【鲁教版】八年级数学下期末一模试卷(带答案)(1)

一、选择题
1．某校以“我和我的祖国”为主题的演讲比赛中，共有10位评委分别给出某选手的原始评分，在评定该选手成绩时，则从10个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到8个有效评分. 8个有效评分与10个原始评分相比，不变的是 （ ）
A ．平均数
B ．极差
C ．中位数
D ．方差
2．2017年世界未来委员会与联合国防治荒漠化公约授予我国“未来政策奖”，以表彰我国在防治土地荒漠化方面的突出成就．如图是我国荒漠化土地面积统计图，则荒漠化土地面积是五次统计数据的中位数的年份是( )
A ．1999年
B ．2004年
C ．2009年
D ．2014年 3．一组数据，6、4、a 、3、2的平均数是5，这组数据的方差为（ ）
A ．8
B ．5
C ．6
D ．3 4．实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，值周班长小兵每周对各小组合作学习的情况进行综合评分，下表是其中一周的评分结果
“分值”这组数据的中位数和众数分别是( )
A ．89,90
B ．90,90
C ．88,95
D ．90,95 5．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点，已知直线
()1:20l y mx m =+<与直线2:4l y x =-，若两直线与y 轴围成的三角形区域内(不含三角形的边)有且只有三个整点，则m 的取值范围是（ ）
A ．21m -<<-
B ．21m -≤<-
C ．322m -≤<-
D ．322
m -<≤- 6．如图，点A 的坐标为(0，1)，点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等腰直角ABC ，使∠BAC=90°，如果点B 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y ，那么表示y 与x 的函数关系的图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．某水电站蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量1y 与时间x 的关系为1y x =，出水口出水量2y 与时间x 的关系为22y x =，已知某天0点到6点，进行机组试运行，试机时至少打开1个水口，且水池的蓄水量V 与时间的关系．如图所示：给出以下判断：①0到3点只进水不出水；②3点到4点，不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水．则上述判断中一定正确的是（ ）
A ．①
B ．②
C ．②③
D ．①③ 8．甲、乙两辆汽车分别从A 、B 两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2h 后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲、乙两车与B 地的距离分别为()y km 甲、()y km 乙，甲车行驶的时间为(h)x ，y 甲、y 乙与x 之间的函数图象如图所示，结合图象下列说法不正确的是( )
A ．甲车的速度是80/km h
B ．乙车休息前的速度为100/km h
C ．甲走到200km 时用时2.5h
D ．乙车休息了1小时 9．如图，
E 是直线CD 上的一点，且12
CE CD =．已知ABCD 的面积为252cm ，则ACE △的面积为（ ）
A ．52
B ．26
C ．13
D ．39
10．在平面直角坐标系中，长方形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点，若E 为x 轴上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标（ ）
A ．（一3，0）
B ．（3，0）
C ．（0，0）
D ．（1，0） 11．下列各式中，正确的是（ ） A ．2(3)9=
B 2(3)3-=-
C 93-=-
D 93=
12．如图，90C D ∠=∠=︒，CAB DBA ∠=∠，若3AC =，4=AD ，则AB 是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 二、填空题
13．已知一组数据：3，3，x ，5，5的平均数是4，则这组数据的方差是___________. 14．若一组数据4，a ，7，8，3的平均是5，则这组数据的方差是_______． 15．已知y 是x 的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m 的值是________． x -1
0 m y
1 -
2 -5
16．若函数y ＝kx+b(k≠0)的图像平行于直线y ＝3x+2，且与直线y ＝－x －1交x 轴于同一点，则其函数表达式是_____．
17．一个三角形的三边长分别为 6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为_____． 18．如图，点E 是长方形纸片DC 上的中点，将C ∠过E 点折起一个角，折痕为EF ，再将D ∠过点E 折起，折痕为GE ，且C ，D 均落在GF 上的一点H 处．若1649'∠=︒，则CEF ∠=_______．
19．若1122a -=，则1114a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
-+的值为_________． 20．如图，已知ABC ，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，AC 的垂直平分线交AC 于F ，交BC 于G ，若3BE =，4EG =，12BC =，则ABC 的面积为______．
三、解答题
21．在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元；
（2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有600学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．
22．每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x 表示，共分成四组：A ．80≤x ＜85，B ．85≤x ＜90，C ．90≤x ＜95，D ．95≤x≤100），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82；八年级10名学生的竞赛成绩在C 组中的数据是：94，90，94.
