人教版第八章 二元一次方程组单元 易错题提优专项训练试卷

人教版第八章 二元一次方程组单元 易错题提优专项训练试卷
一、选择题
1．用加减法将方程组2311255
x y x y -=⎧⎨+=-⎩中的未知数x 消去后，得到的方程是（ ）． A ．26y = B ．816y = C ．26y -= D ．816y -=
2．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为（ ）
A ．50人，40人
B ．30人，60人
C ．40人，50人
D ．60人，30人 3．若方程6kx ﹣2y=8有一组解32x y =-⎧⎨
=⎩，则k 的值等于（（ ） A ．23- B ．23 C ．16- D ．16
4．已知559375a b a b +=⎧⎨
+=⎩，则-a b 等于（ ） A ．8 B ．83
C ．2
D ．1 5．三元一次方程5x y z ++=的正整数解有（ ）
A ．2组
B ．4组
C ．6组
D ．8组
6．关于x ，y 的方程组2318517ax y x by +=⎧⎨-+=⎩（其中a ，b 是常数）的解为34x y =⎧⎨=⎩
，则方程组2()3()18()5()17a x y x y x y b x y ++-=⎧⎨+--=-⎩
的解为（ ） A ．34x y =⎧⎨=⎩ B ．71x y =⎧⎨=-⎩ C ． 3.50.5x y =⎧⎨=-⎩ D ． 3.50.5x y =⎧⎨=⎩
7．为了节省空间，食堂里的饭碗一般是摆起来存放的，如果6只饭碗（注：饭碗的大小形状都一样，下同）摆起来的高度为15cm ，9只饭碗摆起来的高度为21cm ，食堂的碗橱每格的高度为35cm ，则一摞碗最多只能放( )只．
A ．20
B ．18
C ．16
D ．15
8．若关于x ，y 的二元一次方程组432x y k x y k +=⎧⎨
-=⎩的解也是二元一次方程2310x y +=的解，则x y -的值为（ ）
A ．2
B ．10
C ．2-
D ．4
9．如图，长方形ABCD 被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形ABCD 的周长为l ，若图中3个正方形和2个长方形的周长之和为94
l ，则标号为①正方
形的边长为（ ）
A ．112l
B ．116l
C ．516l
D ．118
l 10．对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b ＝2a+b ．例如3⊗4＝2×3+4，若x ⊗（﹣y ）＝2018，且2y ⊗x ＝﹣2019，则x+y 的值是（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．13
D ．﹣13
二、填空题
11．小红买了80分、120分的两种邮票，共花掉16元钱（两种邮票都买），则购买方案共有 种．
12．已知对任意a b ，关于x y ，的三元一次方程()()a b x a b y a b --+=+只有一组公共解，求这个方程的公共解_____________．
13．新学期伊始，西大附中的学子们积极响应学校的“书香校园”活动，踊跃捐出自己喜爱的书籍，互相分享，让阅读成为一种习惯．据调查，某年级甲班、乙班共80人捐书，丙班有40人捐书，已知乙班人均捐书数量比甲班人均捐书数量多5本，而丙班的人均捐书数量是甲班人均捐书数量的一半，若该年级甲、乙、丙三班的人均捐书数量恰好是乙班人均捐书数量的35
，且各班人均捐书数量均为正整数，则甲、乙、丙三班共捐书_____本． 14．已知a 、b 、c 分别是一个三位数的百位、十位、个位上的数字，且a 、b 、c 满足（|a ﹣2|+|a ﹣4|）（|b |+|b ﹣3|）（|c ﹣1|+|c ﹣6|）＝60，则这个三位数的最大值为_____．
15．小明、小红和小光共解出了100道数学题目，每人都解出了其中的60道题目，如果将其中只有1人解出的题目叫做难题，2人解出的题目叫做中档题，3人都解出的题目叫做容易题，那么难题比容易题多________道.
