高中数学 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.2 第2课时 线

第2课时 线性规划的实际应用
学习目标：理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
应用线性规划解决实际问题的类型
思考：一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业投资的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元．那么x 和y 应满足哪些不等关系？
[提示]分析题意，我们可得到以下式子
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤25 000 000，
12x ＋10y ≥3 000 000，x ≥0，y ≥0.
[基础自测]
1．思考辨析
(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．( ) (2)当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个．( ) [答案] (1)√ (2)√
2．已知目标函数z ＝2x ＋y ，且变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ≥－3，3x ＋5y <25，
x ≥1，
则( )
A ．z max ＝12，z min ＝3
B ．z max ＝12，无最小值
C ．z min ＝3，无最大值
D ．z 既无最大值又无最小值
D [画出可行域如图所示，z ＝2x ＋y 即y ＝－2x ＋z 在平移过程中的纵截距z 既无最大值也无最小值．
]
3．完成一项装修工程，请木工需付工资每人每天50元，请瓦工需付工资每人每天40元．现有工人工资预算每天2 000元，设请木工x 人，请瓦工y 人，则请工人的约束条件是________．
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ，y ∈N *
50x ＋40y ≤2 000
4．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分
别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元.
【导学号：91432334】
36 800 [设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，租金为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧
36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，
画出可行域(如图中阴影部分内的整点)，则目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 在点(5,12)处取得最小值z min ＝36 800元．]
[合 作 探 究·攻 重 难
]
线性规划的实际应用问题
[探究问题]
1．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的2
3倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．设投资甲、乙两个项目的资金分别为x 、y
万元，那么x 、y 应满足什么条件？
提示：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤60，
x ≥23y ，
x ≥5，y ≥5.
2．若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z 万元，那么z 与x ，y 有何关系？
提示：根据公司所获利润＝投资项目甲获得的利润＋投资项目乙获得的利润，可得z 与x ，y 的关系为z ＝0.4x ＋0.6y .
3．x ，y 应在什么条件下取值，x ，y 取值对利润z 有无影响？
提示：x ，y 必须在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤60，
x ≥23y ，
x ≥5，y ≥5
下取值．x ，y 取不同的值，直接影
响z 的取值．
某家具厂有方木料90 m 3
，五合板600 m 2
，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每
张书桌需要木料0.1 m 3
，五合板2 m 2
，生产每个书橱需要木料0.2 m 3
，五合板1 m 2
，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元. 怎样安排生产可使所获利润最大.
【导学号：91432335】
思路探究：可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解． [解] 设生产书桌x 张，生产书橱y 个，利润为z 元，则目标函数为z ＝80x ＋120y ，根据题意知，
约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
0.1x ＋0.2y ≤90，
2x ＋y ≤600，
x ≥0，y ≥0，
x ∈N ，y ∈N ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ≤900，
2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，
画出可行域如图所示，
作直线l ：80x ＋120y ＝0，并平移直线l ，由图可知，当直线l 过点C 时，z 取得最大值，解
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，得C (100,400)，所以z max ＝80×100＋120×400＝56 000，即生产100张书桌，
400个书橱，可获得最大利润．
母题探究：(变结论)例题中的条件不变，如果只安排生产书桌可获利润多少？如果只安排生
产书橱呢？
[解] (1)若只生产书桌，则y ＝0，此时目标函数z ＝80x ，由图可知z max ＝80×300＝24 000，即只生产书桌，可获利润24 000元．
(2)若只生产书橱，则x ＝0，此时目标函数z ＝120y ，由图可知z max ＝120×450＝54 000，即只生产书橱，可获利润54 000元．
线性规划中的最优整数解问题
某运输公司有7辆载重量为6吨的A 型卡车，4辆载重量为10吨的B 型卡车，有9名驾驶员．在建筑某段高速公路的工程中，此公司承包了每天运送360吨沥青的任务．已知每辆卡车每天往返次数为：A 型车8次，B 型车6次，每辆卡车往返一次的成本费为：A 型车160元，B 型
车280元．每天派出A 型车与B 型车各多少辆时，公司花的成本费最低？
思路探究：①本题的线性约束条件及目标函数分别是什么？②根据实际问题的需要，该题是否为整点问题？
[解] 设公司每天所花成本费为z 元，每天派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，则z ＝160x ＋280y,
x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤7，
y ≤4，
x ＋y ≤9，
48x ＋60y ≥360，
x ≥0，y ≥0，
x ∈N ，y ∈N ，
作出不等式组的可行域，如图．
作直线l ：160x ＋280y ＝0，即l ：4x ＋7y ＝0.
