高等代数知识点总结

标准分解
f a ( x x 1 ) m 1 ( x x s ) m sp 1 n 1
p n t t
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全不互不相同的根, p1,…,pt是互异、首一、无实根的二次式.
多项式作为函数：
• 两个多项式相等(即对应系数相同) 它们作为函数相等(即在每点的函数值相等) 它们在k+1个点的函数值相等，这里k是它们次数 的最大者.
• 设f(x)＝anxn+...+a1x+a0，若f(x)在n+1个点的函数值为0， 则f(x)恒等于0.
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• Eisenstein判别法：
设 f(x ) a n x n a 1 x a 0是整系数多项式，若
有素数p使得 p |a n ,p |a n 1 ,...,p |a 0 ,p 2 |a 0
d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
• 互素
f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
• 因式分解唯一定理
次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之 积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一.
• 标准分解定理
每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解
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重要结论：
• 带余除法定理
对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x) 和r(x)使得
f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x).
• 最大公因式的存在和表示定理
任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对 于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得
• 复数域上的标准分解定理
在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的 标准分解
f a (x x 1 )n 1 (x x t)n t
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数.
• 实数域上的标准分解定理
在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的
AA*=A*A=|A|E 当A可逆时，
A*＝|A|A1
定义 性质
若P,Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ)
=r(PAQ)
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转置
取逆
伴随
加法 (A+B)T=AT+BT
数乘 (kA)T= k AT (kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A*
乘法 (AB)T= BT AT (AB) 1= B1 A1 (AB)*= B*A*
则f(x)是有理数域上的既约多项式. • 有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常 数项
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多元多项式
.
基本概念：
次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式
重要结论
命题1.8.1 若多项式的值全为0，则该多项式必为
0.
命题1.f8 .2f0每f个1 n次 多f项n 式f均可唯一地表示成齐
倍法变换
统称线性
|...+...| = |......| + |......|
转置 (AT)T=A
(AT) 1=(A1)T (AT)*=(A*)T
取逆
(A1) 1=A (A1)*＝(A*)1
伴随
(A*)*=|A|n2A*
AA*=A*A=|A|I
其它
A-1=|A|-1A* 当A可逆时，
A*＝|A|A1
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行列式
秩数
加法
r(A+B)≤r(A)+r(B)
数乘 |kA|=kn|A|
其它 性质
r(A)=r(PA)=r(AQ) =r(PAQ)
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性质
公式
；转置不变性 |AT| = |A|
反交换性 |.........| = |.........|
交错性 |.........| = 0
备注 行列地位平等 换法变换
齐性 加性
|...k...| = k|.......|
r(kA)=r(A) (k≠0)
乘法 |AB|=|A||B| r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A), r(B)
转置 |AT|=|A|
r(AT)=r(A)
取逆 |A1|=|A|1
n, 若r(A)=n 伴随 |A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n1
0, 若r(A)<n1
定义 若P, Q可逆，则
伴随
(kA)*= kn1A*
行列式
秩数
r(A+B)≤r(A)+r(B)
|kA|=kn|A| r(kA)=r(A) (k≠0)
乘 法
(AB)T= BT AT
(AB) 1= B1 A1
(AB)*= B*A*
|AB|=|A||B|
转 置
(AT)T=A
(AT) 1=(A1)T
(AT)*=(A*)T
|AT|=|A|
f ap1n1
pnt t
其中a是非零常数, p1,…,pt, 是互不相同的首一既约 多项式, n1,…,nt是正整数. 进一步,a, p1,…,pt,n1,…,nt 由f唯一确定.
• 重因式
f无重因式当且仅当f与其导式互素.
代数学基本定理：
下列陈述等价， 1.复数域上次数≥1的多项式总有根 2.复数域上的n次多项式恰有n个根 3.复数域上的既约多项式恰为一次式 4.复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积. 5.实数域上的次数＞1的既约多项式只有无实根的二 次式 6.实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次 式之积
次多项式之和
，
fn≠对0称，多且其项中式f基i是本0或定i次理齐次每多个项对式称，多0≤项i式≤，n，都f可i称唯为f
的一地i次表齐示次成分初量等. 对称多项式的多项式
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运算及其关系
转置
Hale Waihona Puke Baidu加 法
(A+B)T=AT+BT
数 乘
(kA)T= k AT
取逆
(kA)1= k1A1
总结
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一元多项式
基本概念：
次数：最基本的概念和工具 整除：多项式之间最基本的关系 带余除法：最基本的算法，判断整除. 最大公因式：描述多项式之间关系的复杂程度 互素：多项式之间关系最简单的情形 既约多项式：最基本的多项式 根：最重要的概念和工具
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取 逆
(A1) 1=A
(A1)*＝(A*)1 |A1|=|A|1
r(A)+r(B)-n≤ r(AB)≤r(A), r(B)
r(AT)=r(A)
伴 随
n, 若r(A)=n
(A*)*=|A|n2A* |A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n-1
0, 若r(A)<n-1
其 它
A-1=|A|-1A*