黑龙江省大庆市实验中学2019届高三上学期第一次月考数学(文)试题 含解析

黑龙江省大庆实验中学2019届高三上学期第一次月考
数学（文）试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.
1.已知全集U＝R，集合，集合，则A∩B＝( )
A. ∅
B. (1,2]
C. [2，＋∞)
D. (1，＋∞)
【答案】C
【解析】
【分析】
求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．
【详解】由A中y=lg（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，
∴A=（1，+∞），
由B中y==≥=2，得到B=[2，+∞），
则A∩B=[2，+∞），
故答案为：C
【点睛】（1）本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 解答集合的问题，先要看“|”前的元素的一般形式，，由于“|”前是y,所以集合表示的是函数的值域. 集合由于“|”前是x,所以集合表示的是函数的定义域.
2.若函数f(x)=则f(f(10))=( )
A. lg101
B. 2
C. 1
D. 0
【答案】B
【解析】
∵f(10)=lg10=1,
∴f(f(10))=f(1)=12+1=2.
3.命题“”的否定为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用全称命题的否定解答.
【详解】因为全称命题的否定为特称命题，所以命题“”的否定为.
故答案为：C
【点睛】(1)本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 全称命题：
，全称命题的否定（）：.特称命题,特称命题的否定,所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
4.已知函数的最小正周期为，则函数的图象（）
A. 可由函数的图象向左平移个单位而得
B. 可由函数的图象向右平移个单位而得
C. 可由函数的图象向左平移个单位而得
D. 可由函数的图象向右平移个单位而得
【答案】D
【解析】
由已知得，则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.
5.函数y＝2－的值域是 ( )
A. [－2,2]
B. [1,2]
C. [0,2]
D. [－]
【答案】C
【解析】
【分析】
先求函数的值域，再求函数函数y＝2－的值域.
【详解】由题得函数的值域为[0,2],
当g(x)=0时，y最大=2-0=2，当g(x)=2时，y最小=2-2=0，,
所以函数的值域为[0,2].
【点睛】(1)本题主要考查二次函数的图像和性质，考查复合函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是复合函数的图像和性质.
6.若是夹角为的两个单位向量，则向量的夹角为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先分别求出与的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之．
【详解】由已知，，所以(=，||=，||=,
设向量的夹角为，
则.
故答案为：B
【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：,方法二：设=,=，为向量与的夹角，则
.
7.已知若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，用x=2018代入函数表达式，得f（2018）=20183a+2018b+2=k，从而20183a+2018b=k﹣2，再求f（﹣2018）=﹣（20183a+2018b）+2=﹣k+2+2=﹣k+4，可得要求的结果．
【详解】根据题意，得f（2018）=20183a+2018b+2=k，
∴20183a+2018b=k﹣2，
∴f（﹣2018）=﹣（20183a+2018b）+2=﹣k+2+2=4﹣k．
【点睛】本题主要考查函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
8.已知函数f(x)是R上的偶函数，在(－3，－2)上为减函数,对∀x∈R都有f(2－x)＝f(x)，若A，B是钝角三角形ABC的两个锐角，则( )
A. f(sinA)<f(cosB)
B. f(sinA)>f(cosB)
C. f(sinA)＝f(cosB)
D. f(sinA)与f(cosB)的大小关系不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件判断函数的周期是2，利用函数奇偶性和周期性，单调性之间的关系进行转化即可得到结论．
【详解】∵f（2﹣x）=f（x），且f（x）是R上的偶函数，
∴f（x﹣2）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，
∵函数在（﹣3，﹣2）上f（x）为减函数，
∴函数在（﹣1，0）上f（x）为减函数，在（0，1）上为增函数，
∵A，B是钝角三角形ABC的两个锐角，
∴A+B＜，即0＜A＜﹣B＜，
则sinA＜sin（﹣B）=cosB，
∵f（x）在（0，1）上为增函数，
∴f（sinA）＜f（cosB），
故答案为：A
【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性、单调性和周期性，考查三角函数的诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析推理得到sinA＜sin（﹣B）=cosB.
9.已知sin＋sin＝－，－<<0，则cos = ( )
A. －
B.
C. －
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简sin＋sin＝－得，再利用诱导公式求得cos的值.
【详解】由题得，
所以，cos =.
故答案为：B
【点睛】(1)本题主要考查三角恒等变换，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 三角恒等变换方法:观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）,①“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，把未知的角变成已知角的和差，或者变成已知角与特殊角的和差.是变换的主线，如,
,,等.②“变名”指的是“切化弦”（正切余切化成正弦余弦
.③“变式”指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、辅助角公式展开和合并等.
10.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则向量在向量方向上的投影为( )
A. B. C. 3 D. －
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件便可知道O为BC边的中点，∠BAC=90°，△AOC为等边三角形，所以得到∠BOD=120°，∠ABO=30°，从而根据余弦定理求出，根据投影公式即可求得答案．
【详解】如图，取BC边的中点D，连接AD，则：
；
∴O和D重合，O是△ABC外接圆圆心，；
∴∠BAC=90°，∠BOA=120°，∠ABO=30°；
又|OA|=|OB|=1；
∴在△AOB中由余弦定理得：
，∠ABO=30°；
∴向量在向量方向上的投影为．
故答案为：
【点睛】(1)本题主要考查向量的平行四边形法则，考查向量的投影和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握
水平和分析推理计算能力.(2) 在上的“投影”的概念：叫做向量在上的“投影”，向量在向量上的投影，它表示向量在向量上的投影对应的有向线段的数量.它是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零.
11.已知是定义在上的奇函数，且当时，不等式成立，若，则的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
令，当x<0时，F(x)在单调递减。

