2020-2021 备战中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案解析

2020-2021 备战中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案解析
一、二次函数
1．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且
()6,0A -，与y 轴交于点C ．
()1求抛物线的函数解析式； ()2求ABC V 的面积；
()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC V 的面积最大？若能，请求出点
P 的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334
APC x S =-V 当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
． 【解析】 【分析】
(1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；
(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；
(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC V 的面积计算拆分为APF CPF S S +V V 即可. 【详解】
()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，
∵函数图象顶点为()2,4M --，
∴2(2)4y a x =+-， 又∵函数图象经过点()6,0A -， ∴20(62)4a =-+- 解得14
a =
， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =
+-，即21
34
y x x =+-；
()2∵点C 是函数2134
y x x =
+-的图象与y 轴的交点，
∴点C 的坐标是()0,3-， 又当0y =时，有2
1304
y x x =
+-=， 解得16x =-，22x =， ∴点B 的坐标是()2,0， 则11
831222
ABC S AB OC =
⋅=⨯⨯=V ； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．
设(),0E x ，则21,
34P x x x ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭
，
设直线AC 的解析式为y kx b =+， ∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -， ∴603k b b -+=⎧⎨
-=⎩
，
解得123
k b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩，
∴直线AC 的解析式为1
32
y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫
=-
--+-=-- ⎪⎝⎭
， ∴11
22
APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=
⋅+⋅V V V 222111339327
6(3)22424244
PF OA x x x x x ⎛⎫=
⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S V 有最大值
27
4
，
此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.
2．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.
【答案】(1)y=-22
4(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）
(2)m 、n 的值分别为 5，-5 【解析】
（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得： 4b+c-16=0，b+c-1="3" ， 解得：b="4" ， c=0．
所以抛物线的表达式为：2
4y x x =-+． y=-224(2)4y x x x =-+=--+，
所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）． （2） 由题可知，E 、F 点坐标分别为（4-m ，n ），（m-4，n ）． 三角形POF 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|， 三角形AOP 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，
四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20， 所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0） 又n=-2m +4m ，
所以2m -4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0) 故所求m 、n 的值分别为 5，-5．
3．在平面直角坐标系中，有两点(),A a b 、(),B c d ，若满足：当a b ≥时，c a =，
2d b =-；当a b <时，c a <-，d b <，则称点为点的“友好点”.
（1）点()4,1的“友好点”的坐标是_______.
（2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，点B 是点A 的“友好点”. ①当B 点与A 点重合时，求点A 的坐标.
②当A 点与A 点不重合时，求线段AB 的长度随着a 的增大而减小时，a 的取值范围. 【答案】（1）()41-,；（2）①点A 的坐标是()2,0或()1,1-；②当1a <或3
2
2a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小； 【解析】 【分析】
（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B 点坐标，A 点又在直线2y x =-上，得到2b a =-；①当点A 和点B 重合，得2b b =-．解出即可，②当点A 和点B 不重合， 1a ≠且2a ≠．所以对a 分情况讨论，1°、当1a <或
2a >时，()2
2
2
313224AB b b a a a ⎛
⎫=--=-+=-- ⎪⎝
⎭，所以当a ≤32时，AB 的长度随
着a 的增大而减小，即取1a <．2°当12a <<时，()2
2
2
31+3224AB b b a a a ⎛
⎫=--=--=--+ ⎪⎝
⎭，当
32a ≥
时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取3
2
2a ≤<． 综上，当1a <或3
2
2a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【详解】
（1）点()4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点()4,1的“友好点”的坐标是()41-, （2）Q 点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，
∴2b a =-．
Q 2a a >-，根据友好点的定义，点B 的坐标为()
2,B a b -，
①当点A 和点B 重合，∴2b b =-． 解得0b =或1b =-． 当0b =时，2a =；当1b =-时，1a =，
∴点A 的坐标是()2,0或()1,1-．
②当点A 和点B 不重合，1a ≠且2a ≠．
当1a <或2a >时，()2
2
2
313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝
⎭． ∴当a ≤
3
2
时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取1a <．
当12a <<时， ()2
2
2
31+3224AB b b a a a ⎛
⎫=--=--=--+ ⎪⎝
⎭ ．
∴当3
2
a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取
3
2
2a ≤<． 综上，当1a <或3
2
2a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【点睛】
本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB 的长用a 进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论
4．如图1，在矩形ABCD 中，DB ＝6，AD ＝3，在Rt △PEF 中，∠PEF ＝90°，EF ＝3，PF ＝6，△PEF （点F 和点A 重合）的边EF 和矩形的边AB 在同一直线上．现将Rt △PEF 从A 以每秒1个单位的速度向射线AB 方向匀速平移，当点F 与点B 重合时停止运动，设运动时间为t 秒，解答下列问题：
（1）如图1，连接PD ，填空：PE ＝ ，∠PFD ＝ 度，四边形PEAD 的面积是 ；
（2）如图2，当PF 经过点D 时，求△PEF 运动时间t 的值；
（3）在运动的过程中，设△PEF 与△ABD 重叠部分面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及相应的t 的取值范围．
【答案】（1）300，9+93
2
；（233）见解析. 【解析】
分析：（1）根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE 的长，再根据梯形的面积公式求解.
（2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函数计算可得3
（3）根据题意，分三种情况：①当0≤t 3时，3＜3时，③3≤t≤6时，根据三角形、梯形的面积的求法，求出S 与t 的函数关系式即可. 详解：（1）∵在Rt △PEF 中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6
∴sin ∠P=
1
=2
EF PF ∴∠P=30° ∵PE ∥AD
∴∠PAD=300，
根据勾股定理可得PE=33， 所以S 四边形PEAD =
12×（33+3）×3=993+； （2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°， 在Rt △ADF 中，由AD=3，得AF=3，所以t=3 ； （3）分三种情况讨论：
①当0≤t ＜3时， PF 交AD 于Q ，∵AF=t ，AQ=3t ，∴S=
12×t×3t=3
t ； ②当3≤t ＜3时，PF 交BD 于K ，作KH ⊥AB 于H ，∵AF=t ，∴BF=33-t ，S △ABD =93
， ∵∠FBK=∠FKB ，∴FB=FK=33-t ，KH=KF×sin600=9-3t
,∴S=S △ABD ﹣S △FBK =23993,424
t t -
+- ③当3≤t≤33时，PE 与BD 交O ，PF 交BD 于K ，∵AF=t ，∴AE=t-3，BF=33-t, BE=33-t+3，OE=BE×tan300=
9-333t +，∴S=233233633
-t t --++
． 点睛：此题主要考查了几何变换综合题，用到的知识点有直角三角形的性质，三角函数值，三角形的面积，图形的平移等，考查了分析推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，要熟练掌握，比较困难.
5．如图，已知抛物线
的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为
A ，且与y 轴交于点C （0，5）。

