从力做功到向量的数量积学案

§5从力做的功到向量的数量积（学案）
姓名： 班级： 学号： 一、预习目标： （1
）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义。

（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；向量的夹角。

（3）掌握平面向量数量积性质和运算律及它的一些简单应用。

二、回顾旧知
思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问如何计算力 F 发生一段位移S 所做的功W= 。

如图：
这个公式有什么特点？请完成下列填空：
① W （功）是 量，② F （力）是 量，③ S （位移）是 量，④ 是 。

0
°≤＜90°时，w 0，力做 功；=90°，w 0，力不做功；
90°＜≤180°，w 0，力做 功。

你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
如果我们将公式中的力与位移的运算推广到一般向量，其结果又该如何表述？还应该注意什么问题？
三、新知探索
1．向量夹角的概念：范围
画出以下几组向量的夹角：
在ABC ∆中已知A=45°，B=50°，C=85°求下列向量的夹角：
（1）AB AC 与 （2）AB C 与B （3）AC C 与B 的夹角。

2.射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.
给出如下六个图形，让学生指出b 在a 方向上的射影，并判断其正负。

s
F a θ
b B 1B A a θ b B 1B A O a θ
B 1 A
O A B A
O B
注意：①射影也是一个数量，不是向量。

②当为锐角时射影为 值；当为钝角时射影为 值；当为直
角时射影为 ；当 = 0时射影为 ；当 = 180时射影为
3.数量积定义：
注意：① a b •不能写成a b ⨯或ab 的形式。

②两个向量的数量积是一个数量。

这个数量的大小与这两个向量的长度及夹角有关。

其正负如何确定？
当θ为锐角时，cos a b a b θ•= 0；当θ为钝角时，cos a b a b θ•= 0； 当90θ=︒时，cos a b a b θ•= 0；当0θ=︒时，a b a b •=；
当180θ=︒时，a b a b •=- 。

几何意义： 物理意义： 4.数量积的性质
请完成下列练习，并通过观察，看看自己能否发现向量数量积的性质。

（1）已知2a =，e 为单位向量，当它们的夹角为时60°，求a 在e 方向上的投影及 e •a ， a •e 性质为： （2）已知2a =，3b =，a 与b 的交角为90θ=︒，则a b •= 性质为：
（3）若1a =，3b =，a 、b 共线，则a b •= ；a ·a = 。

性质为：
（4）已知3m =，4n =，且6m n •=，则m 与n 的夹角为
性质为：
性质：①e•a=＿＿
②a b＿＿
③当a与b同向时，a•b =＿＿；当a与b反向时，a•b =＿＿。

特别的a•a =＿＿或a
|
=|
a⋅
a
④cos =＿＿（|a||b|≠0）
⑤ |a b|＿＿|a||b|（当且仅当a∥b时等号成立）
5.运算定律：
1.交换律：
2.数乘结合律：
3.分配律：
四：课后感悟
1、判断下列各题正确与否：
①若a= 0，则对任一向量b，有a·b= 0. ( )
②若a0，则对任一非零向量b，有a·b0. ( )
③若a0，a·b= 0，则b = 0. ( )
④若a·b = 0，则a、b至少有一个为零. ( )
⑤若a0，a·b= a·c，则b=c ( )
⑥若a·b= a·c，则b=c，当且仅当a0时成立. ( )
⑦对任意向量a，b，c，有(a·b)·c a·（b·c） ( )
⑧对任意向量a，有a·a= |a|2. ( )
3、看例1完成已知︱a︱=5,︱︱=4, a与的夹角θ=120°，求a·。

例1、已知︱a︱=6，︱︱=4, a与的夹角为60°，求（a+2）·（a-3），|a+2b|；并思考此运算过程类似于哪种实数运算？
例2、对任意向量a ，b 是否有以下结论：
（1） (a +b )2=a 2+2a ·b +b 2
（2） (a +b )·(a -b )= a 2—b 2
随堂练习：1、课本第93页1、2. 2、已知2,5,3a b a b ==⋅=-，则a b += ，a b -= . 3、已知：︱a ︱=2,︱b ︱=3, a 与b 的夹角θ=120°，求（3a +b ）·（a -2b ）
作业：1、课本P95习题2-5，2、4、6
2、拓展与提高：已知a 与都是非零向量，且a +3 与7a -5垂直，a -4与 7a -2垂直，求a 与的夹角。

（本题供学有余力的同学选做）。