16．在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收人，经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4:3:5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的
916种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的1940
．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3:4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是____．
17．我校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查（每名学生都填了调査表，且只选了一个项目），统计后趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作榜上有名．其中选信息技术的人数比选手工制作的
少8人；选趣味数学的人数不仅比选手工制作的人多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍；选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多24人．则参加调查问卷的学生有________人．
18．若关于x 、y 的二元一次方程组316215x my x ny +=⎧⎨+=⎩的解是73x y =⎧⎨=⎩
，则关于x 、y 的二元一次方程组3()()162()()15
x y m x y x y n x y ++-=⎧⎨++-=⎩的解是__． 19．如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm ，小红所搭的“小树”的高度为22 cm ，设每块A 型积木的高为x cm ，每块B 型积木的高为y cm ，则
x =__________，y =__________．
20．有甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙堆中拿出现在的甲堆个数放入甲堆，最后甲乙丙三堆苹果数相等，则甲堆原来有____个苹果．
三、解答题
21．当,m n 都是实数，且满足28m n =+，就称点21,2n P m +⎛
⎫- ⎪⎝⎭
为“爱心点”． （1）判断点()5,3A 、()4,8B 哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点(),4A a -、()4,B b 是“爱心点”，请判断A 、B 两点的中点C 在第几象限？并说明理由；
（3）已知P 、Q 为有理数，且关于x 、y 的方程组333x y q x y q
⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩解为坐标的点
(),B x y 是“爱心点”，求p 、q 的值．
22．对x ，y 定义一种新运算T ，规定()22
,ax by T x y a y
+=+（其中a ，b 是非零常数且0x y +≠），这里等式右边是通常的四则运算．
如：()223193,1314a b a b T ⨯+⨯+==+，()24,22
am b T m m +-=-． （1）填空：()4,1T =_____（用含a ，b 的代数式表示）；
（2）若()2,02T -=-且()5,16T -=．
①求a 与b 的值；
②若()()310,33,310T m m T m m --=--，求m 的值．
23．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（a,a ），点B 的坐标（b,c ），且a 、b 、c 满足34624
a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩. (1)若a 没有平方根，判断点A 在第几象限并说明理由.
(2)连AB 、OA 、OB ，若△OAB 的面积大于5而小于8，求a 的取值范围；
(3)若两个动点M （2m,3m-5），N(n-1,-2n-3)，请你探索是否存在以两个动点M 、N 为端点的线段MN ∥AB ，且MN=AB ．若存在，求出M 、N 两点的坐标；若不存在，请说明理由.
24．小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边.
(1)小红首先用m 根小木棍摆出了p 个小正方形,请你用等式表示,m p 之间的关系： ；
(2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个?
(3)小红重新用50根小木棍,摆出了s 排,共t 个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示,s t 之间的关系,并写出所有,s t 可能的取值.
25． 学校“百变魔方”社团准备购买A ，B 两种魔方，已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同.
(1)求这两种魔方的单价；
(2)结合社员们的需求，社团决定购买A ，B 两种魔方共100个.某商店有两种优惠活动，如图所示.请根据以上信息，购进A 种魔方多少个时，两种活动费用相同？
26．江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季中，甲种产品售价50千元/件，乙种产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A 、B 两种原料，生产甲产品需要A 种原料4吨/件，B 种原料2吨/件，生产乙产品需要A 种原料3吨/件，B 种原料1吨/件，每个季节该厂能获得A 种原料120吨，B 种原料50吨．
（1）如何安排生产，才能恰好使两种原料全部用完？此时总产值是多少万元？
（2）在夏季中甲种产品售价上涨10%，而乙种产品下降10%，并且要求甲种产品比乙种产品多生产25件，问如何安排甲、乙两种产品，使总产值是1375千元，A ，B 两种原料还剩
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
方程组两方程相减消去x即可得到结果．
【详解】
解：
2311? 255?