（1）求直线BC 与抛物线的解析式；
（2）若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的动点，过点M 作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ，求MN 的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一
点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标。

【答案】（1）
（2）
（3）P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）
【解析】
【分析】
（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。

（2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。

（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线联立，即可求得点P的坐标。

【详解】
解：（1）设直线BC的解析式为，
将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴直线BC的解析式为。

将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴抛物线的解析式。

（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，∴设M。

∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，∴N。

∵当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。

∴。

∴MN的最大值是。

（3）当MN取得最大值时，N。

∵的对称轴是，B（5，0），∴A（1，0）。

∴AB=4。

∴。

由勾股定理可得，。

设BC与PQ的距离为h，则由S1=6S2得：，即。

如图，过点B作平行四边形CBPQ的高BH，过点H作x轴的垂线交点E ，则
BH=，EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。

易得，△BEH是等腰直角三角形，
∴EH=。

∴直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式：
或。

当时，与联立，得
，解得或。

此时，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）。

当时，与联立，得
，解得或。

此时，点P的坐标为（2，－3）或（3，－4）。

综上所述，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
【答案】（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=9
4
；②P（2，﹣3）或
（22﹣2）．
【解析】 【分析】
（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】
（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，
得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩
，解得123a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩，
这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得
303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得1
3
k b =⎧⎨
=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，
设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3）， PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+9
4
， 当n=
32时，PM 最大=9
4
； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2， 解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；
当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，
解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2
（不符合题意，舍），n 3
， n 2﹣2n ﹣
， P （
，
综上所述：P （2，﹣3）或（
，2﹣
）． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.
7．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。

