人教A版高中数学选修一3.1.3导数的几何意义.docx

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知能巩固提升(十九)/课后巩固作业(十九)
（时间：30分钟满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是( )
(A)在点x=x0处的函数值
(B)在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值
(C)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率
(D)点(x0,f(x0))与点（0，0）连线的斜率
2.已知曲线y=x3上过点（2，8）的切线方程为12x-ay-16=0，则实数a的值为( )
(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2
3.若曲线y=2x2-4x+a与直线y=1相切，则a＝( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4.（2012·辽宁高考）已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为( )
（A）1 （B）3
（C）-4 （D）-8
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.（2012·沈阳高二检测）如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是
y=-x+8，则f(5)+f′(5)=________.
＝_________.
6.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2，则a
b
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10，求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程.
8.(易错题）已知曲线f(x)=x2+1与g(x)=x3+1在x=x0处的切线互相垂直，求x0的值.
【挑战能力】
（10分）已知曲线y=x2+1，则是否存在实数a，使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案解析
1.【解析】选C.根据导数的几何意义可知选项C 正确.
2.【解析】选B.∵y ′=33x 0(x x)x lim x
∆→+∆-∆ =222x 0
lim (x 3x x 3x )3x ∆→∆+∆+=， ∴k=3×22=12，即
12
a
=12，得a=1. 【变式训练】（2012·无锡模拟）曲线y=x 3+ax+1的一条切线方程为y=2x+1，则实数a=__________. 【解析】设切点为（x 0,y 0），
则f ′(x 0)=330000x 0(x x)a(x x)1x ax 1lim x
∆→+∆++∆+-++∆［］（）
=2200x 0
lim x 3x x 3x a ∆→∆+∆++（） =3x 02+a,
∴3x 02+a=2 ① 又∵切点既在曲线上，又在切线上，
∴x 03+ax 0+1=2x 0+1 ② 由①②得：0x 0
a 2
=⎧⎨=⎩ 答案：2
3.【解析】选C.设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)=
()
220000x 02(x x)4(x x)a 2x 4x a lim
x
∆→+∆-+∆+--+∆［］ =00x 0
lim(4x 2x 4)4x 40∆→+∆-=-=，
∴x 0=1.即切点坐标为(1,1).∴2-4+a=1，即a=3.
4.【解析】选C.由于P,Q 为抛物线x 2=2y （即y=1
2
x 2）上的点，且横坐标分别为4，-2，则P （4，8），Q （-2，2），从而在点P 处的切线斜率k 1=y ′|x=4=4.据点斜式，得曲线在点P 处的切线方程为y-8=4(x-4)；同理，曲线在点Q 处的切线方程为y-2=-2(x+2)；上述两方程联立，解得交点A 的纵坐标为-4. 5.【解析】f(5)+f ′(5)=(-5+8)+(-1)=2. 答案：2
6.【解析】由题意知，()
2x 0x 0a(1x)b a b lim lim (a x 2a)2a 2x
∆→∆→+∆+-+=∆+=∆＝， ∴a=1,又3=a ×12+b ， ∴b=2,即a 1.b
2
= 答案：12
7.【解析】(1)由2y x 4,
y x 10⎧=+⎨=+⎩，
得x 2+4=x+10，
即x 2-x-6=0，
∴x=-2或x=3.代入直线的方程得y=8或y=13. ∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)或(3,13). (2)∵y=x 2+4， ∴y ′=()
22x 0
(x x)4x 4lim
x
∆→+∆+-+∆
=x 0
lim ∆→(2x+Δx)=2x. ∴y ′|x=-2=-4，y ′|x=3=6.
即在点(-2,8)处的切线斜率为-4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(-2,8)处的切线方程为4x+y=0； 在点(3,13)处的切线方程为6x-y-5=0. 【方法技巧】利用导数研究曲线切线的关键点
在应用导数的几何意义研究曲线的相关问题时，要紧紧把握住切点所具备的三个条件：
（1）切点在切线上，即切点满足切线方程； （2）切点在曲线上，即切点满足曲线方程； （3）切点处的导数值是切线的斜率.
利用这三个条件，设切点、找等量关系、构造函数、不等式来解决问题. 8.【解析】∵f ′(x)=()
22x 0
(x x)1x 1lim x
∆→+∆+-+∆
=x 0
lim ∆→(Δx+2x)=2x ，
g ′(x)= ()
33x 0
(x x)1x 1lim
x
∆→+∆+-+∆
=222x 0
lim (x 3x x 3x )3x ∆→∆+∆+=， ∴k 1=2x 0，k 2=3x 02， ∴k 1k 2=-1， 即6x 03=-1， 解得x 0=3
36
6
-
. 【挑战能力】
【解题指南】设出切点，求导写出切线方程，因为切线过点（1,a ），且y 0=x 02+1可以得到关于x 0的方程，切线有两条即方程有两个不等的实数根，所以判别式
大于0，得到关于a 的不等式，解集非空即存在.
【解析】∵22y (x x)1x 1
x x
∆+∆+--=∆∆=2x+Δx,
∴y ′=x 0
x 0
y
lim lim x ∆→∆→∆=∆(2x+Δx)=2x. 设切点为P(x 0,y 0)，则切线的斜率为k=0
x x y |='=2x 0， 由点斜式可得所求切线方程为y-y 0=2x 0(x-x 0). 又∵切线过点（1,a ），且y 0=x 02+1， ∴a-(x 02+1)=2x 0(1-x 0)， 即x 02-2x 0+a-1=0. ∵切线有两条，
∴Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.
故存在实数a ，使得经过点（1,a ）能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是{a|a<2}.。