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=-
⎩
①
②
②-①得：8y=-16，即-8y=16，
故选D．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
2．C
解析：C
【分析】
等量关系为：生产的螺栓的工人数+生产螺帽的人数等于90；螺栓总数乘以2等于螺帽总数，把相关数值代入求解即可．
【详解】
解：设生产螺栓和生产螺帽的人数分别为x，y人，
根据题意得
90 15224
x y
x y
+=
⎧
⎨
⨯=
⎩
，
解得
40
50 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴生产螺栓和生产螺帽的人数分别为40人，50人．
故选C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到等量关系式是解题的关键．3．A
解析：A
【分析】
根据方程的解满足方程，课的关于k的方程，根据解方程，可得答案．
解：由题意，得
6×（-3）k-2×2=8，
解得k=-2 3 ,
故选A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程，利用方程的解满足方程得出关于的k方程是解题关键．4．C
解析：C
【分析】
把两个方程的左右两边分别相减,求出a-b的值是多少即可．
【详解】
解:
559 375 a b
a b
+
⎧
⎨
+
⎩
＝①
＝②
①-②,可得
2（a-b）=4,
∴a-b=2．
故选:C．
【点睛】
此题主要考查了解二元一次方程组,关键是注意观察,找出解决问题的简便方法．
5．C
解析：C
【分析】
最小的正整数是1，当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1；当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1；当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1；依此类推，然后把个数加起来即可．
【详解】
解：当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1，有3组正整数解；当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1，有2组正整数解；
当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1，有1组正整数解；
所以正整数解的组数共：3+2+1=6（组）．
故选：C．
【点睛】
本题考查三元一次不定方程的解，解题关键是确定x、y、z的值，分类讨论．
6．C
解析：C
【解析】
分析：由原方程组的解及两方程组的特点知，x +y 、x ﹣y 分别相当于原方程组中的x 、y ，据此列出方程组，解之可得．
详解：由题意知：3{4x y x y +=-=①
②，①+②，得：2x =7，x =3.5，①﹣②，得：2y =﹣1，y =
﹣0.5，所以方程组的解为 3.50.5x y =⎧⎨=-⎩
． 故选C ．
点睛：本题主要考查二元一次方程组，解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于x 、y 的方程组．
7．D
解析：D
【解析】
【详解】
试题分析：设1个碗的高度为xcm ，没加一个碗的高度增加的高度为ycm ，列方程组515
{821x y x y +=+= ，解得52x y =⎧⎨=⎩
， 设可摆k 个碗，则5+2k≤35，解得：k≤15，
故选D ．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意，找出合适的等量关系，列方程组求解．
8．D
解析：D
【分析】
把k 看做已知数求出x 与y ，代入已知方程计算即可求出k 的值，从而求得x y -的值．
【详解】
432x y k x y k +=⎧⎨-=⎩
①②， ①-②得：5k y =
， 把5k y =代入②得：115k x =， 把115k x =，5k y =代入2310x y +=，得：11231055
k k ⨯+⨯= 解得：2k =， ∴225x =，25y =，
∴222455
x y -=
-=． 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
9．B
解析：B
【分析】
设两个大正方形边长为x ，小正方形的边长为y ，由图可知周长和列方程和方程组，解答即可．
【详解】 解：长方形ABCD 被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，
∴两个大正方形相同、2个长方形相同．
设小正方形边长为x ，大正方形的边长为y ，
∴小长方形的边长分别为()y x -、()x y +，大长方形边长为()2y z -、()2y x +．
长方形周长l =，即：()()222y x y x l -++⎤⎣⎦
=⎡， 8y l ∴=，
18
y l ∴=． 3个正方形和2个长方形的周长和为
94
l ， ()()9244224y x x y y x l ∴⨯++⨯⨯+⎤⎣⎦=⎡+-， 91644
y x l ∴+=， 116
x l ∴=． ∴标号为①的正方形的边长
116
l ． 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，要明确中心对称的性质，找出题目中的等量关系，列出方程组．注意各个正方形的边长之间的数量关系． 10．D
解析：D
【分析】
已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，两方程左右两边相加即可求出所求．
【详解】
解：根据题中的新定义得：
22018 42019
x y
y x
-=
⎧
⎨
+=-
⎩
①
②
，
①+②得：3x+3y＝﹣1，
则x+y＝﹣1
3
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是定义新运算以及二元一次方程组的解法，掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
二、填空题
11．6
【分析】
设80分的邮票购买x张，120分的邮票购买y张，根据题意列方程
0.8x+1.2y=16，用含y的代数式表示x得，根据x、y都是整数取出x与y的对应值，得到购买方案.
【详解】
解：设8
解析：6
【分析】
设80分的邮票购买x张，120分的邮票购买y张，根据题意列方程0.8x+1.2y=16，用含y
的代数式表示x得
3
20
2
x y
=-，根据x、y都是整数取出x与y的对应值，得到购买方案.
【详解】
解：设80分的邮票购买x张，120分的邮票购买y张，0.8x+1.2y=16，
解得
3
20
2
x y =-，
∵x、y都是正整数，
∴当y=2、4、6、8、10、12时，
x=17、14、11、8、5、2，
∴共有6种购买方案，
故答案为：6.