（1）求函数
的图像上所有“中国结”的坐标；
（2）求函数y=
k
x
（k≠0，k 为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标；
（3）若二次函数y=2222
(32)(241)k k x k k x k k -++-++-（k 为常数）的图像与x 轴
相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图像与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
【答案】（1）（0,2）；（2）当k=1时，对应“中国结”为（1,1）（－1，－1）；当k=－1时，对应“中国结”为（1，－1），（－1,1）；（3）6个. 【解析】
试题分析：（1）因为x 是整数，x≠0是一个无理数，所以x≠0不是
整数，所以x=0，y=2，据此求出函数x+2的图象上所有“中国结”的坐标即可． （2）首先判断出当k=1时，函数y=
k
x
（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；然后判断出当k≠1时，函数y=
k
x
（k≠0，k 为常数）的图象上最少有4个“中国结”，据此求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标即可．
（3）首先令（k 2﹣3k+2）x 2+（2k 2﹣4k+1）x+k 2﹣k=0，则[（k ﹣1）x+k][（k ﹣2）x+（k ﹣1）]=0，求出x 1、x 2的值是多少；然后根据x 1、x 2的值是整数，求出k 的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”即可．
试题解析：（1）∵x 是整数，x≠0是一个无理数， ∴x≠0
x+2不是整数， ∴x=0，y=2，
即函数x+2的图象上“中国结”的坐标是（0，2）．
（2）①当k=1时，函数y=
k
x
（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”： （1，1）、（﹣1、﹣1）；
②当k=﹣1时，函数y=k
x
（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”： （1，﹣1）、（﹣1，1）．
③当k≠±1时，函数y=
k
x
（k≠0，k 为常数）的图象上最少有4个“中国结”： （1，k ）、（﹣1，﹣k ）、（k ，1）、（﹣k ，﹣1），这与函数y=k
x
（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”矛盾， 综上可得，k=1时，函数y=k
x
（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；
k=﹣1时，函数y=k
x
（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1、1）．
（3）令（k 2﹣3k+2）x 2+（2k 2﹣4k+1）x+k 2﹣k=0， 则[（k ﹣1）x+k][（k ﹣2）x+（k ﹣1）]=0，
∴121{12k x k
k x k =
--=
-
∴121221
11
x x k x x +=
=++， 整理，可得 x 1x 2+2x 2+1=0， ∴x 2（x 1+2）=﹣1， ∵x 1、x 2都是整数， ∴211{21x x =+=-或211{
21
x x =-+=
∴123{
1
x x =-=或121{
1
x x =-=-
①当123{1
x x =-=时，
∵
1
12k k -=-， ∴k=
32
； ②当121{1
x x =-=-时，
∵
11k
k
=--， ∴k=k ﹣1，无解； 综上，可得 k=
3
2
，x 1=﹣3，x 2=1， y=（k 2﹣3k+2）x 2+（2k 2﹣4k+1）x+k 2﹣k =[(
32)2﹣3×32+2]x 2+[2×（32）2﹣4×32+1]x+（32）2﹣32 =﹣
14x 2﹣12x+34
①当x=﹣2时，
y=﹣1
4
x2﹣
1
2
x+
3
4
=﹣
1
4
×（﹣2）2﹣
1
2
×（﹣2）+
3
4
=3 4
②当x=﹣1时，
y=﹣1
4
x2﹣
1
2
x+
3
4
=﹣1
4
×（﹣1）2﹣
1
2
×（﹣1）+
3
4
=1
③当x=0时，y=3
4
，
另外，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中x轴上的“中国结”有3个：
（﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）．
综上，可得
若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，
该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）．
考点：反比例函数综合题
8．如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y=﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．
（1）若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；
（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．
【答案】（1）b =4，（2，﹣2 ）；（2）1；（3）1
2
；（4）当b =2019时“美点”的个数为4040个，b =2019.5时“美点”的个数为1010个． 【解析】 【分析】
（1）求出A 、B 的坐标，由AB =8，可求出b 的值．从而得到L 的解析式，找出L 的对称轴与a 的交点即可；
（2）通过配方，求出L 的顶点坐标，由于点C 在l 下方，则C 与l 的距离2
4
b b -，配方即
可得出结论；
（3）由題意得y 1+y 2=2y 3，进而有b +x 0﹣b =2（﹣x 02+bx 0）解得x 0的值，求出L 与x 轴右交点为D 的坐标，即可得出结论；
（4）①当b =2019时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019x 直线解析式a ：y =x ﹣2019，美点”总计4040个点，②当b =2019.5时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019.5，“美点”共有1010个． 【详解】
（1）当x =0吋，y =x ﹣b =﹣b ，∴B （0，﹣b ）．
∵AB =8，而A （0，b ），∴b ﹣（﹣b ）=8，∴b =4，∴L ：y =﹣x 2+4x ，∴L 的对称轴x =2，当x =2时，y =x ﹣4=﹣2，∴L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2 ）；
（2）y =﹣（x 2b -）224b +，∴L 的顶点C （2b ，2
4
b ）．
∵点C 在l 下方，∴C 与l 的距离b 21
44
b -=-（b ﹣2）2+1≤1，∴点C 与l 距离的最大值为
1；
（3）∵y 3是y 1，y 2的平均数，∴y 1+y 2=2y 3，∴b +x 0﹣b =2（﹣x 02+bx 0），解得：x 0=0或x 0=b 12
