人教A版高中数学选择性必修第一册1.4.1空间中直线、平面的垂直(第3课时)课时分层练习题含答案解析

1.4.1 空间中直线、平面的垂直（第3课时）
基础练习
一、单选题
1．已知平面α的法向量为()2,3,1a =-，平面β的法向量为()1,0,b k =，若αβ⊥，则k 等于（ ） A ．1 B ．-1
C ．2
D ．-2
【答案】C
【分析】根据0a b ⋅=求解即可.
【详解】由题知：200a b k ⋅=+-=，解得2k =.
2．若直线1l ，2l 的方向向量分别为(2,1,1)m =--，(1,1,1)n =，则这两条直线（ ） A ．平行 B ．垂直
C ．异面垂直
D ．垂直相交
【答案】B
【分析】根据方向向量的位置关系判断直线的位置关系即可.
【详解】因为()()2111110m n ⋅=⨯+-⨯+-⨯=，所以m n ⊥，所以1l ⊥2l . 3．过点()2,5,1A -且与向量()3,2,1a =-垂直的向量（ ） A ．有且只有一个 B ．有无数个且共面 C ．只有两个且方向相反 D ．有无数个且共线
【答案】B
【分析】以向量()3,2,1a =-为法向量，且过点()2,5,1A -的平面有且只有一个，设为平面α，则平面α中过点A 的向量都符合题意，从而得到结果．
【详解】由题意可知，以向量()3,2,1a =-为法向量，且过点()2,5,1A -的平面有且只有一个，设为平面α，
则平面α内过点()2,5,1A -的向量都与向量()3,2,1a =-垂直，这样的向量有无数个且共面， 4．（2021·湖北·武汉市第十四中学高二阶段练习）设a ，b 是两条直线，a ，b 分别为直线a ，b 的方向向量，α，β是两个平面，且a α⊥，b β⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】C
【分析】根据题意，结合面面垂直的向量证明方法，即可求解.
【详解】由题意可得a ，b 分别是平面α，β的法向量，所以αβ⊥等价于a b ⊥， 即“αβ⊥”是“a b ⊥”的充要条件．
5．若空间两直线1l 与2l 的方向向量分别为()123,,a a a a =和()123,,b b b b =，则两直线1l 与2l 垂直的充要条件为（ ）
A ．11a b λ=，22a b λ=，33a b λ=（R λ∈）
B ．存在实数k ，使得a kb =
C ．1122330a b a b a b ++=
D ．a b a b ⋅=±⋅ 【答案】C
【分析】由空间直线垂直时方向向量0a b ⋅=，即可确定充要条件. 【详解】由空间直线垂直的判定知：1122330a b a b a b a b ⋅=++=. 当1122330a b a b a b ++=时，即0a b ⋅=，两直线1l 与2l 垂直. 而A 、B 、D 说明1l 与2l 平行. 二、多选题
6．（2022·江苏宿迁·高二期中）给定下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．若n 是平面α的法向量，且向量a 是平面α内的直线l 的方向向量，则0a n ⋅=
B ．若1n u r ，2n u u r
分别是不重合的两平面,αβ的法向量，则12//0n n αβ⇔⋅= C ．若1n u r ，2n u u r
分别是不重合的两平面,αβ的法向量，则1212//n n n n αβ⇔⋅=⋅
D ．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直 选项，由线面垂直的定义若一条直线和一个平面内所有的直线都垂直，我们称直线和平面垂直，所以a n ⊥，∴0a n ⋅=，A 选项，两平面平行，则它们的法向量平行，所以两平面平行，则它们的法向量平行，12,0n n =或1212n n n n ⋅=⋅，C 正确；它们的法向量垂直，所以两个平面的法向量不垂直，则这两个平7．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二期末（理））设(2,2,),(6,4,5)u t v =-=-分别是平面,αβ的法向量，若αβ⊥，则实数t 的值是________．
【答案】4
【解析】根据(2,2,),(6,4,5)u t v =-=-分别是平面,αβ的法向量，且αβ⊥，则有u v ⊥求解. 【详解】因为(2,2,),(6,4,5)u t v =-=-分别是平面,αβ的法向量，且αβ⊥ 所以u v ⊥
所以()262450t -⨯+⨯-+⨯= 解得4t =
8．两条直线垂直的充要条件是___________.直线和平面垂直的充要条件是___________；两个平面垂直的充要条件是___________.