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，根据题意只得到一个方程时，可将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，然后根据未知数的要求得到对应值即可解决实际问题. 12．【分析】
先把原方程化为的形式，再分别令a ，b 的系数为0，即可求出答案．
【详解】
解：由已知得：
∴
两式相加得：，即，
把代入得到，，
故此方程组的解为：．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考
解析：01x y =⎧⎨=-⎩
【分析】
先把原方程化为(1)(1)0a x y b x y ---++=的形式，再分别令a ，b 的系数为0，即可求出答案．
【详解】
解：由已知得：(1)(1)0a x y b x y ---++=
∴1010x y x y --=⎧⎨++=⎩
两式相加得：20x =，即0x =，
把0x =代入10x y --=得到，1y =-，
故此方程组的解为：01x y =⎧⎨=-⎩
． 故答案为：01x y =⎧⎨=-⎩
． 【点睛】
本题主要考查的知识点是三元一次方程组的问题，运用三元一次方程组的解法的知识进行计算，即可解答．
13．【分析】
根据设间接未知数列二元一次方程求各班人均捐书数，然后再求三个班共捐书即可解答．
【详解】
设甲班的人均捐书数量为x 本，乙班的人均捐书数量为（x+5）本，丙班的人均捐书数量为本，
设甲班
解析：【分析】
根据设间接未知数列二元一次方程求各班人均捐书数，然后再求三个班共捐书即可解答．
【详解】
设甲班的人均捐书数量为x 本，乙班的人均捐书数量为（x +5）本，丙班的人均捐书数量为2
x 本， 设甲班有y 人，乙班有（80﹣y ）人．
根据题意，得
xy +（x +5）（80﹣y ）+
2x •40＝3(5)1205x +⨯ 解得：y =284035855
x x x +=++， 可知x 为2且5的倍数，故x ＝10，y ＝64，
共捐书10×64+15×16+5×40＝1080．
答：甲、乙、丙三班共捐书1080本．
故答案为1080．
【点睛】
此题考查二元一次方程的实际应用，题中有三个量待求，但是只有一个等量关系，因此只能设出两个未知数，用一个未知数表示另一个未知数，根据数量的要求及代数式的形式确定未知数的值，这是此题的难点.
14．536
【分析】
由绝对值的性质可得|a ﹣2|+|a ﹣4|≥2，|b|+|b ﹣3|≥3，|c ﹣1|+|c ﹣6|≥5，因为a 、b 、c 是整数，且(|a ﹣2|+|a ﹣4|)(|b|+|b ﹣3|)(|c ﹣1
解析：536
【分析】
由绝对值的性质可得|a ﹣2|+|a ﹣4|≥2，|b |+|b ﹣3|≥3，|c ﹣1|+|c ﹣6|≥5，因为a 、b 、c 是整数，且(|a ﹣2|+|a ﹣4|)(|b |+|b ﹣3|)(|c ﹣1|+|c ﹣6|)=60，分三种情况讨论：①|a ﹣2|+|a ﹣4|=4，|b |+|b ﹣3|=3，|c ﹣1|+|c ﹣6|=5；②|a ﹣2|+|a ﹣4|=2，|b |+|b ﹣3|=6，|c ﹣1|+|c ﹣6|=5；③|a ﹣2|+|a ﹣4|=2，|b |+|b ﹣3|=3，|c ﹣1|+|c ﹣6|=10，求出a 、b 、c 的值，即可得出最大三位数.
【详解】
∵|a ﹣2|+|a ﹣4|≥2，|b |+|b ﹣3|≥3，|c ﹣1|+|c ﹣6|≥5，
∴(|a ﹣2|+|a ﹣4|)(|b |+|b ﹣3|)(|c ﹣1|+|c ﹣6|)≥30.
∵a 、b 、c 是整数，(|a ﹣2|+|a ﹣4|)(|b |+|b ﹣3|)(|c ﹣1|+|c ﹣6|)=60，
∴有三种情况：①|a ﹣2|+|a ﹣4|=4，|b |+|b ﹣3|=3，|c ﹣1|+|c ﹣6|=5；
②|a ﹣2|+|a ﹣4|=2，|b |+|b ﹣3|=6，|c ﹣1|+|c ﹣6|=5；
③|a ﹣2|+|a ﹣4|=2，|b |+|b ﹣3|=3，|c ﹣1|+|c ﹣6|=10.