-
． ∵x 0≠0，∴x 0=b 1
2
-，对于L ，当y =0吋，0=﹣x 2+bx ，即0=﹣x （x ﹣b ），解得：x 1=0，x 2=b ．
∵b ＞0，∴右交点D （b ，0），∴点（x 0，0）与点D 间的距离b ﹣（b 12
-
）12=．
（4）①当b =2019时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019． 联立上述两个解析式可得：x 1=﹣1，x 2=2019，∴可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点，∴总计4042个点．
∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数：4042﹣2=4040（个）；
②当b =2019.5时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019.5，联立
上述两个解析式可得：x 1=﹣1，x 2=2019.5，∴当x 取整数时，在一次函数y =x ﹣2019.5上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y =x 2+2019.5x 图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知﹣1到2019.5之 间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．
故b =2019时“美点”的个数为4040个，b =2019.5时“美点”的个数为1010个． 【点睛】
本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
9．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；
②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32
，154） 【解析】
试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；
②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线2
y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于
点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0
{3
1
2a b c c b
a
++==-=-，解得：1
{23a b c =-=-=，∴二次函数的
解析式为223y x x =--+=2
(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；
②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =
12OB•OC+12AD•PD+12
(PD+OC)•OD=111
31+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=
333222
x y -+ =
2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228
x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32
-时，2
23y x x =--+=154，此时P
（32
-
，15
4）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
10．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C
.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右
两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ. ①若点P 的横坐标为1
2
-
，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.
【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524
，）；②△PQD 面积的最大值为8 【解析】
分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+5
4
），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+
7
2
，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：
309330a b a b -+⎧⎨++⎩＝＝，解得：1
2
a b -⎧⎨
⎩＝＝， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3． （2）（I ）当点P 的横坐标为-12
时，点Q 的横坐标为7
2，
∴此时点P 的坐标为（-
12，74
），点Q 的坐标为（72，-9
4）．
设直线PQ 的表达式为y=mx+n ，
将P （-
12，74
）、Q （72，-9
4）代入y=mx+n ，得：
1
724
792
4m n m n ⎧-+⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩＝＝，解得：154m n -⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，
∴直线PQ 的表达式为y=-x+
5
4
． 如图②，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，
设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+5
4
），
∴DE=-x2+2x+3-（-x+5
4）=-x2+3x+
7
4
，
∴S△DPQ=1
2
DE•（x Q-x P）=-2x2+6x+
7
2
=-2（x-
3
2
）2+8．
∵-2＜0，
∴当x=3
2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（
3
2
，
15
4
）．
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，
∴点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．
设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，
∴S△DPQ=1
2
DE•（x Q-x P）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．
∵-2＜0，
∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-
2x2+6x+7
2
；（II）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．