23．我市全民健身中心面向学生推出假期游泳优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生卡，每次游泳费用按六折优惠；
方案二：不购买学生卡，每次游泳费用按八折优惠．
设某学生假期游泳x （次），按照方案一所需费用为1y （元），且11y k x b =+；按照方案二所需费用为2y （元），且22y k x =．其函数图象如图所示．
（1）求y 1关于x 的函数关系式，并直接写出单独购买一张学生卡的费用和购买学生卡后每次游泳的费用；
（2）求打折前的每次游泳费用和k 2的值；
（3）八年级学生小明计划假期前往全民健身中心游泳8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
24．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 为边AB 的中点，连结DE ，点F 在DE 上CF CD =，过点F 作FG FC ⊥交AD 于点G ．
（1）求证：GF GD =；
（2）联结AF ，求证：AF DE ⊥．
25．计算：
（1）7(1227)33
3-⨯+； （2）01|12|(3)6(31)(31)2
π-+---+-． 26．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，动点 P 在斜边 AB 所在的直线上，以 PC 为直角边作等腰直角△PCQ ，其中∠PCQ ＝90°，探究并解决下列问题：
（1）如图 1，若点 P 为线段 AB 上一动点时，
①求证：△ACP ≌△BCQ ；
②试求线段 PA ，PB ，PQ 三者之间的数量关系；
（2）如图 2，若点 P 在 AB 的延长线上，求证：BQ ⊥AP ；
（3）若动点 P 满足13PA PB =,请直接写出PC AC
的值．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．
【详解】
根据题意，从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分， 8个有效评分与10个原始评分相比，最中间的两个数不变，即中位数不变，
【点睛】
本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定义以及计算方法.
2．C
解析：C
【分析】
把数据的年份从小到大排列，根据中位数的定义即可得答案，
【详解】
把数据的年份从小到大排列为：2014年、1994年、2009年、2004年、1999年，
∵中间的年份是2009年，
∴五次统计数据的中位数的年份是2009年，
故选：C．
【点睛】
本题考查中位数，把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字(或两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．
3．A
解析：A
【分析】
先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算即可．
【详解】
∵数据6、4、a、3、2平均数为5，
∴（6+4+2+3+a）÷5=5，
解得：a=10，
∴这组数据的方差是1
5
[（6-5）2+（4-5）2+（10-5）2+（2-5）2+（3-5）2]=8．
故选：A．
【点睛】
此题考查平均数，方差，解题关键在于掌握它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据中位数和众数的定义找出从小到大排列后最中间的数和出现次数最多的数即可．【详解】
把这组数据从小到大排列：84，89，90，90，90，91，96，
最中间的数是90，则中位数是90；
90出现了3次，出现的次数最多，则众数是90；
【点睛】
此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
5．D
解析：D
【分析】
由1l 过（1，0）时区域内由两个整点求出m=-2，由1l 过（2，-1）时区域内有三个整点求出32m =-，综合求出区域内有三个整点可求出322m -<≤-． 【详解】
当()1:20l y mx m =+<过（1，0）时区域内由两个整点，
此时m+2=0，m=-2，
当()1:20l y mx m =+<过（2，-1）时区域内有三个整点，
此时122m -=+，32
m =-， 两直线与y 轴围成的三角形区域内(不含三角形的边)有且只有三个整点，
322
m -<≤-． 故选择：D ．
【点睛】
本题考查数形结合思想求区域整点问题，掌握利用区域三角形边界整点来解决问题是关键．
6．A
解析：A
【分析】
先作出合适的辅助线，再证明△ADC 和△AOB 的关系，即可建立y 与x 的函数关系，从而确定函数图像．
【详解】
解：由题意可得：OB=x ，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC ，点C 的纵坐标是y ， 作AD ∥x 轴，作CD ⊥AD 于点D ，如图所示：
∴∠DAO+∠AOD=180°，
∴∠DAO=90°，
∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠OAB=∠DAC ，
在△OAB 和△DAC 中，
AOB ADC OAB DAC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△OAB ≌△DAC （AAS ），
∴OB=CD ，
∴CD=x ，
∵点C 到x 轴的距离为y ，点D 到x 轴的距离等于点A 到x 的距离1，