∴要使三位数最大，首先要保证a 尽可能大.
当|a ﹣2|+|a ﹣4|=4时，解得：a =1或a =5；
当|a ﹣2|+|a ﹣4|=2时，解得：2≤a ≤4；
∴a =5.
当a =5时，|b |+|b ﹣3|=3，|c ﹣1|+|c ﹣6|=5.
解得：0≤b ≤3，1≤c ≤6，
∴由a 、b 、c 组成的最大三位数为536.
故答案为：536.
【点睛】
本题考查了三元一次方程、绝对值的意义以及绝对值方程；熟练掌握绝对值的几何意义，利用不等式和数轴解题是关键.
15．【分析】
本题可设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z=100①，又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档
解析：【分析】
本题可设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z =100①，又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，所以有x+2y+3z =180②，①×2-②，得x-z =20，所以难题比容易题多20道．
【详解】
设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题。

10023180x y x x y z ++=⎧⎨++=⎩
①② ①×2−②，得x−z =20，
∴难题比容易题多20道.
故填20.
【点睛】
本题考查三元一次方程组的应用，本题中列方程组时有三个未知数，但只能列两个方程，所以不能把所有的未知数都解出来，只需要解出x-z 即可.
16．3:20
【解析】
【分析】
设该村已种药材面积x ，余下土地面积为y ，还需种植贝母的面积为z ，则总面积为（x+y ），川香已种植面积x 、贝母已种植面积x 、黄连已种植面积x ，依题意列出方程组，用y 的代数
解析：3:20
【解析】
【分析】
设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为
（x+y），川香已种植面积1
3
x、贝母已种植面积
1
4
x、黄连已种植面积
5
12
x，依题意列出
方程组，用y的代数式分别表示x、y，然后进行计算即可.
【详解】
解：设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为
（x+y），川香已种植面积1
3
x、贝母已种植面积
1
4
x、黄连已种植面积
5
12
x
依题意可得，
5919
()
121640
191
:3:4 3164
x y x y
x y y z x z
⎧
+=+
⎪⎪
⎨⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
⎪+--+=
⎪ ⎪
⎢⎥
⎪⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
⎩
①
②
由①得
3
2
x y =③
将③代入②得
3
8 z y =
∴贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比=
3
3
8
320
2
y
z
x y y y
==
++
故答案为3：20.
【点睛】
本题考查了三元一次方程组，正确找出等量关系并列出方程是解题的关键
17．48
【分析】
设选信息技术的有x人，选演讲与口才有y人，则手工制作的有（x+8）人，选趣味数学的有a（x+8）人，根据题意列出方程组，结合实际情况讨论求解即可. 【详解】
设选信息技术的有x人，选
解析：48
【分析】
设选信息技术的有x人，选演讲与口才有y人，则手工制作的有（x+8）人，选趣味数学的
有a（x+8）人，根据题意列出方程组，结合实际情况讨论求解即可.
【详解】
设选信息技术的有x人，选演讲与口才有y人，则手工制作的有（x+8）人，选趣味数学的
有a（x+8）人，
根据题意得：
()()()
()()
185
8824
a x x y
a x y x x
⎧++=+
⎪
⎨
++--+=
⎪⎩
①
②
，
②可变形为：（a-1）（x+8）=24+x-y ③，
①+③，得2a （x+8）=24+6x+4y ，
即a=
12328
x y x +++； ①-③，得x+3y=20．
∵x 、y 都是正整数， ∴171x y =⎧⎨=⎩或142
x y =⎧⎨=⎩或113x y =⎧⎨=⎩或84x y =⎧⎨=⎩或55x y =⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=⎩ 当171x y =⎧⎨
=⎩、142x y =⎧⎨=⎩、113x y =⎧⎨=⎩、84x y =⎧⎨=⎩、55x y =⎧⎨=⎩， a=12328
x y x +++都不是整数，不合题意． 当26
x y =⎧⎨=⎩时，a=12328x y x +++=3． ∴选信息技术的有2人，选演讲与口才的有6人，选手工制作的有10人，选趣味数学的有30人，
