（浙江专用）2013届高考数学 冲刺必备 第一部分 专题一 第二讲 专题专项训练

[（浙江专用）2013届高考数学 冲刺必备 第一部分 专题一 第
二讲 专题专项训练（浙江专用）
限时：50分钟 满分：78分
一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分) 1．已知0<a <1，则方程a |x |
＝|log a x |的实根个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选B 作出函数y ＝a |x |，y ＝|log a x |的图像，由图像可知，两图像只有两个交点，故方程有2个实根．
2．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π
7，则( )
A ．a <b <c
B ．a <c <b
C ．b <c <a
D ．b <a <c
解析：选D a ＝sin 5π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π7＝sin 2π7，
又π4<2π7<π
2
， 可通过单位圆中的三角函数线进行比较：
如图所示：cos 2π7＝OA ，sin 2π7＝AB ，tan 2π
7＝MN ，
所以cos 2π7<sin 2π7<tan 2π
7
，即b <a <c .
3．(2012·石家庄模拟)已知平面向量a 、b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )
A.π
2
B.π3
C.
π
6
D ．π
解析：选B ∵|2a ＋b |2
＝4|a |2
＋4a ·b ＋|b |2
＝7，|a |＝1，|b |＝3， ∴4＋4a ·b ＋3＝7，a ·b ＝0，∴a ⊥b . 如右图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ，
∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝31，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π
3
.
4．不等式x 2
－log a x <0，在x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12时恒成立，则a 的取值范围是( )
A ．0<a <1 B.1
16≤a ＜1 C ．a >1
D ．0<a ≤1
16
解析：选B 不等式x 2
－log a x <0转化为x 2
<log a x ，由图形知0<a <1且⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
≤log a 12，所以a ≥116，所以116≤a <1.
5．(2012·郑州模拟)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2－x
－1，x ≤0，
x 1
2， x >0.若f (x 0)>1，则x 0的取值范围
是( )
A ．(－1,1)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：选D 首先画出函数y ＝f (x )与y ＝1的图像(如图)，解方程f (x )＝1，得x ＝－1，或x ＝1.由图易得f (x 0)>1时，所对应x 0的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
6．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2
有公共点，则b 的取值范围是( ) A ．[－1,1＋22] B ．[1－22，1＋22] C ．[1－22，3]
D ．[1－2，3]
解析：选C 曲线方程可化简为(x －2)2
＋(y －3)2
＝4(1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时需满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，解得b ＝1＋22或b ＝1－22，因为是下半圆故可得b ＝1－22，当直线过(0,3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3.
7．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a
a ≥
b ，b a <b ，
则函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x
∈R)的最小值是( )
A ．1
B.3
2
C ． 2 D.52
解析：选B 由|x ＋1|≥|x －2|⇒(x ＋1)2≥(x －2)2
⇒x ≥12
，所以f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
|x ＋1|⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ≥12，|x －2|⎝ ⎛⎭
⎪⎫x <12，其图像如图所示，则[f (x )]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋1＝3
2
.
8．(2012·长春模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2
＋bx ＋c 在x 1处取得极大值，在x 2处取
得极小值，满足x 1∈(－1,1)，x 2∈(2,4)，则a ＋2b 的取值范围是( )
A ．(－11，－3)
B ．(－6，－4)
C ．(－16，－8)
D ．(－11,3)
解析：选D 依题意得，f ′(x )＝x 2
＋ax ＋b ，x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个根，于是有
⎩⎪⎨⎪⎧
f ′－1＝－1
2
＋a ·－1＋b ＝1－a ＋b >0，
f ′
1＝12＋a ·1＋b ＝1＋a ＋b <0，f ′2＝22＋a ·2＋b ＝4＋2a ＋b <0，f ′
4＝42
＋a ·4＋b ＝16＋4a ＋b >0.