【答案】 它们的方向向量垂直 直线的方向向量为平面的法向量 它们的法向量垂直 【分析】根据直线的方向向量、平面的法向量、线线垂直的定义、线面垂直的定义和面面垂直的定义即可得出答案.
【详解】根据直线的方向向量和线线垂直的定义知：两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直；根据直线的方向向量与平面的法向量的定义和线面垂直的定义知：直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量；根据平面的法向量的定义和面面垂直的定义知： 两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直. 四、解答题
9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 与BD 的交点，M 是1CC 的中点．求证：1
AO ⊥平面MBD ．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来证得1
AO ⊥平面MBD . 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的边长为2，则()()()()11,1,0,2,0,2,2,2,0,0,2,1O A B M ， ()11,1,2OA =-，110,0OA DB OA DM ⋅=⋅=， 由于DB DM M ⋂=，所以1
AO ⊥平面MBD .
10．已知空间四边形ABCD 中，,AD BC AB CD ⊥⊥，求证：AC BD ⊥. 【分析】利用向量垂直的运算法则证明线线垂直【详解】证明：设,,AB a AC b AD c ===
则,,BC AC AB b a CD AD AC c b BD AD AB c a =-=-=-=-=-=- ,AD BC AB CD ⊥⊥
,AD BC AB CD ∴⊥⊥ ()0()0c b a a c b c
a c
b a
c a b ⎧⎧⋅-=⋅=⋅⇒⎨
⎨⋅-=⋅=⋅⎩⎩
于是可得a b b c ⋅=⋅r r r r
()0AC BD b c a b c b a ⋅=⋅-=⋅-⋅=
AC BD ∴⊥，即AC BD ⊥
11．如图，在空间直角坐标系Axyz 中，底面
（1）求证：BC PB ⊥； （2）求AC PB ⋅．
）3.
）根据题意求出向量,BC PB 的坐标，然后根据向量BC 与PB 垂直证明）写出向量AC 坐标，然后根据空间向量数量积的坐标运算即可求出答案.
）因为底面为矩形，(
3,1,0C
3,1AD =，所以，所以()(0,1,0,3,0BC PB ==
所以0BC PB ⋅=⨯，所以BC PB ⊥， ，所以(
3,1,0AC =又因为(
3,0PB =
，所以3AC PB ⋅=⨯12．（2021·湖南·怀化五中高二期中）如图所示，在长方体1111中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别AB 、1C D 的中点.
（1）求证：//NM 平面11A ADD ； （2）求证：NM ⊥平面11A B M .
【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；
（2）求出平面11A B M 的一个法向量，利用空间向量法可证得结论成立.
【详解】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则()1,0,0A 、()0,1,1M 、()1,1,0N 、()11,2,2B 、()11,0,2A ，
()1,0,1NM =-，易知平面11A ADD 的一个法向量为()0,1,0m =u r
，
1001100NM m ⋅=-⨯+⨯+⨯=，则NM m ⊥， NM ⊄平面11A ADD ，故//NM 平面11A ADD ；
（2）设平面11A B M 的法向量为(),,n x y z =，()110,2,0A B =，()11,1,1A M =--，
由11100n A B n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，得200y x y z =⎧⎨-+-=⎩，取1x =-，可得
()1,0,1n =
-，
所以，NM n =，故NM ⊥平面11A B M .
13．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是梯形，四边形ABCD 为矩形，DE ⊥面ABCD ，
//AF DE ，1
12
AF AD DE ===，AB =
(1)求证：//BF 平面CDE ；
(2)点G 为线段CD 的中点，求证AG ⊥面DBE ．
可知DA 为
DE ⊥面又DE DC ⋂AD ∴⊥面DA BF ⋅uu u r uu u r Q
，(0,0,2)DE =
14．如图，在直三棱柱111中，，，1，点E 在棱1上，
1，D ，F ，G 分别为1CC ，11B C ，11A C 的中点，EF 与1B D 相交于点H ．
(1)求证：1B D ⊥平面ABD ． (2)求证：平面//EGF 平面ABD ．
用空间向量证明出1B D AB ⊥，B D BD ⊥，进而证明出）用空间向量的证明出GF AB ∥和EF BD ∥，进而出平面）如图所示，建立空间直角坐标系，
所以(10,2,B D =，(,0,0AB a =-，(0,2,BD =所以10000B D AB ⋅=++=，104B D BD ⋅=+-所以1B D AB ⊥，1B D BD ⊥，。