一维谐振子问题

0

(
x
)
0
(
x
)dx



1
0
( x )
0
( x )dx

16%
———微观粒子的隧道效应
0(x)

14
e , 2 x2 / 2
1(x)
2 x e 2 x2 / 2 , 14

2
(x)

1
1
4
2 2 x 2 1 e , 2x2 / 2
一、一维谐振子的定态薛定谔方程
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本 的问题，它是物体在稳定平衡位置附近作小振动 这类常见问题的普遍概括。
在经典力学中，简谐振动的定义：
任何物理量 x 的变化规律若满足方程式
d2x 2x 0
dt 2
并且ω 是决定于系统自身的常量，则该物理量的变 化过程就是简谐振动。
对 H ( ) 作泰勒展开
可由

H ( ) a 0
avv(v 1) v2 2 a 1 ( 1) a 0
v


得
a 2

2 ( 1)(
1 2)
a
(2.7.2)
当


时，H ( )的渐进行为是
a 2 a
能量的分立现象在微观领域是普遍存在的！
② 一维谐振子的能谱是等间距的，即相邻两能级的 能量差是固定的；
能级间距 =
③ 一维谐振子的基态能量不等于零，即存在零点能。
E0

1 2

零点能是微观粒子波粒 二象性的表现！
经典物理学中的一维谐振子：
U (x)
M
经典禁区
E
N
经典禁区
x A,经典允许区；
电子与阱壁碰撞一次，电子所受到的冲量：
I px px 2 px
电子与阱壁碰撞一次，阱壁所受到的冲量：
I' I 2px
电子连续两次碰撞同一 侧阱壁所需要的时间：
T 2a vx
单位时间内电子碰撞同 一侧阱壁的次数：
f 1 vx T 2a
单位时间内电子对同一侧阱壁的冲量，即冲力为
k !(n 2k )!
式中
n 2


n 2
,

n
1 2
,
2.积分表示：
Hn ( )
2n

( it)n et2 dt

3.微分表示：
Hn ( )
(1)n e 2
dn
d n
e 2
厄米多项式具有如下性质：
1.递推关系：

Hn
U (x) 1 2 x2
2
粒子受到的势不随时间变化，这是一个定态问题！

2
2
2

U
(r)

(r)

E
(r)
————定态薛定谔方程
U (x) 1 2 x2
2

2
2
d2 dx 2

1 2
2 x2 (x)


E (x)
————一维谐振子的定态薛定谔方程 ————一维谐振子的能量本征值方程
由（2.7.2）可知方程(2.7.1)有解的条件为
1 2n, n 0,1,2,3,
2.7.3
此时，有
d 2Hn
d 2

2
dH n
d

2nH n

0
这是厄米方程，其解为厄米多项式。
厄米多项式有三种重要表示： 1.级数表示：
n
H n ( )

2 k 0
(1)k n! (2 )n2k

2

与 e 2的渐进行为相同。
若H ()为无穷级数时， ( ) 在 时将趋向无穷 大。为了在 时，波函数仍有限，H() 必 须断为多项式。因为如果 H()是多项式，当
时，它趋于无穷的行为永远比e 2 /2趋于
零慢，从而保证了 ( ) 在 是有限。
球坐标系下的体积元的表达式：
d r 2 sin dddr
r到r+dr的球壳的体积：
dV


0
2
0
d

sin
d

r
2dr
在r到r+dr的球壳内找到粒子的概率：



0

2
0

(r,
,
)
2
d

sin
d

r
2dr
例3:求处于一维无限深方势阱中的粒子的位置、动量 和动能的平均值。
o
x
在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基本的 问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒子在稳定平 衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概括，而且更 是将来场量子化的基础。
一维谐振子在量子力学中是一个重要的物理模 型。例如研究分子的振动、晶格的振动、原子核表 面的振动以及辐射场的振动，等等。
我们认为，微观粒子所处的势场的形式仍然可以表达 为
dn
d n
e - 2
最简单的几个厄米多项式为：
n=0,
n=1,
n=2,
H0 () 1,
H1() 2 ,
H 2 () 4 2 2 ,
一维谐振子的波函数的一般形式为
n ( x,t) n ( x)eiEnt/

N e 2x2 n
2Hn
(x)eiEnt / ,
(
)

1 2
H n1 (
)

nHn1( )
2.微分性质：
dH
d
2nH n1( )
3.正交归一性：

e

2
H
n
(
)H
n
'
(
)d


2n n!
nn
4.完备性：

f ( ) cnHn ( ) 0
式中的展开系数为：
cn

1 2n n!

e 2
解: 要求力学量的平均值，只要找到相应的力学量算 符和波函数就可以了。
n(x)
2 sin nx ,
a a 0,
0 x a;
x 0, x a.
n 1,2,3,...
粒子的位置的平均值：
x
a

0
xdx

2 a
a x sin2 ( nx )dx
视为 的某一特定函数H ( ) ，假设方程的解为
H( )e2/2
H ( ) 在 有限时应该有限，在 时 它的行为也必须保证波函数有限。
代回薛定谔方程，得到待定系数H ( )满足的方程
d2H
d 2
2
dH
d
(
1)H

0
(2.7.2)
其中： 2E /
二、一维谐振子的本征函数和能量本征值
一维谐振子的定态薛定谔方程的解，即一维谐振 子的定态波函数为：

n (x)

N e 2x2 n
2 H n (x)
由波函数的归一化条件所确定的常系数 Nn为：
Nn

( 1
)1 2
2 2n n!