由于每名学生都填了调査表，且只选了一个项目，
所以参加调查问卷的学生有2+6+10+30=48（人）．
故答案为48
【点睛】
本题考查了二元一次方程的正整数解、二元一次方程组等知识点，题目难度较大，根据方程组得到二元一次方程，是解决本题的关键．
18．【解析】
分析：令x+y=a ，x-y=b ，根据已知，比较后得出a ，b 的值，从而得出结论． ．
详解：令x+y=a ，x-y=b ，则关于x 、y 的二元一次方程组变为：．∵二元一次方程组的解是，
解析：52x y =⎧⎨=⎩
【解析】
分析：令x +y =a ，x -y =b ，根据已知，比较后得出a ，b 的值，从而得出结论．
．
详解：令x +y =a ，x -y =b ，则关于x 、y 的二元一次方程组316215x y m x y x y n x y ++-=⎧⎨++-=⎩
（）（）（）（）变为：316215a mb a nb +=⎧⎨+=⎩．∵二元一次方程组316215x my x ny +=⎧⎨+=⎩的解是73x y =⎧⎨=⎩，∴73a b =⎧⎨=⎩
，
∴73x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：52x y =⎧⎨=⎩
． 点睛：本题主要考查二元一次方程组的解法，关键是熟练掌握二元一次方程组的解法即代入消元法和加减消元法，本题要注意整体思想的运用．
19．5
【解析】
根据小强搭的积木的高度=A 的高度×
2+B 的高度×3，小红搭的积木的高度=A 的高度×
3+B 的高度×2，依两个等量关系列出方程组，再求解． 故答案为4和5．
点睛：本题考查了二元一
解析：5
【解析】
根据小强搭的积木的高度=A 的高度×2+B 的高度×3，小红搭的积木的高度=A 的高度×3+B 的高度×2，依两个等量关系列出方程组23233222x y x y +=⎧⎨
+=⎩，再求解45x y =⎧⎨=⎩
． 故答案为4和5．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解． 20．【分析】
可设甲堆原来有x 个苹果，乙堆原来有y 个苹果，丙堆原来有z 个苹果，根据等量关系：甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙
解析：【分析】
可设甲堆原来有x 个苹果，乙堆原来有y 个苹果，丙堆原来有z 个苹果，根据等量关系：甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙堆中拿出现在的甲堆个数放入甲堆，最后甲乙丙三堆苹果数相等，列出方程即可求解．
【详解】
解：设甲堆原来有x 个苹果，乙堆原来有y 个苹果，丙堆原来有z 个苹果，依题意有 ()432x y z x y x y y y z z z x y ++=⎧⎨-+-=+-=+--⎩
， 解得19812688x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
．
故甲堆原来有198个苹果．
故答案为：198．
【点睛】
考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
三、解答题
21．（1）()5,3A 为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3）0p =，q =23
- 【分析】
（1）分别把A 、B 点坐标，代入（m ﹣1，
22n +）中，求出m 和n 的值，然后代入2m ＝8+n 检验等号是否成立即可；
（2）把点A （a ，﹣4）、B （4，b ）各自代入（m ﹣1，22
n +）中，分别用a 、b 表示出m 、n ，再代入2m ＝8+n 中可求出a 、b 的值，则可得A 和B 点的坐标，再根据中点坐标公式即可求出C 点坐标，然后即可判断点C 所在象限；
（3）解方程组，用q 和p 表示x 和y ，然后代入2m ＝8+n 可得关于p 和q 的等式，再根据p ，q 为有理数，即可求出p 、q 的值．
【详解】
解：（1）A 点为“爱心点”，理由如下：
当A （5，3）时，m ﹣1＝5，22
n +＝3， 解得：m ＝6，n ＝4，则2m ＝12，8+n ＝12，
所以2m ＝8+n ，
所以A （5，3）是“爱心点”；
当B （4，8）时，m ﹣1＝4，
22
n +＝8， 解得：m ＝5，n ＝14，显然2m ≠8+n ，
所以B 点不是“爱心点”； （2）A 、B 两点的中点C 在第四象限，理由如下：
∵点A （a ，﹣4）是“爱心点”，
∴m ﹣1＝a ，22
n +＝﹣4， 解得：m ＝a +1，n ＝﹣10．
代入2m ＝8+n ，得2（a +1）＝8﹣10，解得：a ＝﹣2，
所以A 点坐标为（﹣2，﹣4）；
∵点B （4，b ）是“爱心点”，
同理可得m ＝5，n ＝2b ﹣2，
代入2m ＝8+n ，得：10=8+2b ﹣2，解得：b ＝2．
所以点B 坐标为（4，2）．
∴A 、B 两点的中点C 坐标为（2442,22
-+-+），即（1，﹣1），在第四象限． （3）解关于x ，y
