向量中一些常用的结论

向量中一些常用的结论
1. 向量加减法中的无中生有法则,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
2. 三角形不等式:||→a |-|→b ||≤|→a ±→b |≤|→a |+|→b |，特别地，
(1) 当→a 、→b 同向或有→0⇔|→a +→b |=|→a |+|→b |≥||→a |-|→b ||=|→a -→b |；
(2)
当→a 、→b 反向或有→0⇔|→a -→b |=|→a |+|→b |≥||→a |-|→b ||=|→a +→b |； (3) 当→a 、→b 不共线⇔||→a |-|→b ||<|→a ±→b |<|→a |+|→b |(这些和实数比较类似).
3. 三点共线的处理方式
4. 无名性质定理的应用
5. 一些向量表达式的几何背景
(1)
给出→OA+→OB 与AB 相交,则→OA+→OB 过AB 的中点; (2)
给出→PM+→PN=→0,则已知P 是MN 的中点; (3)
给出→AP+→AQ=λ(→BP+→BQ),则已知A,B 与PQ 的中点三点共线; (4)
在平行四边形ABCD 中，给出(→AB+→AD)·(→AB-→AD)=0，则已知ABCD 是菱形; (5)
在平行四边形ABCD 中，给出|→AB+→AD|=|→AB-→AD|，则已知ABCD 是矩形; (6)
在∆ABC 中，给出→AD=12(→AB+→AC),则已知AD 是∆ABC 中BC 边的中线; (7)
四边形ABCD ，→AD=→BC ⇔ABCD 为平行四边形； (8) G 为∆ABC 的重心⇔→PG=13
(→PA+→PB +→PC)⇔→GA +→GB+→GC =→0;在∆ABC 中，若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),则其重心的坐标为G(x 1+x 2+x 33,y 1+y 2+y 33
) (9) →HA ·→HB=→HB ·→HC=→HC ·→HA ⇔H 为∆ABC 的垂心⇔→HA 2+→BC 2=→HB 2+→AC 2=→HC 2+→AB 2;
(10) O 为∆ABC 的外心⇔→OA 2=→OB 2=→OC 2.
(11) 在∆ABC 中，给出a →OA+b →OB+c →OC=→0则已知O 是∆ABC 的内心（三角形内切圆
的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；(证明:a →OA+b →OB+c →OC=→0
⇒c →OC=-a →OA-b →OB=-a(→OC+→CA)-b(→OC+→CB)⇒(a+b+c)→OC=-a →CA-b →CB=-ab(→CA |→CA|+→CB |→CB|
),即→OC 与角C 的平分线所在向量共线.同理可证O 在角A 、角B 的角平分线上.证毕.)
(12) 已知O 是平面上一定点,在∆ABC 中，动点P 满足以下条件这一(其中λ∈(0,+∞):
①→OP=→OA+λ(→AB |→AB|+→AC |→AB|
),则点P 的轨迹一定通过∆ABC 的_____心;重 ②→OP=→OA+λ(→AB |→AB|+→AC |→AC|
),则点P 的轨迹一定通过∆ABC 的_____心;内 ③→OP=→OA+λ(→AB |→AB|sinB +→AC |→AC|sinC
),则点P 的轨迹一定通过∆ABC 的_____心;重 ④→OP=→OA+λ(→AB |→AB|cosB +→AC |→AC|cosC
),则点P 的轨迹一定通过∆ABC 的_____心;垂 ⑤→PA+→PB=λ(→CA |→CA|cosA +→CB |→CB|cosB
),则点P 的轨迹一定通过∆ABC 的_____心;外 (13) 若O 是∆ABC 所在平面内一点，且满足|→OB-→OC|=|→OB+→OC-2→OA|，则∆ABC 的形状
为____（答：直角三角形）；
(14) 设平面上有互异四点A 、B 、C 、D,已知(→DB+→DC-2→DA)·(→AB-→AC)=0,则∆ABC 的
形状为____（答：等腰三角形）。