高中数学第1章导数及其应用1.5.3定积分的概念a22a高二22数学

a
等于曲边梯形面积 S 的相反数，即bf(x)dx＝－S. a
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即bf(x)dx 不一定表示面积，也可能是面积的相反数，定积 a
分可以是面积，也可以是体积，可以是功，可以是路程，还可
以是压力，总之定积分还可以表示更多的实际意义．
特别地，若 f(x)在[－a，a]上连续，则(1)若 f(x)为偶函数，
A．0
B．8
C．22f(x)dx
D.2f(x)dx
解析：0∵f(x)＝x3＋x 是奇函数，0∴2 f(x)dx＝0，故选 A.
-2
答案：A
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3．计算2( 4－x2－2x)dx＝( ) 0
A．2π－4
B．π－4
C．ln 2－4
D．ln 2－2
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由三条直线 x＝1，x＝3，y＝2x＋5 和一 条曲线 y＝x2 所围成的图形的面积可表示为( )
A.3(x2＋2x＋5)dx 1
B.3(2x＋5－x2)dx 1
C.3(x2－2x＋5)dx 1
D．不能确定
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解析：由定积的几何意义得，
第一章 导数 及其应用 (dǎo shù)
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1.5 定积分(jīfēn)的概念 1.5.3 定积分的概念
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自主(zìzhǔ)学习导航
梳理知识 夯实(hānɡ shí)基础
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目标导学
4．(2019·石嘴山三中高二期中)与定积分 相等的是( )
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解析：当 x∈(0，π]时，sin x≥0； 当 x∈π，32π时，sin x<0. ∴由定积分的性质可得
答案：C
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5．若 f(x)＝x2，－xx∈，[x0∈，[11，，2]，
S＝3(2x＋5)dx－3x2dx＝3(2x＋5－x2)dx.
1
1
1
答案：B
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课堂(kètáng)基础达标
即学即练 稳操胜券(wén cāo shèng quàn)
第二十九页，共三十九页。
1．图中阴影部分的面积用定积分表示为( )
A.12xdx 0
B．1(2x－1)dx C.1(2x＋1)dx D.1(1－2x)dx
0
0
0
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解析：根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为
12xdx－11dx＝1(2x－1)dx.故选 B.
0
0
0
答案：B
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2．设 f(x)＝x3＋x，则2 f(x)dx 的值等于( ) -2
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解析：根据定积分的几何意义，可知2 4－x2dx 表示以(0,0) 0
为圆心，2 为半径的圆位于第一象限的面积 S＝14·π·22＝π，
∴2( 4－x2－2x)dx＝2 4－x2dx－22xdx＝
0
0
0
π－12×4×2＝π－4，故选 B. 答案：B
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(1)
1
x3dx；
-1
(2)
2
4－x2dx；
-2
(3) 2(1＋x)dx. 1
【思路探索】 利用定积分的几何意义求解．
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【解】 (1)∵y＝x3 在[－1,1]上为奇函数，图象关于坐标原
点对称，由在 x 轴上方和下方面积相等的两部分组成，即1 x3dx -1
＝0.
(2)∵y＝ 4－x2表示的曲线是圆心在原点，半径为 2 的半圆，
由定积分的几何意义知2
4－x2dx＝π·222＝2π.
-2
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(3)由定积分的几何意义可知，2(x＋1)dx 表示由 y＝x＋1，x 1
＝1，x＝2，y＝0 所围成的图形的面积，其面积 S＝2＋23×1＝ 52，∴2(x＋1)dx＝52.
1．了解定积分的概念，理解定积分的几何意义． 2．掌握定积分的基本性质．
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‖知识梳理‖
1．一般地，如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝ x0＜x1＜x2＜…＜xi＜…＜xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间， 在 _∑ i＝n_1f_每(_ξi_)个Δ_x_小＝__区∑ i＝n_1_间b_－_n[_xai_f－(_ξ1_i，)_，xi当]上n任→取∞一时点，上ξ述i(i和＝式1,2无，限…接，近n某)，个作常和数式， 这 个 常 数 叫 做 函 数 f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 定 积 分 ， 记 作 _baf_(x_)_dx_＝__li_nm→_∞_∑ i＝n_1_b_－n__af_(ξ_i)__，这里 a 与 b 分别叫做_积__分__下__限________ 与 __积__分__上__限_ ， 区 间 [a ， b] 叫 做 _积__分__区__间___ ， 函 数 f(x) 叫 做 _被__积__函__数____，x 叫做__积__分__变__量___，f(x)dx 叫做_被__积__式____．
a
a
a
b[f(x)－g(x)]dx＝bf(x)dx－bg(x)dx＝1，
a
a
a
两式相加，得bf(x)dx＝2， a
两式相减，得bg(x)dx＝1. a
(2)b[3－2f(x)]dx＝b3dx－2bf(x)dx
a
a
a
＝3(b－a)－2×1＝3b－3a－2.