11．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理
由.
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或
【解析】
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；
（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析：（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴BC=AD=2，
∵B（﹣1，0），
∴C（1，0），
∴线段AC的中点为（，），
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，
∵A、D关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为x=1，
∴E（3，0），
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x+，
联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，
∴F（﹣，），
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，
∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），
∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，
∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
∴最大值的立方根为=；
（3）由图可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，
①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴PG=AG，
∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），
②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，
则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，
∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，
∴△PKE∽△AQP，
∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），
综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．
考点：二次函数综合题
12．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C
（1）求此二次函数解析式；
（2）点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由；
（3）将直线BC 向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当△AMN 为直角三角形时，求t 的值．
【答案】（1）243y x x =
-+；（2）△BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN 为直角三角形时，t 的值为1或4．
【解析】
【分析】
（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD 为直角三角形； （3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM 2、AN 2、MN 2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论．
【详解】
（1）将()1,0A 、()3,0B 代入23y ax bx =++，得： 309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：14
a b =⎧⎨=-⎩， ∴此二次函数解析式为243y x x =-+．
（2）BCD ∆为直角三角形，理由如下：
()2
24321y x x x Q =-+=--，
∴顶点D 的坐标为()2,1-．
当0x =时，2433y x x =-+=， ∴点C 的坐标为()0,3．
Q 点B 的坐标为()3,0， ()()22300332BC ∴=
-+-=， ()()22
23102BD =-+--=，
CD ==
22220BC BD CD +==Q ，
90CBD ∴∠=︒，
BCD ∴∆为直角三角形．
（3）设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠，
将()3,0B ，()0,3C 代入y kx c =+，得：
303k c c +=⎧⎨=⎩，解得：13k c =-⎧⎨=⎩
， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+，
∴将直线BC 向上平移t 个单位得到的直线的解析式为3y x t =-++．
联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：2343
y x t y x x =-++⎧⎨=-+
⎩，
解得：11322x t y ⎧=⎪⎪⎨+-⎪
=⎪⎩
，22322x t y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
，
∴点M 的坐标为
，点N 的坐标为
，． Q 点A 的坐标为()
1,0，
(222210571AM t t t ⎫⎫∴=+-=++-+⎪⎪⎪⎪⎝⎭
⎝⎭
(222210571AN t t t ⎫⎫=-+-=++++⎪⎪⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
，22
2188MN t =+=+⎝⎭⎝⎭．
AMN ∆Q 为直角三角形，
∴分三种情况考虑：
①当90MAN ∠=︒时，有222AM AN MN
+=，即
(
(22571571188t t t t t t t ++-+++++=+，
整理，得：220t t +-=，
解得：11t =，22t =-（不合题意，舍去）；
②当90AMN ∠=︒时，有222AM MN AN +=，即
()()225719418857194t t t t t t t t t ++-++++=+++++，
整理，得：2280t t --=，
解得：14t =，22t =-（不合题意，舍去）；
③当90ANM ∠=︒时，有222AN MN AN +=，即
()()225719418857194t t t t t t t t t +++++++=++-++，
整理，得：()
941940t t t ++++=． 0t >Q ，
∴该方程无解（或解均为增解）．
综上所述：当AMN ∆为直角三角形时，t 的值为1或4．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC 2+BD 2=CD 2；（3）分∠MAN =90°、∠AMN =90°及∠ANM =90°三种情况考虑．