在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，阴影部分表示的四边形的四个顶点的坐标分别为(－3，－4)，(－1，－2)，(－3,2)，(－5,4)，验证得：当a ＝－5，b ＝4时，a ＋2b 取得最大值3；当a ＝－3，
b ＝－4时，a ＋2b 取得最小值－11.于是a ＋2b 的取值范围是(－11,3)．
9．若函数f (x )＝|x －2|·(x －4)在区间(5a,4a ＋1)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤25，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫25，＋∞
C.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，12
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤35，56 解析：选A 由于f (x )＝|x －2|·(x －4)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－6x ＋8，x ≥2，
－x 2
＋6x －8，x <2，在平面直角坐标系
中画出函数f (x )的图像，如图所示，递减区间为(2,3)，所以(5a,4a ＋1)⊆(2,3)，
因此有⎩⎪⎨⎪
⎧
2≤5a ，5a <4a ＋1，
4a ＋1≤3，
解得25≤a ≤12
.
10．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －x
x
<0
的解集为( )
A ．(－1,0)∪(1，＋∞)
B ．(－∞，－1)∪(0,1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－1,0)∪(0,1) 解析：选D ∵f (x )为奇函数， ∴f (x )－f (－x )＝2f (x )． 画出y ＝2f (x )的大致图像． 如图，则f (x )与x 异号的区间
如图阴影所示，∴解集为(－1,0)∪(0,1)． 二、填空题(共7个小题，每小题4分，共28分)
11．(2012·武汉模拟)已知A ，B 均为集合U ＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{1}，(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}，则B ∩(∁U A )＝________.
解析：依题意及韦恩图得，B ∩(∁U A )＝{5,6}．
答案：{5,6}
12．(2012·江南十校联考)定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在(0,2]上的图像如图所示，则不等式f (x )>x 的解集为________．
解析：依题意，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图像，如图所示，注意到y ＝f (x )的图像与直线y ＝x 的交点坐标是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和⎝ ⎛⎭⎪⎫－2
3，－23，结
合图像可知，不等式f (x )>x 的解集是⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.
答案：⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 13．定义函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
cos x ，cos x >sin x
sin x ，cos x ≤sin x ，则函数的值域为________．
解析：在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图像，如图，则f (x )的图像是实线部分，依图知T ＝2π，f (x )max ＝1，f (x )min ＝－
22，故f (x )值域为⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－22，1.
答案：⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－
22，1 14．直线y ＝1与曲线y ＝x 2
－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 解析：如图，在直角坐标系内画出曲线y ＝x 2
－|x |＋a ，观图可知，
直线y ＝1在直线y ＝a ，y ＝a －1
4之间，即a 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧
a >1，a －1
4
<1，解得1<a <5
4
.
答案：(1，5
4
)
15．(2012·长春模拟)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式
f (x )≥
g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图像，观察图像可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此
a 的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
16．若函数f (x )＝x 2
＋ax ＋2b 在区间(0,1)、(1,2)内各有一个零点，则a －b 的取值范围是________．
解析：依题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
f 0＝2b >0，f 1＝a ＋2b ＋1<0，
f 2＝2a ＋2b ＋4>0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
b >0，a ＋2b ＋1<0，a ＋b ＋2>0，
该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(不包括边界)，
不难得出a －b 的取值范围是(－4，－1)．
答案：(－4，－1)
17．(2012·太原模拟)设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x
＋4)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x
＋2)＝0(a >1)恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围为________．
解析：依题意得，f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是以4为周期的函数．关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有三个不同的实数根，等价于函数f (x )与g (x )＝log a (x ＋2)(a >1)的图像恰有三个不同的交点．结合题意画出函数f (x )在(－2,6]上的图像与函数g (x )＝log a (x ＋2)(a >1)的图像，结合图像分析可知，要
使两函数图像有三个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪
⎧
a >1，log a 2＋2<3，
log a 6＋2>3，
由此解得3
4<a <2，即a 的
取值范围是(3
4，2)．
答案：(3
4，2)。