的方程组3x y q x y q
⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩，
得：2x q y q ⎧=-⎪⎨=⎪⎩． ∵点B （x ，y ）是“爱心点”，
∴m ﹣1
﹣q ，22
n +＝2q ， 解得：m
﹣q +1，n ＝4q ﹣2．
代入2m ＝8+n ，得：
﹣2q +2＝8+4q ﹣2，
整理得
﹣6q ＝4．
∵p ，q 为有理数，若使
p ﹣6q 结果为有理数4，
则P ＝0，所以﹣6q ＝4，解得：q ＝﹣
23． 所以P ＝0，q ＝﹣
23． 【点睛】
本题是新定义题型，以“爱心点”为载体，主要考查了解二元一次方程组、中点坐标公式等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．
22．（1）
163a b +；（2）①11
a b =⎧⎨=-⎩；②53m = 【分析】
（1）把（4，-1）代入新运算中，计算得结果；
（2）①根据新运算规定和T （-2，0）=-2且T （5，-1）=6，得关于a 、b 的方程组，解方程组即可；
②把①中求得的a 、b 代入新运算，并对新运算进行化简，根据T （3m-10，m ）=T （m ，3m-10）得关于m 的方程，求解即可．
【详解】 解：（1）224(1)16(4,1)413
a b a b T ⨯+⨯-+-==-； 故答案为：163
a b +； （2）①∵()2,02T -=-且()5,16T -=，
∴42,225 6.4
a a
b ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪⎩ 解得：1,1.a b =⎧⎨=-⎩
②∵a=1，b=1-，且x+y≠0， ∴22
()()
(,)x y x y x y T x y x y x y x y -+-===-++．
∴()310,33103610T m m m m m --=-+=-，
()3,3103310610T m m m m m --=--+=-+
∵()()310,33,310T m m T m m --=--，
∴610610m m -=-+， 解得：53m =
． 【点睛】
本题考查了解一元一次方程、二元一次方程组的解法及新运算等相关知识，理解新运算的规定并能运用是解决本题的关键
23．（1）第三象限；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平方根的意义得到a ＜0，然后根据各象限点的坐标点的特征可判断点A 在第三象限；（2）先利用方程组34624
a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩，用a 表示b 、c ，得b=2+a.c=a, 则B 点的坐标为（2+a ，a ）,故AB //x 轴，AB=|2+a-a|=2，故11|y |2||||22
OAB B S AB a a =⨯⨯=⨯⨯= 由若△OAB 的面积大于5而小于8，可得5||8a <<计算即可得a 的取值范围；
（3）由AB //x 轴即MN ∥AB 可得MN ∥x 轴，则M 、N 的y 坐标，以及MN=AB =2，可得方程组解得m 、n 的值，即可得出结论；
【详解】
（1）∵a 没有平方根，
∴a ＜0，
∴点A 在第三象限；
（2）解方程组34624a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩
用a 表示b 、c ，得2b a c a =+⎧⎨=⎩
∵点B 坐标为（b ，c ）
∴点B 坐标为（2+a ，a ）
∵点A 的坐标为（a ，a ）
∴AB =|2+a-a|=2，AB 与x 轴平行 ∴11|y |2||||22
OAB B S
AB a a =⨯⨯=⨯⨯= ∵△OAB 的面积大于5而小于8，
∴5||8a << 解得：58a <<或85a -<<-
(3) ∵AB ∥x 轴
又∵MN ∥AB
∴MN ∥x 轴
∵M(2m, 3m-5) N(n-1, -2n-3), MN=AB=2 ∴3523122m n n m -=--⎧⎨--=⎩
∴3523122m n n m -=--⎧⎨--=⎩ 3523122m n n m -=--⎧⎨--=-⎩
∴47137m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或4717m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴847647,,7774M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、 或823623,,777
7M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、 【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，平方根，解三元一次方程组，三角形的面积，解不等式，审清题意，能灵活运用各个知识点之间的联系是解决的关键.
