高三数学第二学期数列多选题单元综合模拟测评检测试题

高三数学第二学期数列多选题单元综合模拟测评检测试题
一、数列多选题
1．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数()2k k ≥，使得对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，则
称{}n a 是“间隔递增数列”，k 是{}n a 的“间隔数”，下列说法正确的是（ ） A ．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列” B ．若()21n
n a n =+-，则{}n a 是“间隔递增数列”
C ．若(),2n r
a n r r n
*=+
∈≥N ，则{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D ．已知2
2021n a n tn =++，若{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则
54t -<≤-
【答案】BCD 【分析】
利用新定义，逐项验证是否存在正整数()2k k ≥，使得0n k n a a +->，即可判断正误. 【详解】
选项A 中，设等比数列{}n a 的公比是()1q q >，则
()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，其中1k q >，即()
110n k q q -->，若10a <，则0n k n a a +-<，即n k n a a +<，不符合定义，故A 错误；
选项B 中，()()
()()()21212111n k
n n k n k n a a n k n k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤++--+-=+---⎣
⎦-=⎣⎦⎣⎦
，
当n 是奇数时，()211k
n k n a a k +=---+，则存在1k
时，0n k n a a +->成立，即对任
意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义；当n 是偶数时，()211k
n k n a a k +-=+--，则存在2k ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义.综上，存在
2k ≥时，对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，故B 正确；
选项C 中，
()()1n k n r r kr r a a n k n k k n k n n k n n k n +⎡⎤-⎛
⎫⎛⎫++-+=+
=-⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎣-⎦
=⎥()2n kn r k n k n +-=⋅+，令2()f n n kn r =+-，开口向上，对称轴02
k -<，故2
()f n n kn r =+-在n *∈N 时单
调递增，令最小值(1)10f k r =+->，得1k r >-，
又k *∈N ，2k ≥，,2r r *
∈≥N ，故存在k r ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意
n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，“间隔数”的最小值为r ，故C 正确；
选项D 中，因为2
2021n a n tn =++，是“间隔递增数列”，则
()()()
2
222021202012n k n a a n k t n k kn k t n n k t +⎡⎤-=-=++>⎣++++⎦
++，即
20k n t ++>，对任意n *∈N 成立，设()2g n k n t =++，显然在n *∈N 上()g n 递增，
故要使()20g n k n t =++>，只需(1)20g k t =++>成立，即2t k --<. 又“间隔数”的最小值为3，故存在3k ≥，使2t k --<成立，且存在k 2≤，使
2t k --≥成立，故23t --<且22t --≥，故54t -<≤-，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】
本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数()2k k ≥，使
0n k n a a +->对于任意的n *∈N 恒成立，逐项突破难点即可.
2．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}
F n ，则(){}
F n 的通项公式为（ ）
A ．(1)1()2
n n F n -+=
B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==
C ．(
)1122n n
F n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．(
)n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦
【答案】BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】
解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，
，
()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；
由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以(
)(
)(
)()11F n n F n n ⎤+-
=--⎥⎣⎦
所以数列(
)()1F n n ⎧⎫⎪⎪
+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
是以12
为首项，12为公比的等比数列， 所以(
)(
)1n
F n n +-=⎝⎭
11515()n F F n n -
+=+， 令
1
n
n n F b
-=
⎝⎭
，则11n n b ++，
所以1
n n b b +=
-， 所以
n b ⎧⎪
⎨⎪⎪⎩
⎭
所以
1
n n b -
+，
所以()11
15n n n n
F n --⎤
⎤⎛⎫
+⎥⎥=+=- ⎪
⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
⎣⎦； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．
3．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ） A
．若
为等差数列，则
1
12d
a =
B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=
C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==
D ．若*
n b N ∈，则{}
n b a 也为等差数列，且公差为12d d +
【答案】AB 【分析】
对于A ，利用
=
对于B ，利用()
22113
32S T S T S T +=+++化简可得答案； 对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案； 对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案. 【详解】 对于A ，因为
为等差数列，所以=
即== 化简得()2
1120d a -=，所以112d a =，故A 正确；
对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++， 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++， 所以120d d +=，故B 正确；
对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+， 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++， 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；
对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*
n b N ∈，所以
11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，
所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，
所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =， 所以{}
n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】
关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.