又f(x)是奇函数，F(x)是偶函数，所以F(x)在单调递增，所以，既
>>，选A.
12.函数，方程有4个不想等实根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
根据题意画出函数图像：
设有两个根，每个t值对应两个x值，故情况为
当属于情况一时，将0代入方程得到m=1,此时二次方程的根是确定的一个为0，一个为2，不符合题意；
当属于情况二时，
故答案为：C.
点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：
(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；
(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．
研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。

同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13.已知向量，则向量与夹角的余弦值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出，再求，最后代入向量的夹角公式即得解.
【详解】由题得
所以向量与夹角的余弦值为.
故答案为：
【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：,方法二：设=,=，为向量与的夹角，则
.
14.已知函数且函数在处有极值10，则实数的值为
【答案】【答题空14-1】
【解析】
,,解得或，代入检验时
,x=1不是极值点，不符。

所以填-11.
【点睛】对于连续可导函数，导数等于零是在该点取极值必要条件，所以当我们用必要条件做题时，需要检验。

15.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若csinA＝－acosC，则sinA－cos的
取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用正弦定理求出∠C,再化简sinA－cos得2sin(A+)，再利用三角函数的图像和性质求解.
【详解】因为csinA＝－acosC，所以sinCsinA=-sinAcosC,所以tanC=-1,即C=.
sinA－cos=sinA+cosA=2sin(A+),
因为
所以.
故答案为：
【点睛】(1)本题主要考查正弦定理，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.
16.设函数是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式
的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．
【详解】由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），
得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，
即[x2f（x）]′＜x3＜0，
令F（x）=x2f（x），
则当x＜0时，
得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），
即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，
∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，
∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，
即x＜﹣2016，
故答案为：
【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数F（x）=x2f（x），利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17.已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的单调递减区间;
(2)已知△ABC的内角分别是A、B、C，其中A为锐角，且，cosB＝，
求sinC的值．
【答案】(1)； (2).
【解析】
【分析】
(1)先利用函数的图像求出三角函数的解析式，再求函数的单调减区间.(2)先化简得到，再求sinC的值.
【详解】(1)由周期，得，所以，
当时，，可得，
因为，所以，故，
令，
所以，
的单调递减区间为.
(2)由(1)可知，，即，
又因为A为锐角∴，
∵，∴，
∴.
【点睛】（1）本题主要考查三角函数的解析式的求法和三角函数的单调区间的求法，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 一般利用复合函数的单调性原理求复合函数的单调区间，首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.
18.在，，
（1）若，求的长