24．（1）31p m +=；（2）正方形有16个，六边形有12个；（3）216s t =⎧⎨=⎩，515s t =⎧⎨=⎩
，814s t =⎧⎨=⎩或1113s t =⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
(1)摆1个正方形需要4根小木棍，摆2个正方形需要7根小木棍，摆3个正方形需要10根小木棍…每多一个正方形就多3根小木棍，则摆p 个正方形需要4+3(p-1)=3p+1根小木棍，由此求得答案即可；
(2)设连续摆放了六边形x 个， 正方形y 个，则连续摆放正方形共用小木棍(3y+1)根，六方形共用小木棍(5x+1)根，由题意列出方程组解决问题即可；
(3)由(1)可知每排用的小木棍数比这排小正方形个数的3倍多1根，由此可得s 、t 间的关
系，再根据s 、t 均为正整数进行讨论即可求得所有可能的取值.
【详解】
(1)摆1个正方形需要4根小木棍，4=4+3×(1-1)，
摆2个正方形需要7根小木棍，4=4+3×(2-1)，
摆3个正方形需要10根小木棍，10=4+3×(3-1)，
……，
摆p 个正方形需要m=4+3×(p-1)=3p+1根木棍，
故答案为：31p m +=；
(2)设六边形有x 个，正方形有y 个，
则51311104x y x y +++=⎧⎨+=⎩
， 解得1216x y =⎧⎨
=⎩， 所以正方形有16个，六边形有12个；
(3)据题意，350t s +=，
据题意，t s ≥，且,s t 均为整数，
因此,s t 可能的取值为：
216s t =⎧⎨=⎩，515s t =⎧⎨=⎩，814s t =⎧⎨=⎩或1113
s t =⎧⎨=⎩. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际运用，找出连续摆放正方形共用小木棍的根数，六方形共用小木棍的根数是解决问题的关键．
25．（1）A 种魔方的单价为20元/个，B 种魔方的单价为15元/个；（2）购进A 种魔方45个时，两种活动费用相同.
【解析】
【分析】
（1）设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个，根据“购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A 种魔方m 个（0＜m ≤50），则购进B 种魔方（100-m ）个，根据图片描述列出两种活动方案需花费的总价格，使得两种价格相等求得m ．
【详解】
解：(1)设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个，
根据题意，得
2613034x y x y +=⎧⎨=⎩
解此方程组，得
2015x y =⎧⎨=⎩
答：A 种魔方的单价为20元/个，B 种魔方的单价为15元/个.
(2)设购进A 种魔方m 个，则购进B 种魔方(100－m)个，
根据题意，得
0.8×20m ＋0.4×15(100－m)＝20m ＋15(100－m －m)，
解此方程，得m ＝45.
答：购进A 种魔方45个时，两种活动费用相同.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、解题的关键是找准等量关系，列出关于x 、y 的二元一次方程组.
26．（1）生产甲种产品15件，生产乙种产品20件才能恰好使两种原料全部用完，此时总产值是135万元；（2）安排生产甲种产品25件，使总产值是1375千元，A 种原料还剩下20吨，B 种原料正好用完，还剩下0吨．
【解析】
分析：（1）可设生产甲种产品x 件，生产乙种产品y 件，根据等量关系：①生产甲种产品需要的A 种原料的吨数+生产乙种产品需要的A 种原料的吨数=A 种原料120吨，②生产甲种产品需要的B 种原料的吨数+生产乙种产品需要的B 种原料的吨数=B 种原料50吨；依此列出方程求解即可；
（2）可设乙种产品生产z 件，则生产甲种产品（z +25）件，根据等量关系：甲种产品的产值+乙种产品的产值=总产值1375千元，列出方程求解即可．
详解：（1）设生产甲种产品x 件，生产乙种产品y 件，依题意有：
43120250x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1520x y =⎧⎨=⎩
：， 15×50+30×20=750+600=1350（千元），1350千元=135万元．
答：生产甲种产品15件，生产乙种产品20件才能恰好使两种原料全部用完，此时总产值是135万元；
（2）设乙种产品生产z 件，则生产甲种产品（z +25）件，依题意有：
（1+10%）×50（z +25）+（1﹣10%）×30z =1375，
解得：z =0，z +25=25，120﹣25×4=120﹣100 =20（吨），
50﹣25×2 =50﹣50 =0（吨）．
答：安排生产甲种产品25件，使总产值是1375千元，A 种原料还剩下20吨，B 种原料正好用完，还剩下0吨．
点睛：考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．。