4．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和()
*
1,0n n S pa r n N p +=+∈>．（ ）
A ．数列{}n a 的公比为p
B ．数列{}n a 为递增数列
C ．1r p =--
D ．当1
4p r
-
取最小值时，13-=n n a 【答案】BD 【分析】
先结合已知条件，利用1n n n a S S -=-找到,p q 的关系，由1
1
p q =
-判断选项A 错误，由11p
q p
+=
>判断B 正确，利用{}n a 通项公式和前n 项和公式代入已知式计算r p =-判断C 错误，将r p =-代入1
4p r
-，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D 正确. 【详解】
依题意，等比数列{}n a ，11a =，其前n 项和()
*
1,0n n S pa r n N p +=+∈>，设公比是
q ，
2n ≥时，11
n n n n S pa r
S pa r +-=+⎧⎨
=+⎩，作差得，1n n n pa a pa +-=，即()11n n p a pa +=+，故11n n a p a p ++=，即1p q p +=，即11
p q =-. 选项A 中，若公比为p ，则1
1p q q =
=-，即210q q --=
，即12
p q +==时，数列{}n a 的公比为p ，否则数列{}n a 的公比不为p ，故错误；
选项B 中，由0p >知，1111p q p p +==+>，故111
111n n n n a a q q p ---=⋅==⎛⎫+ ⎪⎝
⎭是递增
数列，故正确；
选项C 中，由1
n n S pa r +=+，11n n q S q
-=-，11p q =-，1n
n a q +=知， 11111
11n n n n q p q q a q
r S p q +--=-⋅=-=---=，故C 错误；
选项D 中， 因为r p =-，故(
)1111444p p p r p p -
=-=+≥=⋅-，当且仅当14p p =
，即12p =时等号成立，1
4p r
-取得最小值1，此时
13p q p +==，113n n n a q --==，故正确.
故选：BD. 【点睛】 方法点睛：
由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11
,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解；
2、当两个正数,a b
的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式
a b +≥，当且仅当a b =取等号.
5．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则使得前n 项和n S 取得最小值的正整数n 的值是（ ） A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
【答案】BC 【分析】
分析出数列{}n a 为单调递增数列，且70a =，由此可得出结论. 【详解】
在等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则数列{}n a 为递增数列，可得59a a <，
59a a ∴=-，可得5975202a a a a +==>，570a a ∴<=，
所以，数列{}n a 的前6项均为负数，且70a =， 因此，当6n =或7时，n S 最小. 故选：BC. 【点睛】
方法点睛：本题考查等差数列前n 项和最大值的方法如下：
（1）利用n S 是关于n 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果； （2）解不等式0n a ≥，解出满足此不等式的最大的n 即可找到使得n S 最小.
6．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（ ）
A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列
B ．满足100n S <的n 的最大值是9
C ．n S 除以4的余数只能为0或1
D ．2n n S na = 【答案】ABC 【分析】
根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得(
)*
21n a n n N =-∈，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：因为()111n n na n a +-+=，
故等式两边同除以()1n n +得：()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++， 所以()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()1211122121
1n n a a n n n n n n --=------=--，，
2111121122
a a =-⨯-= 故根据累加法得：
()11
121n a a n n
n =-≥-， 由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足， 故(
)*
21n a n n N
=-∈
所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确；
由等差数列前n 项和公式得：()
21212
n n n S n +-=
=，
故2
100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确； 对于C 选项，当*
21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能为1；当*
2,n k k N =∈时，224n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正
确；
对于D 选项，2
22n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.
故选：ABC 【点睛】
本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得
()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.