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No Image
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3．定积分有如下性质
bkf(x)dx＝__k__abf_(_x)_d_x_______ (k 为常数)；
a
bf1(x)dx
b[f1(x)±f2(x)]dx＝__a_______
±
bf2(x)dx _a__________；
a
c
f(x)dx＋bf(x)dx
bf(x)dx＝_a________c______ (其中 a＜c＜b)．
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2．如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有_f_(_x_)≥__0_____，
那
么
定
积
分
b
f(x)dx
表 示 由 _直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_(_a_≠__b_)_，__y＝__0__ 和
a
_曲__线__y_＝__f_(_x)____________所围成的曲边梯形的面积．
a
f(x)dx＝2af(x)dx；(2)若
f(x)为奇函数，a
f(x)dx＝0.
-a
0
-a
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课堂互动(hù 探究 dònɡ)
归纳(guīnà)透析 触类旁通
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题型一 用定积分的定义求定积分 利用定积分的定义计算3(x＋2)dx.
a
a
a
息息相关，不同的积分区间，所得的值可能也不同，bf(x)dx 只 a
是极限的一种记号．
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(1)当函数 f(x)≥0 时，定积分bf(x)dx 在几何上表示由直线 x a
＝a，x＝b(a＜b)，y＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积． (2)当函数 f(x)≤0 时，曲边梯形位于 x 轴的下方，此时bf(x)dx
n
A.lni→m∞∑i＝1f(ξi)
B.lni→m∞∑i＝n1f(ξi)·b－n a
n
C.lni→m∞∑i＝1f(ξi)ξi
n
D.lni→m∞∑i＝1f(ξi)(ξi－ξi－1)
解析：由定积分的概念可知答案为 B.
答案：B
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题型二 定积分几何意义的应用
利用定积分的几何意义求下列各式的值．
[名 师 点 拨] 利用定义求定积分的关键，仍然是“分割、近似代替、求 和、取极限”这一过程，其中“近似代替、求和”作为一个步 骤处理条理性更强.
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设 f(x)在[a，b]上连续，将区间[a，b]n 等
分，在每个小区间上任取 ξi，则bf(x)dx 等于( ) a
1
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[名 师 点 拨] 求bf(x)dx 的值的关键是确定由曲线 y＝f(x)，直线 x＝a，x
a
＝b，及 x 轴所围成的平面图形的面积.
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数，则6 f(x)dx f(x)为偶函 0
[名 师 点 拨]
定积分的性质为我们求定积分提供了方便，可以把复杂的被
积函数拆成几个简单的函数，或把积分区间分割成易求积分的几
段，且积分的性质还可推广：
①b[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fm(x)]dx＝ a
bf1(x)dx±bf2(x)dx±…±bfm(x)dx；
a
a
a
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a
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重点难点突破(tūpò)
解剖难点(nádiǎn) 探究提高
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定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与
积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即bf(x)dx a
＝bf(u)du＝bf(t)dt＝….另外，定积分bf(x)dx 与积分区间[a，b]
求2f(x)dx. 0
解：2f(x)dx＝1f(x)dx＋2f(x)dx
0
0
1
＝1xdx＋2(2－x)dx
0
1
＝12＋12＝1.
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内容(nèiróng)总结
第一章 导数及其应用(yìngyòng)。解剖难点 探究提高。课堂基础达标
2
【思路探索】 根据定积分的定义求解．
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【解】 令 f(x)＝x＋2，将区间[2,3]平均分成 n 等份， Δxi＝1n[xi－1，xi]＝2＋i－n 1，2＋ni ，(i＝1,2,3，…，n)． 取 ξi＝xi＝2＋ni (i＝1,2,3，…，n)， 则 f(ξi)＝2＋ni ＋2＝4＋ni .
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n
n
∑ i＝1f(ξi)Δxi＝∑ i＝1
4＋ni ·1n
n
＝∑ i＝1
4n＋ni2＝n·4n＋1＋2＋3n＋2 …＋n＝4＋n＋ 2n1.
3(x＋2)dx＝lim
2
n→∞
4＋n＋ 2n1＝92，
故3(x＋2)dx＝92. 2
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)
B．16 D.8
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解析：∵f(x)为偶函数，
∴0
f(x)dx＝6f(x)dx＝8，
-6
0
∴6
f(x)dx＝0
f(x)dx＋6f(x)dx＝8＋8＝16，故选
B.
-6
-6
0
答案：B
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题型三 定积分的性质及其应用
(1)若b[f(x)＋g(x)]dx＝3，b[f(x)－g(x)]dx＝1，求
a
a
bf(x)dx 及bg(x)dx；
a
a
(2)若bf(x)dx＝1，求b[3－2f(x)]dx.
a
a
【思路探索】 利用定积分的性质解题．
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【解】 (1)∵b[f(x)＋g(x)]dx＝bf(x)dx＋bg(x)dx＝3，