将l 向右上方移至l 1位置时，直线l 1经过可行域上的M 点，且此时直线与原点的距离最近，
z 取得最小值．
由方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
48x ＋60y ＝360
x ＝7，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝7
y ＝0.4.
但y ＝0.4不是整数，故取x ＝7，y ＝1，此时z 取得最小值． 所以，当每天派出A 型车7辆、B 型车1辆时，公司所花费用最低．
某厂有一批长为18 m 的条形钢板，可以割成1.8 m 和1.5 m 长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润.
【导学号：91432336】
[解] 设割成的1.8 m 和1.5 m 长的零件分别为x 个、y 个，利润为z 元，则z ＝20x ＋15y －(x ＋0.6y )
即z ＝19x ＋14.4y 且⎩⎪⎨⎪
⎧
1.8x ＋1.5y ≤18，x ＋0.6y ≤8，x ，y ∈N ，
作出不等式组表示的平面区域如图，又由⎩
⎪⎨
⎪⎧
1.8x ＋1.5y ＝18，
x ＋0.6y ＝8，
解出x ＝207，y ＝607，所以M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫207，607，
因为x ，y 为自然数，在可行域内找出与M 最近的点为(3,8)，此时z ＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)．
又可行域的另一顶点是(0,12)，z ＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)： 过顶点(8,0)的直线使z ＝19×8＋14.4×0＝152(元)．
M ⎝
⎛⎭
⎪⎫207，60
7附近的点(1,10)，(2,9)， 直线z ＝19x ＋14.4y 过点(1,10)时，z ＝163；过点(2,9)时z ＝167.6. 所以当x ＝0，y ＝12时，z ＝172.8元为最大值． 答：只截1.5 m 长的零件12个，可获得最大利润．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1，a 2千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为b 1，b 2千克，甲，乙产品每千克可获利润分别为d 1，d 2元，月初一次性购进原料A ，B 分别为c 1，c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大？在这个问题中，设全月生产甲，乙两种产品分别为x ，y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为________．
⎩⎪⎨⎪⎧
a 1x ＋
b 1y ≤
c 1，a 2
x ＋b 2
y ≤c 2
，x ≥0，y ≥0
[由题设和本题的限制条件可得，另外容易遗漏的限制条件是
x ≥0，y ≥0.]
2．一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元，现该农民手头有400元，那么获得最大收益为________元.
【导学号：91432337】
1 50 [设该农民种x 亩水稻，y 亩花生时能获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤2，
240x ＋80y ≤400，x ≥0，
y ≥0，
即
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，
z ＝960x ＋420y ，
作出可行域如图阴影部分所示，
将目标函数变形为y ＝－167x ＋z 420，作出直线y ＝－16
7x ，在可行域内平
移直线y ＝－16
7
x ，可知当直线过点B 时，z 有最大值，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，解得B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12，故当x ＝1.5，y ＝0.5时，z max ＝1 650
元，故该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1 650元．]
3．某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A ，B ，C ，D 四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙分别在各种设备上需要加工的台时数如下：
小时称为1台时)，该厂每生产一件甲产品可得到利润2元，每生产一件乙产品可得到利润3元 ，若要获得最大利润，则生产甲产品和乙产品的件数分别为________．
4,2 [设在计划期内生产甲产品x 件，乙产品y 件，则由题意得约束条件
为⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋2y ≤12，
x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤6，
x ＋2y ≤8，x ≤4，y ≤3，
x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，
作出可行域如图阴影部分所示，目标函数
为z ＝2x ＋3y ，由图可知当直线z ＝2x ＋3y 经过点A
时，z 有最大值，解⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝6，
x ＋2y ＝8，得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，y ＝2，即安排生产甲产品4件，乙产品2件时，利润最大．]
4．某工厂制造A 种仪器45台，B 种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m 2
，每张可作A 种仪器外壳3个和B 种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m 2
，每张可作A 种仪器外壳6个和B 种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)
【导学号：91432338】
[解] 设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 张，
依题意⎩⎪⎨⎪
⎧
x ，y ∈N *
，3x ＋6y ≥45，
5x ＋6y ≥55，
钢铁总面积z ＝2x ＋3y .作出可行域，如图所示．
由图可知当直线z ＝2x ＋3y 过点P 时，z 最小．由方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
3x ＋6y ＝45，5x ＋6y ＝55，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5，
y ＝5.
所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．。