7．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ） A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列
B ．若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列
C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >
D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数
列 【答案】AB 【分析】
对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ， 求出
2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能
10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶
数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 【详解】
对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2
2n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以
142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正
确；
对于B ，若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，所以122(2)n
n S n -=-≥，所以
12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a =
则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；
对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所
以选项C 错误；
对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 故选：AB 【点睛】
方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
8．（多选）在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，
2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）
A ．1q =
B ．数列{}2n S +是等比数列
C ．8
510S =
D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列
【答案】BC 【分析】 计算可得2q
，故选项A 错误；
8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；
lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.
【详解】
∵1423
32,12,a a a a =⎧⎨+=⎩∴
231423
32,
12,a a a a a a ==⎧⎨
+=⎩ 解得234,8a a =⎧⎨
=⎩或23
8,4a a =⎧⎨=⎩， ∵{}n a 为递增数列， ∴234,
8
a a =⎧⎨
=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 错误； ∴2n
n a =，(
)1
2122
212
n
n n
S +⨯-==--，
∴9822510S =-=，1
22n n S ++=，
∴数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确； 又lg 2lg 2lg n
n n a ==⋅，
∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：BC.
【点睛】
方法点睛：证明数列的性质，常用的方法有：（1）定义法；（2）中项公式法.要根据已知灵活选择方法证明.
9．数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n ∈N 都有11n n a a a n +=++，则下列说法中正确的是（ ） A ．(1)
2
n n n a +=
B ．数列1n a ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
的前2020项的和为2020
2021 C ．数列1n a ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
的前2020项的和为4040
2021 D ．数列{}n a 的第50项为2550 【答案】AC 【分析】
用累加法求得通项公式，然后由裂项相消法求1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的和即可得．
【详解】
因为11n n a a a n +=++，11a =， 所以11n n a a n +-=+， 所以2n ≥时，
121321(1)
()()()1232
n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=+++
+=
， 11a =也适合此式，所以(1)
2
n n n a +=
， 501275a =，A 正确，D 错误， 12112()(1)1
n a n n n n ==-++， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前2020项和为2020111114040
21223202020212021
S ⎛⎫=-+-+
+
-=
⎪⎝⎭，B 错，C 正确． 故选：AC ． 【点睛】
本题考查用累加法数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；
（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1
{
}n n k
a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa q
b +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
10．已知数列{}n a ，下列结论正确的有（ ） A ．若12a ＝，11n n a a n +++＝，则20211a ＝.
B ．若11132n n a a a ++＝，＝，则71457a =
C ．若1
2
n
n S =3+
，则数列{}n a 是等比数列 D ．若11212n n n a a a a ++＝，＝()*n N ∈，则15215
a ＝ 【答案】AB 【分析】
直接利用叠加法可判断选项A ，从而判断，利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式，可判断，选项C 求出数列的前3项从而可判断. 【详解】
选项A. 由11n n a a n +=++，即11n n a a n +-=+ 则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-+
+-+
20191822211=+++
++=
故A 正确.
选项B. 由132n n a a +=+，得()1311n n a a +=++，
所以数列{}1n a +是以112a +=为首项，3为公比的等比数列.
则1123n n a -+=⨯，即1
231n n a -=⨯-，所以672311457a =⨯-=，故B 正确.
选项C. 由12n
n S =3+
，可得当1n =时，11722
a =+=3 当2n =时，得2211193622a S S ⎛
⎫⎛⎫=-=+
-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 当3n =时，得332112791822a S S ⎛
⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
显然2
213a a a ≠，所以数列{}n a 不是等比数列，故C 错误.
选项D. 由122n
n n a a a +=
+，可得
11112
n n a a +-=
所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，12为公差的等差数列. 所以()1111122n n n a +=+-=，则1511826a ==，即1518
a =，故D 错误. 故选：AB
【点睛】
关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得
()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+，利用构造新数列
()1311n n a a +=++，11112
n n a a +-=解决问题，属于中档题.。