=-，则1(2)3
n n S --=.由63m S =得(2)188m
-=-，此方程没有正整数解.
若12n n a -=，则21n
n S =-.由63m S =得264m =，解得6m =.
综上，6m =. 18.（12分）
解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下：
（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.
（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高. 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知7981
802
m +=
=.
列联表如下：
超过m 不超过m
第一种生产方式 15 5 第二种生产方式
5
15
（3）由于2
2
40(151555)10 6.63520202020
K ⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19.（12分）
解：（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .
因为M 为»CD
上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⊥CM . 又 BC I CM =C ,所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .
（2）以D 为坐标原点,DA u u u r
的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz .
当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为»CD
的中点. 由题设得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)D A B C M ，
(2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AM AB DA =-==u u u u r u u u r u u u r
设(,,)x y z =n 是平面MAB 的法向量,则
0,0.
AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u
r n n 即20,
20.x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取(1,0,2)=n .
DA u u u r
是平面MCD 的法向量,因此
cos ,||||
DA DA DA ⋅=
=u u u r
u u u r u u u r n n n ，
sin ,DA =u u u r n ，
所以面MAB 与面MCD
所成二面角的正弦值是
5
. 20.（12分）
解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则2222
12121,14343
y x y x +=+=. 两式相减，并由
12
2
1y x y k x -=-得
1122
043
y x y k x +++⋅=. 由题设知
12121,22
x y x y
m ++==，于是 3
4k m
=-
.① 由题设得302m <<
，故12
k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则
331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.
由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.
又点P 在C 上，所以34m =，从而3
(1,)2P -，3||2
FP =u u u r .
于是
1||22
x FA ===-u u u r .
同理2||22
x
FB =-u u u r .
所以121
||||4()32
FA FB x x +=-+=u u u r u u u r .
故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r
成等差数列.
设该数列的公差为d ，则
1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r ②
将3
4
m =
代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+
，代入C 的方程，并整理得2
171404
x x -+=.
故121212,28
x x x x +==
，代入②解得||28d =.
所以该数列的公差为
28或28
-. 21.(12分)
解：（1）当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1x
f x x x
'=+-
+. 设函数()()ln(1)1x g x f x x x
'==+-
+，则2
()(1)x g x x '=+.
当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>.故当1x >-时，()(0)0g x g ≥=，且仅当0x =时，
()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=.
所以()f x 在(1,)-+∞单调递增.
又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >.
（2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.
（ii ）若0a <，设函数22
()2()ln(1)22f x x
h x x x ax x ax
=
=+-++++.
由于当||min{x <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同. 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点.
22222222
12(2)2(12)(461)
()1(2)(1)(2)
x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++.
如果610a +>，则当6104a x a +<<-
，且||min{x <时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点.
如果610a +<，则22
4610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且||min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点.
如果610a +=，则322
(24)
()(1)(612)
x x h x x x x -'=+--.则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<.所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点
综上，16
a =-
. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
【解析】（1）O e 的直角坐标方程为221x y +=． 当2
απ=时，l 与O e 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则l
的方程为y kx =l 与O e
交于两点当且仅当1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ
∈或(,
)24απ3π∈． 综上，α的取值范围是(,)44
π3π． （2）l
的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα
=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2
A B P t t t +=，且A t ，B t
满足2sin 10t α-+=．
于是A B t t α+=
，P t α=．又点P 的坐标(,)x y
满足cos ,sin .P P
x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以点P
的轨迹的参数方程是sin 2,2222
x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩
()y f x =的图像如图所示．
（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5。