2019--2020高考解三角形寒假作业考卷10

用余弦定理可构造出关于 ac 的方程，解方程求得 ac ，代入三角形面积公式求得结果．
试卷第 2 页，总 87 页
【详解】
cosB
（ Ⅰ ）由正弦定理得：
cosC
sinB 2sinA sinC
即： 2sin AcosB cosB sin C sin B cosC
则 2sin A cosB sin B cosC cosB sin C sin B C sin A
2019--2020 高考解三角形寒假作业考卷 10
学校 :___________姓名： ___________班级： ___________考号： ___________
一、解答题
1．在 ABC 中，已知 a 4 ， c 5 ，且 S ABC 6 ，求 b .
【答案】 3 或 73
【解析】
【分析】
8 ．（本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ，已知
sin B 5 ，且 a,b,c 成等比数列 . 13
（Ⅰ）求 1
1
的值；
tan A tan C
（Ⅱ）若 ac cos B 12, 求 a c 的值 .
试卷第 5 页，总 87 页
2 13
(2)由题意结合余弦定理可得： 13 a c
ac ，然后利用正弦定理角化边
4
可得 a c 2b 2 13 ，据此可得 ac 12，然后利用三角形面积公式可得
S ABC
3 39 . 4
试题解析：
2
（ 1）由 a c
b2
3 ac ，可得 a2
c2 b2
4
所以 a 2 c2 b 2
5 ，即 cosB
由余弦定理得 b 3 ，从而能求出 ABC 的周长 .
试题解析： （ 1）由
得 , sinBcosC 2sinA sinC cosB 即
sinBcosC sinCcosB 2sinAcosB ，得
，即
，得
，又 B 0， ，于是
（ 2）依题意 a、 c 是方程
的两根
2
a c 3ac
，
由余弦定理得
，
ABC 的周长为 6 3 ．
,所以
.
（ 2）由正弦定理得 ,
为锐角 ,
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则
,
考点：（ 1）余弦定理的应用； （ 2）二倍角的正弦 .
3．在
中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， 已知
. ．
求
的值；
若
，
的周长为 5，求 b 的长．
【答案】（ 1） 2（ 2） 2 【解析】
试题分析：（ 1）由正弦定理和三角形的性质，得
故 b2 9 或 b2 73 ，即 b 3 或 b 73 。
【点睛】 本题主要考三角形面积公式、 同角三角函数基本关系的应用， 以及利用余弦定理解三角 形。
2．在 （ 1）求 （ 2）求
中，已知 的长；
的值 .
，
，
.
【答案】（ 1） （ 2） 【解析】 试题分析： （ 1）直接利用余弦定理求解即可； （2）利用正弦定理求出 的正弦函数值， 然后利用二倍角公式求解即可． 试题解析：（ 1）由余弦定理知，
xk 2
5 ,k Z （2） 3 3
12
2
【解析】
试题分析： （ 1）先利用辅助角公式把 f x 化成 Asin x
B 形式 ,再求周期及增
区间；（2）先利用已知条件得 A 积公式求得 BC 边上的高的最大值
,再利用余弦定理及基本不等式得
3
bc 9 ,最后由面
试题解析： （ 1） f x
3 cos2x sin 2x 2sin 2x 3
积、三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型
5．已知 f x
3 3 cos2x 2sin(
2
（ 1）最小正周期及对称轴方程；
x)sin(
.
x), x R
（ 2）已知锐角 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ，且 f A
3 , a 3，求
BC 边上的高的最大值．
【答案】（ 1）
首先根据三角形面积公式求出角 B 的正弦值， 然后利用平方关系， 求出余弦值， 再依据
余弦定理即可求出。
【详解】
1
1
3
4
由 S ABC
ac sin B 2
4 5 sin B 6 得， sin B ，所以 cos B 或
2
5
5
cos B
4 ，由余弦定理有，
5
b2 a2 c2 2ac cos B 16 25 40cos B 41 40cos B ，
8
39 ，所以 ABC 的面积 8
1
1
S ABC
acsinB 2
12 2
39 3 39 .
8
4
7．在 △ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 b cosC 2a c cosB ．
（ 1）求角 B 的大小；
（ 2）若不等式 x2 6 x 1 0 的解集是
, a c, ，求 △ABC 的周长．
即 bc （9 当且仅当 b c时取等号）
设 BC 边上的高为 h ,由三角形等面积法知 1 ah 1 bc sin A, 得 3h
2
2
3 bc 9 3
2
2
h 3 3 ,即 h 的最大值为 3 3 ． 12 分
2
2
考点： 1.三角变换； 2.余弦定理及面积公式； 3.基本不等式 .
6．已知
2
ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，且 a c
5 .
2ac
8
8
5 ac .
4
（ 2）因为 b
13 ， cosB
5 ，所以
8
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b2 13 a2 c2 5 ac
a
2
c
13 ac ，又 sinA, sinB, sinC 成等差数列，
4
4
由正弦定理，得 a
c
2b
2 13 ，所以
13
52
13 ac ，所以 ac
12 .
4
5 由 cosB ，得 sinB
b2
3 ac .
4
（ 1）求 cosB 的值；
（ 2）若 b 13 ，且 sin A,sin B ,sin C 成等差数列，求 ABC 的面积 .
【答案】（ 1） cosB
5 8 （ 2）1)由题中所给的二次齐次方程结合余弦定理整理可得 cosB 5 . 8
，即求解 的值；（ 2）由
（ 1）可知
，∴
，再由余弦定理和三角形周长，即可求解
的长 .
试题解析： （ 1）由正弦定理
知，
即 即 又由
， （ 2 分）
， （4 分）
知，
，所以
， . （6 分）
（ 2）由（ 1）可知
，∴
， （8 分）
由余弦定理得
∴
， （10 分）
∴
，∴
，∴
考点：正弦定理；余弦定理 .
. （ 12 分）
【答案】（ 1） ；（ 2） 6 3 3
【解析】
试题分析： （ 1）由 b cosC 2a c cosB ，根据正弦定理可得 1
sin B cosC sin C cosB 2sin AcosB ，从而 sin A 2sin A cosB ，进而 cosB ， 2
由此能求出 B ；（ 2）依题意 a, c 是方程 x2 6x 1 0的两根， 从而 a c 6, ac 1 ，
f x 的最小正周期为 ,
由 2k
2x
2k
2
3
3 kZ
2
5
11
k
xk
kZ
12
12
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所以单调增区间是 k
5 ,k
12
11 k Z 6分
12
（ 2）由 f A
3 得 sin 2 A 3
3 ,又A 0， ， A=
2
2
3
由余弦定理得 a2 b2 c2 2bc cos A得9=b2 c2 bc bc
A 0, B 0,
s i nA 0 2
B 3
c o sB 1 2
（ Ⅱ ）由余弦定理得： b 2 a2 c2 2ac cos B
即： 13
a
2
c
2ac
2ac cos 2
3
解得： ac 12
25 2ac ac 25 ac
S ABC
1 acsin B 6sin 2
2
3
33
【点睛】
本题考查解三角形的相关知识， 涉及到正弦定理化简边角关系式、 余弦定理求解边长之
4．已知在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ，且 cos B
b
0
cosC 2a c
（Ⅰ）求角 B 的值；
（Ⅱ）若 b 21 ， a c 5，求 ABC 的面积 .
【答案】（ Ⅰ ） B
【解析】
2
；（ Ⅱ ） 3 3
3
【分析】
（ Ⅰ ）利用正弦定理化简边角关系式可求得 cos B ，根据 B 的范围求得结果； （ Ⅱ ）利