∴y=x+1（x ＞0）．
故选A ．
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，明确题意、建立相应的函数关系式是解答本题的关键． 7．A
解析：A
【分析】
根据题意可以得出进水速度和出水速度，再根据图象中的折线走势，判断进水、出水状态解答即可．
【详解】
解：根据题意，每个进水口速度是每小时1万立方米，出水速度是每小时2万立方米， 由图象可知，
①在0到3点，蓄水量每小时增加2万立方米，即0到3点只进水不出水，正确； ②在3点到4点，蓄水量每小时减少1万立方米，即打开一个进水口和一个出水口，错误；
③在4点到6点，需水量没发生变化，即打开两个进水口和一个出水口，错误， 故选：A ．
【点睛】
本题考查一次函数的图象与性质，能根据函数图象获取有效数据和所需条件是解答的关键．
8．D
解析：D
【分析】
根据题意和函数图象可以判断题目中的各个选项是否正确，从而可以解答本题；
【详解】
解：由图象可得，
甲车的速度为：400580/km h ÷=，故A 正确；
乙车休息前行驶的速度为：2002100/km h ÷=，故B 正确；
甲车与乙车相遇时，甲车行驶的时间为：(400200)80 2.5h -÷=，故C 正确；
乙车休息的时间为2.520.5h -=，故D 错误．
故选：D ．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答；
9．C
解析：C
【分析】
设平行四边形AB 边上的高为h ，分别表示出△ACE 的面积和平行四边形ABCD 的面积，从而求出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，12CE CD =
， 设平行四边形AB 边上的高为h ，
∴△ACE 的面积为：12
CE h ⋅，平行四边形ABCD 的面积为2CE h ⋅， ∴△ACE 的面积为平行四边形ABCD 的面积的
14， 又∵□ABCD 的面积为52cm 2，
∴△ACE 的面积为13cm 2．
故选C ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是根据图形的形状得出△ACE 的面积为平行四边形ABCD 的面积的14． 10．D
解析：D
【分析】
由于C 、D 是定点，则CD 是定值，如果△CDE 的周长最小，即DE ＋CE 有最小值．为此，作点D 关于x 轴的对称点D′，当点E 在线段CD′上时，△CDE 的周长最小．
【详解】
如图，作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′与x 轴交于点E ，连接DE ．
若在边OA 上任取点E′与点E 不重合，连接CE′、DE′、D′E′
由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′＞CD′＝D′E ＋CE ＝DE ＋CE ，
∴△CDE 的周长最小．
∵OB ＝4，D 为边OB 的中点，
∴OD ＝2，
∴D （0，2），
∵在长方形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点，
∴BC ＝3，D′O ＝DO ＝2，D′B ＝6，
∵OE ∥BC ，
∴Rt △D′OE ∽Rt △D′BC ，
∴OE D O BC D B
=''， 即：
6
23OE =，即：OE ＝1， ∴点E 的坐标为（1，0）
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查轴对称−−最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是：两点之间线段最短．
11．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的性质逐项判断即可．
【详解】
解：A
、2(3=，故本选项错误；
B
3=，故本选项错误；
C
D
3=，故本选项正确．
故选：D ．
【点睛】
a =
，2(0)a a =≥．
12．C
解析：C
【分析】
利用AAS 可证明△DAB ≌△CBA ，根据全等三角形的性质可得AC=BD ，利用勾股定理即可得答案．
【详解】
在DAB ∆和CBA ∆中90D C DBA CAB AB BA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DAB ≌△CBA ，
∴AC BD =，
∵3AC =，4=AD ，
∴3BD =，
∴5AB =
==． 故选：C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质及勾股定理，全等三角形常用的判定方法有SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL 等，注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，利用SAS 判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 二、填空题
13．【分析】先由平均数的定义求得x 的值再根据方差的公式计算方差【详解】根据题意得：3+3+x+5+5=4×5解得：x=4则这组数据的方差为×2（3-4）2+（4-4）2+2（5-4）2=08故答案是：0
解析：0.8
【分析】
先由平均数的定义求得x 的值，再根据方差的公式计算方差．
【详解】
根据题意得：
3+3+x+5+5=4×5，
解得：x=4， 则这组数据的方差为
15
×[2（3-4）2+（4-4）2+2（5-4）2]=0.8， 故答案是：0.8.