式中 Hn( )称为厄米多项式，具体形式为
H n () (1) n e2
0
a
1 a x(1 cos 2nx)dx a ;
a0
a
2
粒子的动量的平均值：
i p
p
a


pˆ dx
0
2
a
sin
nx (i
d
) sin
nx dx
a0 a
dx
a
0
在一维无限深方势阱中，粒子位置与动量的平均
值与粒子所处的本征态的级数，即 n 没有关系。
F

a
0

1
Fˆ
1dx

2π22 me a 4
a
0
sin
2
πx dx
a

2π 2 me a3
π
0
sin
2
udu

π22 me a3
1.17 107 N
例2:如果粒子的波函数为 (r, ,) ，试求：
在r到r+dr的球壳内找到粒子的概率； 解: 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。

x

这是一个变系数的二阶常微分方程，当 很
大时， 2，上式中的 可略去。从而，得
到上式的渐进方程
d 2 d 2
2
0
其解 Ae2/2就是原方程的解，又由于波函数 在 时的有限性条件，得
Ae2/2
为了求出在整个空间都合适的解，可以将系数 A
A o
A x x A,经典禁区.
量子力学中的一维谐振子： n ( x) N n e 2x2 2 H n (x)
0(x)

14
e , 2 x2 / 2
1(x)
2 14
x e 2 x2 / 2 ,

2
(x)

1
1
4
2 2 x 2 1 e 2x2 / 2 ,

f
( )Hn ( )d
由式（2.7.1）即可得能量本征值 E为：
En
(n 1) 2

n 0,1, 2,3,
2.7.4
n叫振动量子数。
相应的 Hn ( ) 为
Hn ( ) (1)n e 2
dn
d n
e 2
从而其波函数为：
1 2x2
n (x) Nne 2 Hn ( x)
2
由图可以看出，量子数n较小时，粒子位置的概率 密度分布与经典结论明显不同。随着量子数n的增 大, 概率密度的平均分布将越来越接近于经典结论。
例1:一个电子被束缚在一维无限深势阱内，势阱宽度 为1.011010 m。求当电子处于基态时对阱壁的平均 冲力。 解: 要求平均冲力，先要求平均冲力算符。 设电子质量为me、速度为vx、动量为px 、势阱宽度为a。 平均冲力等于单位时间内的冲量。 动量定理：在运动过程中，作用于质点的合力在一段 时间内的冲量等于质点动量的增量。
度求极大即可。
量子力学中的一维谐振子： n ( x) N n e 2x2 2 H n (x)
1(x)
2 x e 2 x2 / 2 , 14
概率密度：

1 1
2 3
x e2 2x2
零是个极小值，舍去；
dρ 0 dx
故极大值处为
x 0, 1
2
a sin 2 nxdx
0
a

2 n a 2
n sin 2 tdt
0
2 2n2 2a 2
En

2k 2
2

22n2
2 a2
,
n 1,2,3,
平均动能，即平均能量，是量子化的。
例4:求一维线性谐振子在第一激发态时概率最大的位 置。
解: 要求粒子在空间的概率的最大值，只要对概率密
2
考虑一维谐振子的基态：
= E0

1 2

U (x) 1 2 x2
2
x2
1 ——谐振子的特征长度


x 1,经典允许区；
按照经典理论，
x 1,经典禁区.
按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经
典禁区中的概率为：

1

222rerru?????????????????定态薛定谔方程2221xxu???21dd222222xexxx???????????????一维谐振子的定态薛定谔方程一维谐振子的能量本征值方程21dd222222xexxx???????????????为了简洁起见引入三个无量纲参量
§16-4 一维谐振子问题
n

0,1,2,3,...
一维谐振子的能量（本征值）为
E

En

(n

1 )
2
,
n 0,1, 2,
说明：
① 一维谐振子的能量只能取一系列分立值；
En

2k 2
2

22n2
2 a2
,
n 1,2,3,
E

En

(n

1 )
2
,
n 0,1, 2,

2
2
d2 dx 2

1 2
2 x2

(x)

E
(x)
为了简洁起见，引入三个无量纲参量：
x,
,

2E
d 2 () d 2

(

2
)
( )

0
求解此方程，并考虑到束缚态条件，就可以得到一 维谐振子的能量本征值和与其对应的本征波函数。
粒子的动能的平均值：
在势阱内部，势能为零，则粒子的动能也就是其总能 量。在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。
Hˆ 2 2 U (r)
2
EK

a


Hˆdx
0
2 a sin nx ( 2 d2 ) sin nx dx
a 0 a 2 dx2
a

2 n 2 a3
式中归一化常数 Nn 为：
Nn
2n n!
由（2.7.2）可见，一维谐振子的能量也是
量子化的，并且能量间隔相等，为 。
一维谐振子基态能量：E0

1 2
叫零点能。
简谐振动物体受到的线性回复力 F kx
取系统的平衡位置作为系统势能的零点，简谐振动
系统的势能
U (x) 1 kx2 2
k
U (x) 1 2 x2
2
U (x)
简谐振动系统的总能量
U total

1 2
k A2

1 2
2 A2
简谐振动运动方程的解
x A cos(t )
F

I'f

2 px
vx 2a

p
2 x
mea
将算符
pˆ
2 x

(i
)2 x

2
x 2
代入上式，得
F


2 me a
2 x2
A A (r) Aˆ (r)d
一维无限深势阱的基态波函数为
1(x)
2 a
sin
x
a


1
(
x
)
电子对阱壁的平均冲力为