2020年上海市新沪高级中学高三数学理月考试卷含解析

2020年上海市新沪高级中学高三数学理月考试卷含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 按如图所示的算法框图运算，若输出k＝2，则输入x的取值范围是()．
A．19≤x<200 B．x<19 C．19<x<200 D．x≥200
参考答案：
A
由框图可知，输出k＝2，需满足
解得19≤x<200，故选A.
2. “m≤﹣”是“?x＞0，使得+﹣＞m是真命题”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】问题转化为m＜（+﹣）min，令f（x）=+﹣，根据不等式的性质求出f（x）的最小值，求出m的范围，结合集合的包含关系判断即可．
【解答】解：若?x＞0，使得+﹣＞m是真命题，
则m＜（+﹣）min，
令f（x）=+﹣，则f（x）≥2﹣=1﹣=﹣，
故m＜﹣，
故m≤﹣”是“m＜﹣“的必要不充分条件，
故选：B．
3. 已知集合，集合，则（）
A． B． C． D ．
参考答案：
B
4. 命题P：将函数的图象向右平移个单位得到的图象；命题
Q：函数的最小正周期是，
则复合命题“P或Q”“P且Q”“非P”为真命题的个数是（）
A．0个 B. 1个 C、2
个 D、3个
参考答案：
C
5. 已知函数有两个极值点,若,则关于的方程
的不同实根个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
A
略
6. 在等差数列中，若“，则
A．B． C.1 D．-1参考答案：
A
略
7. 已知函数f(x)＝|lg x|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围
是()
A．(1，＋∞) B．1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．2，＋∞)
参考答案：
C
8. 如图给出的是计算的值的一个框图，
其中菱形判断框内应填入的条件是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
【知识点】程序框图．L1
解析：∵S=并由流程图中S=S+，故循环的初值为1，终值为10、步
长为1，故经过10次循环才能算出S=的值，故i≤10，应不满足条件，继续循环∴应i＞10，应满足条件，退出循环，填入“i＞10”．故选C.
【思路点拨】由本程序的功能是计算的值，由S=S+，故我们知道最后一次进行循环时的条件为i=10，当i＞10应退出循环输出S的值，由此不难得到判断框中的条件．
9. 如图，某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形，该棱锥的体积为，则该棱锥内切球的表面积是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
10. 若函数存在正的零点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为_______.
参考答案：
略
12. 设函数。

参考答案：
13. 某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小.例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.
现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为
____________.
参考答案：
16．
如图根据加粗的路线设计可以到达每个城市，且建设费用最小，为16.
14. 设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围为．
参考答案：
[﹣1，3]
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案
【解答】解：可行域对应的区域如图：
当直线y=2x﹣z经过A时，目标函数最小，当经过B时最大；其中A（0，1），
由得到A（2，1），
所以目标函数z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1，最大值为2×2﹣1=3；故目标函数z=2x
﹣y的取值范围为[﹣1，3]；
故答案为：[﹣1，3]．
15. 下列说法：① “，使>3”的否定是“，使3”；
复数(是虚数单位),则；
③ “在中，若，则”的逆命题是真命题；
④已知点、、、,则向量在方向上的投影为
⑤已知函数，则
其中正确的说法是___________.（只填序号）.
参考答案：
略
16. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =_______.
参考答案：
17. 已知函数y=g（x）的图象由f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ=．
参考答案：
根据所给的图象，依据，y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，求得图象中与函数值
相同的右侧相邻点的横坐标为，根据φ=﹣求得结果．
解：f（x）=sin2x的图象在y轴的右侧的第一个对称轴为2x=，x=，
=，
图象中与函数值相同的右侧相邻点的横坐标为，故φ=﹣=，
故答案为．
本题主要考查利用y=Asin（ωx+?）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+?）的部分图
步骤
18. 一次数学考试共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．设计试卷时，安排前n道题使考生都能得出正确答案，安排8-n道题，每题得出
正确答案的概率为，安排最后两道题，每题得出正确答案的概率为，且每题答对与否相互独立，同时规定：每题选对得5分，不选或选错得0分．
（1）当n=6时，
①分别求考生10道题全答对的概率和答对8道题的概率；
②问：考生答对几道题的概率最大，并求出最大值；
（2）要使考生所得分数的期望不小于40分，求n的最小值．
参考答案：
解：（1）①当n = 6时，10道题全答对，即后四道题全答对的相互独立事件同时发生，10道题题全答对的概率为
．
答对8道题的概率为++ 4·=＝．
②答对题的个数X的可能值为6，7，8，9，10，其概率分别为：
P（X = 6）= =; P（X = 7）= 2·+2· =＝;
P（X = 8）= ＝; 又P（X 9）=1－＝;
所以：答对7道题的概率最大为
．
得Eξ= 30′+35′+ 40′+ 45′+50′= =37．5 ，
当n =7时，Eξ=40 ．所以n的最小值为7．
另解：5n + +=5（）3 40, 所以n的最小值为7．
略
19. 设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）≤2；
（2）若存在实数x满足f（x）≤ax﹣1，试求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）化简绝对值不等式，通过两个函数的图象求出不等式的解集．
（2）利用（1）的图象直接求出满足f（x）≤ax﹣1实数a的取值范围即可．
【解答】解（1），
由图象可得f（x）≤2的解集为﹣
（2）函数y=ax﹣1，的图象是经过点（0，﹣1）的直线，
由图象可得﹣﹣﹣﹣﹣
20. 已知函数.
（1）求函数在上的最小值；
（2）若函数有两个不同的极值点、且，求实数的取值范围．
参考答案：
略
21. 设a为实数，函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）函数连续可导，只需讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．
（2）曲线f（x）与x轴仅有一个交点，可转化成f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0即可．【解答】解：（1）令f'（x）=3x2﹣2x﹣1=0得：．
又∵当x∈（﹣∞，）时，f'（x）＞0；
当x∈（，1）时，f'（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0；
∴与x2=1分别为f（x）的极大值与极小值点．
∴f（x）极大值=；f（x）极小值=a﹣1
（2）∵f（x）在（﹣∞，）上单调递增，
∴当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；
又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞
∴当f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点．
即或a﹣1＞0，
∴a∈（﹣∞，）∪（1，+∞）
22. （本小题满分12分）
如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点为的中点.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求点到的距离.
参考答案：
解：（1） ,
点E为的中点,连接
的中位线//……2分
又………4分（2）正方形中, , 由已知可得：，
,
…………8分
（3）设点到的距离为.
，，
又，即，
，即点到的距离为
…………12分。