【点睛】 考查了求一组数的方差，解题关键是熟记方差计算公式：
()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦. 14．【分析】根据平均数求出a 再根据方差的公式计算得到答案【详解】∵数据4783的平均是5∴∴这组数据的方差是=故答案为：【点睛】此题考查根据平均数求某一数据方差的计算公式熟记方差的计算公式是解题的关键 解析：225
【分析】
根据平均数求出a ，再根据方差的公式计算得到答案.
【详解】
∵数据4，a ，7，8，3的平均是5，
∴5547833a =⨯----=，
∴这组数据的方差是
22221(45)2(35)(75)(85)5⎡⎤-+⨯-+-+-⎣⎦=225， 故答案为：
225. 【点睛】
此题考查根据平均数求某一数据，方差的计算公式，熟记方差的计算公式是解题的关键. 15．1【分析】根据给定点的坐标利用待定系数法可求出一次函数解析式再代入(m-5)求出m 的值即可【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b （k≠0）将（-11）（0-2）代入y=kx+b 得：解得：∴一次
解析：1
【分析】
根据给定点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再代入(m ，-5)求出m 的值即可．
【详解】
解：设一次函数的解析式为y=kx+b （k≠0），
将（-1，1），（0，-2）代入y=kx+b ，得：
12k b b -+⎧⎨-⎩
＝＝， 解得：32k b -⎧⎨-⎩
＝＝， ∴一次函数的解析式为y=-3x-2．
当x=m 时，y=-3×m-2=-5，
∴m=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据给定点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
16．y=3x+3【分析】根据平行直线的解析式求出k 值再把点的坐标代入解析式求出b 值即可【详解】y=-x-1当y=0时x=-1∴线y ＝－x －1交x 轴于点（-10）∵y=kx+b 的图象平行于直线y=3x+2
解析：y=3x+3
【分析】
根据平行直线的解析式求出k 值，再把点的坐标代入解析式求出b 值即可．
【详解】
y=-x-1，当y=0时，x=-1，
∴线y ＝－x －1交x 轴于点（-1，0），
∵y=kx+b 的图象平行于直线y=3x+2，
∴k=3，
又∵函数y ＝kx+b(k≠0)的与直线y ＝－x －1交x 轴于同一点，
∴函数y ＝kx+b(k≠0)经过点（-1，0），
∴-3+b=0，
∴b=3，
∴函数的表达式是y=3x+3，
故答案为：y=3x+3．
【点睛】
本题考查了求一次函数解析式，涉及了两直线平行的问题，熟知两直线平行时，k 值相等是解题的关键．
17．5【分析】根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【详解】解：∵62+82＝100＝102∴
该三角形是直角三角形∴×10＝5故答案为：5【点睛】
解析：5
【分析】
根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】
解：∵62+82＝100＝102，
∴该三角形是直角三角形， ∴12
×10＝5． 故答案为：5
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，判断出直角三角形是解题的关键．
18．【分析】根据翻折的性质可得∠GEH=∠1∠HEF=∠CEF 从而可求出∠DEH ∠CEF 的度数【详解】解：
∵∠GEH=∠1∴∠GEH=∴∠DEH=+=∴∠HEF=∠CEF=×(180°-)=故答案为：【 解析：2551'︒
【分析】
根据翻折的性质可得∠GEH=∠1，∠HEF=∠CEF ，从而可求出∠DEH ，∠CEF 的度数．
【详解】
解：∵1649'∠=︒，∠GEH=∠1，
∴∠GEH=649'︒，
∴∠DEH =649'︒+649'︒=12818'︒，
∴∠HEF=∠CEF=12
×(180°-12818'︒)=2551'︒， 故答案为：2551'︒．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，熟练掌握折叠的性质找出相等的角是解题的关键． 19．【分析】先将变形为再把代入求值即可【详解】解：的值为故答案为：
【点睛】此题考查了完全平方公式熟练掌握完全平方公式及其变形是解答此题的关键
解析：2
【分析】
先将1114a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+变形为2
112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再把112a -= 【详解】
解：1122a -=， 1114a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴-+ 2114
a a =-+ 2112a ⎛=⎫ ⎪⎝⎭
- ()2
2= 2=，
1114a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴-+的值为2． 故答案为：2．
【点睛】