（2）若点在边上，，，为垂足，，求角的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析:
先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得：结合∠BDC=2∠A，即可得结论．
解：（1）设，则由余弦定理有：
即
解得：
所以
（2）因为，所以.
在中，由正弦定理可得：，
因为，所以.
所以，所以.
19.已知函数的图像关于直线对称,其中为常数且.
(1)求的最小正周期.
(2)若函数的图像经过点,求在上的值域.
【答案】(1)； (2) .
【解析】
【分析】
(1)先化简函数得,再利用三角函数的周期公式求函数的周期.(2)先求得再利用三角函数的图像和性质求在上的值域.
【详解】（1）
,
由已知，的图像关于直线对称,
当时，,解得
又,,.
由已知,
值域是.
【点睛】（1）本题主要考查三角函数的解析式的求法和周期的求法，考查三角函数在区间上的值域，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.（2）对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.
20.在△ABC中，已知sinB＝，.
(1)求证：sinAsinC＝sin2B
(2)若内角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：0<B≤；
(3)若，求||.
【答案】(1)见解析； (2)；(3) .
【解析】
【分析】
(1)化简即得.（2）由余弦定理得到，即.（3）先化简得，即.再利用余弦定理求得，最后利用向量的模的公式求得||.
【详解】(1)因为，
所以.
（2）由正弦定理可得，，因为，
当且仅当时等号成立，所以，即.
(3)因为，且成等比数列，所以B不是最大角，
于是，
所以，得，
又，因而.
由余弦定理得，
所以，即，
所以，
即.
【点睛】（1）本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和重要不等式，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求向量的模一般有两种方法,方法一：利用
求解；方法二：利用求解.
21.设函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若时，恒成立，求整数的最小值．
【答案】(1) f（x）递增区间为（0，），（1，+∞），递减区间为（，1）；(2)1.
【解析】
试题分析：（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为a>x-2（x-1）lnx恒成立，令g（x）=x-2（x-1）lnx，根据函数的单调性求出a的最小值即可．试题解析：
（1）由题意可得f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=2时，f（x）=﹣x2+2x+2（x2﹣x）lnx，
所以f′（x）=﹣2x+2+2（2x﹣1）lnx+2（x2﹣x）•=（4x﹣2）lnx，
由f'（x）＞0可得：（4x﹣2）lnx＞0，
所以或，
解得x＞1或0＜x＜；
由f'（x）＜0可得：（4x﹣2）lnx＜0，
所以或，
解得：＜x＜1．
综上可知：f（x）递增区间为（0，），（1，+∞），递减区间为（，1）．
（2）若x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，
即a＞x﹣2（x﹣1）lnx恒成立，
令g（x）=x﹣2（x﹣1）lnx，则a＞g（x）max．
因为g′（x）=1﹣2（lnx+）=﹣2lnx﹣1+，
所以g'（x）在（0，+∞）上是减函数，且g'（1）＞0，g′（2）＜0，
故存在x0∈（1，2）使得g（x）在（0，x0）上为增函数，在（x0，+∞）上是减函数，
∴x=x0时，g（x）max=g（x0）≈0，
∴a＞0，又因为a∈Z，所以a min=1．
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;
（3）若恒成立，可转化为.
22.设，函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若无零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】
试题分析：(1)求函数的导数得，当时，，由点斜式写出切线方程即可；(2)当时，由可知函数有零点，不符合题意；当时，函数有唯一零点有唯一零点，不符合题意；当时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不等式，解之即可.
试题解析：（1）区间上，，
当时，，则切线方程为，即．
（2）①若时，则，是区间上的增函数，
∵，，
∴，函数在区间有唯一零点；
②若，有唯一零点；
③若，令，得，
在区间上，，函数是增函数；
在区间上，，函数是减函数；
故在区间上，的极大值为，
由于无零点，须使，解得，
故所求实数的取值范围是．
考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值、最值；3.函数与方程.。