13．已知抛物线21322
y x x =--的图象如图所示： （1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则平移后的解析式为 ．
（2）判断△ABC 的形状，并说明理由．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）213222y x x =--+；（2）△ABC 是直角三角形；（3）存在，302，⎛⎫- ⎪⎝⎭
、31122⎛-+ ⎝⎭，、31122⎛-- ⎝⎭
，．
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A ，B ，C 的坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，分三种情况，可得关于n 的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
（1）将该抛物线向上平移2个单位，得：y 12=-
x 232-x +2． 故答案为y 12=-x 232
-x +2； （2）当y =0时，12-
x 232
-x +2=0，解得：x 1=﹣4，x 2=1，即B （﹣4，0），A （1，0）． 当x =0时，y =2，即C （0，2）． AB =1﹣（﹣4）=5，AB 2=25，AC 2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC 2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20．
∵AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形；
（3）y 12=-
x 232-x +2的对称轴是x 32=-，设P （32-，n ），AP 2=（132+）2+n 2254=+n 2，CP 294
=+（2﹣n ）2，AC 2=12+22=5.分三种情况讨论： ①当AP =AC 时，AP 2=AC 2，254
+n 2=5，方程无解； ②当AP =CP 时，AP 2=CP 2，
254+n 294=+（2﹣n ）2，解得：n =0，即P 1（32-，0）；
③当AC =CP 时，AC 2=CP 2，
94+（2﹣n ）2=5，解得：n 1=22+，n 2=22-，P 2
（32-，2），P 3（32-，2）． 综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P ，使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角
形，点P 的坐标（32-
，0），（32-，22+），（32-，22-）． 【点睛】
本题考查了二次函数综合题．解（1）的关键是二次函数图象的平移，解（2）的关键是利用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n 的方程，要分类讨论，以防遗漏．
14．抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （1，0），B （m ，0），与y 轴交于C ．
（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；
（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；
（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使
∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；（2）点E的坐标为E（﹣4，5）（3）当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG.
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方求对称轴；（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），先根据已知条件求S△ACE=10，根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值，并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E，则点E 的横坐标小于﹣1，对m的值进行取舍，得到E的坐标；
（3）分两种情况：①当B在原点的左侧时，构建辅助圆，根据直径所对的圆周角是直角，只要满足∠BPF=90°就可以构成∠OBP=∠FPG，如图2，求出圆E与y轴有一个交点时的m值，则可得取值范围；②当B在原点的右侧时，只有△OBP是等腰直角三角形，
△FPG也是等腰直角三角形时满足条件，直接计算即可．
试题解析：（1）当m=﹣3时，B（﹣3，0），
把A（1，0），B（﹣3，0）代入到抛物线y=x2+bx+c中得：，解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；
（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），
由题意得：AD=1+1=2，OC=3，
S△ACE=S△ACD=×ADOC=×2×3=10，
设直线AE的解析式为：y=kx+b，
把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，
，解得：，
∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x﹣m﹣3，∴F（0，﹣m﹣3），
∵C（0，﹣3），∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，∴S△ACE=FC（1﹣m）=10，
﹣m（1﹣m）=20，m2﹣m﹣20=0，
（m+4）（m﹣5）=0，
m1=﹣4，m2=5（舍），
∴E（﹣4，5）；
（3）如图2，当B在原点的左侧时，连接BF，以BF为直径作圆E，当⊙E与y轴相切时，设切点为P，
∴∠BPF=90°，∴∠FPG+∠OPB=90°，∵∠OPB+∠OBP=90°，∴∠OBP=∠FPG，
连接EP，则EP⊥OG，
∵BE=EF，∴EP是梯形的中位线，∴OP=PG=2，
∵FG=1，tan∠FPG=tan∠OBP=，
∴，∴m=﹣4，
∴当﹣4≤m＜0时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG；
如图3，当B在原点的右侧时，要想满足∠OBP=∠FPG，
则∠OBP=∠OPB=∠FPG，∴OB=OP，
∴△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形，
∴FG=PG=1，∴OB=OP=3，∴m=3，
综上所述，当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG．
考点：二次函数的综合题.
15．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线
y=kx+2
3
分别与y轴及抛物线交于点C，D．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．。