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解答此题的关键． 20．18【分析】连接AEAG 根据中垂线的性质求出AEAG 的长结合勾股定理的逆定理推出进而即可求解【详解】连接AEAG ∵DE 垂直平分AB ∴∵FG 垂直平分AC ∴∵∴在中∴为直角三角形∴∴故答案是：18【点睛
解析：18
【分析】
连接AE 、AG ，根据中垂线的性质，求出AE ，AG 的长，结合勾股定理的逆定理，推出AE BC ⊥，进而即可求解．
【详解】
连接AE 、AG
∵DE 垂直平分AB ，
∴3AE BE ==，
∵FG 垂直平分AC ，
∴AG CG =，
∵3BE =，4EG =，12BC =，
∴5CG AG ==，
在AEG ∠中，29AE =，216EG =，225AG =，
∴AEG △为直角三角形，
∴AE BC ⊥，
∴111231822
ABC S BC AE =
⋅=⨯⨯=△． 故答案是：18
【点睛】 本题主要考查垂直平分线的性质定理以及勾股定理的逆定理，掌握中垂线的性质定理，添加合适的辅助线，是解题的关键．
三、解答题
21．（1）30，10；（2）平均数为12元；（3）学生的捐款总数为7200元.
【分析】
（1）由题意得出本次调查的样本容量是6118530+++=，由众数的定义即可得出结果；
（2）由加权平均数公式即可得出结果；
（3）由总人数乘以平均数即可得出答案．
【详解】
（1）本次调查的样本容量是6118530+++=，这组数据的众数为10元；
故答案为30，10；
（2）这组数据的平均数为6511108155201230
⨯+⨯+⨯+⨯=（元）； （3）估计该校学生的捐款总数为600127200⨯=（元）．
【点睛】
此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．
22．（1）40，94，99；（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的中位数和众数均高于七年级；（3）参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是468人
【分析】
（1）根据中位数和众数的定义可求出b 和c 的值，根据扇形统计图可求出a 的值；
（2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【详解】
解：（1）a ＝（1﹣20%﹣10%﹣310
）×100＝40， ∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
∴b ＝94942
+＝94； ∵在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多，
∴c ＝99；
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的中位数和众数均高于七年级．
（3）参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数＝720×
1320
＝468人， 答：参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是468人．
【点睛】 本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力，以及用样本估计总体；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23．（1）1530y x =+，单独购买一张学生卡的费用为30元，购买学生卡后每次游泳的费用为15元；（2）打折前的每次健身费用为25元，k 2＝20；（3）选择方案一所需费用更少，理由见解析
【分析】
（1）把点（0，30），（10，180）代入11y k x b =+，得到关于1k 和b 的二元一次方程组，求解即可，再利用1k 的含义可得答案；
（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出2k 的值；
（3）将x=8分别代入12,y y 关于x 的函数解析式，比较即可．
【详解】
解：（1）∵11y k x b =+过点（0，30），（10，180），
∴1
3010180b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：11530
k b =⎧⎨=⎩， 11530,y x ∴=+
由115k =可得：购买一张学生卡后每次健身费用为15元，
b ＝30可得：购买一张学生卡的费用为30元；
（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），
则2250.820k =⨯=；
220y x ∴=．
（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：
由题意可知，11530y x =+，220y x =．
当健身8次时，
选择方案一所需费用：115830150y =⨯+=（元），
选择方案二所需费用：2208160y =⨯=（元），
∵150＜160，
∴选择方案一所需费用更少．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出12,y y 关于x 的函数解析式．
24．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由CF CD =可证得CFD CDF ∠=∠，因为90ADC GFC ∠∠==，所以GFD GDF ∠=∠，再由等腰三角形的判定即可得证；
（2）因为,CF CD GF GD ==，所以GC 是FD 的垂直平分线，再证DAE CDG △≌△由全等三角形对应边相等可得AE DG =，这样AG GD GF ==即可解决问题；
【详解】
证明：（1）四边形ABCD 是正方形，
90ADC ∴∠=，
FG FC ⊥，
90GFC ∠∴=，
CF CD =
CFD CDE ∴∠=∠，
GFC CFD ADC CDE ∠∠∠∠∴-=-，即GFD GDF ∠=∠，
GF GD ∴=．
（2）如图，连结CG ．
,CF CD GF GD ==
∴点G 、C 在线段FD 的中垂线上，
GC DE ∴⊥，
90CDF DCG ∠∠∴+=，
90CDF ADE ∠∠+=，
DCG ADE ∠∠∴=．
四边形ABCD 是正方形，
,90AD DC DAE CDG ∠∠∴===，
DAE CDG ∴△≌△，
AE DG ∴=，
点E 是边AB 的中点，
∴点G 是边AD 的中点，
AG GD GF ∴==，
,DAF AFG GDF GFD ∠∠∠∠∴==
180DAF AFG GFD GDF ∠∠∠∠+++=，
22180AFG GFD ∠∠∴+=
90AFD ∠∴=，即AF DE ⊥．
【点睛】
本题是正方形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，侧重考查了学生的逻辑推理能力和对知识的应用能力．
25．（1）62）2-
【分析】
(1)首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
(2)应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可．
【详解】
（1）原式33
=⨯
23=⨯-
6=；
（2）原式116(31)2
=+-⨯--
2=
2=-．
【点睛】
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，,最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，另外有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
26．（1）①见解析；②PA 2+PB 2=PQ 2；（2）见解析；（3 【分析】
（1）①在Rt △ABC 和Rt △PCQ 中，可证得∠ACP =∠BCQ ，从而证明全等；
②把PA 2和PB 2都用PC 和CD 表示出来，结合Rt △PCD 中，可找到PC 和PD 和CD 的关系，从而可找到PA 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系；
（2）连接BQ ，由（1）中①的方法，可证得结论；
（3）分点P在线段AB上和线段BA的延长线上，分别利用PA
PB
=
1
3
，可找到PA和CD的关
系，从而可找到PD和CD的关系，在Rt△CPD和Rt△ACD中，利用勾股定理可分别找到
PC、AC和CD的关系，从而可求得PC
AC
的值．
【详解】
解：（1）①∵△ABC和△PCQ是等腰直角三角形，∠ACB=∠PCQ=90°，∴AC=BC，CP=CQ，∠A=∠ABC=45°，
∠ACB-∠PCB=∠PCQ-∠PCB，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ；
②连接BQ，
∵△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，∠CBE=∠A=45°，
∴∠PBQ=90°，
∴PB2+BQ2=PQ2，
即PA2+PB2=PQ2；
（2）证明：连接BQ，
∵△ABC和△PCQ是等腰直角三角形，∠ACB=∠PCQ=90°，
∴AC=BC，CP=CQ，∠A=∠ABC=45°，
∵∠ACP=∠ACB+∠BCP，
∠BCQ=∠PCQ+∠BCP，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ，
∴∠CBQ=∠A=45°，
∵∠ABQ=∠ABC+∠CBQ=90°，∴BQ⊥AP；
（3）过点C作CD⊥AB于点D，
∵PA
PB =
1
3
，
∴点P只能在线段AB上或在线段BA
的延长线上，
①如图3，当点P在线段AB上时，
∵PA
PB =
1
3
，
∴PA=1
4AB=
1
2
CD=PD，
在Rt△CPD中，由勾股定理可得CP=22
CD DP
+=
2
2
1
2
CD CD
⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
=5CD，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC= 22
AD CD
+=2
2CD=2CD，
∴PC
AC =
5
2
2
CD
CD
=
10
4
；
②如图4，当点P在线段BA的延长上时，
∵PA
PB =
1
3
，
∴PA=1
2
AB=CD，
在Rt △CPD 中，由勾股定理可得CP ，
在Rt △ACD 中，由勾股定理可得AC CD ，
∴PC
AC =2；
综上可知
PC AC ． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，注意分类思想的理解与运用．。