新华师大版八年级数学上册《14.2勾股定理的应用》课件
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C
B
我怎么走 会最近呢?
最短路程问题
解:如图所示,将侧面展开,在RT∆CDF中,
FD=AB-AF-BD=18-1-1=16cm CD= ½ 底面周长= ½ ·60=30cm 根据勾股定理,得:
CF= F2D C2D 126 320 3c4m
AA1 F
A 1
18
F
1C
D1
C
B
B
最短路程问题
如图所示,一块长方体的长为6cm， 宽为4cm，高为3cm，求蚂蚁从顶点 A沿着表面到达顶点B的最短路线的 长度.
距离AC、BD分别为500m和700m,且CD=500m,天黑前牧童
从A处将羊牵到河边饮水后再赶回家,请通过计算说明牧童至少
要走多少米?
两点之间
解:作点A关于CD对称的点E,连结BE,交 CD于点P,连结AP,则沿着AP、PB回家的
线段最短
B
路程最短. 过点E作EF垂直于BD交BD的延长线于点F.
A
我怎么走 会最近呢?
圆柱侧面爬行的最短路 A
程是多少? (π的值取3)
B
9cm
B
高 12cm
A
A
长18cm (π的值取3)
∵ AB= 122 92 15
∴ AB=15(cm)
蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.
最短路程问题
在一个棱柱形的石凳子上，一位小朋 友吃东西时留下一点食物在B处，恰好 一只机灵而勇敢的蚂蚁路过A处（A在B 的对面），它的触角准确的捕捉到了 这个信息，并迅速的传给它的小脑袋， 于是它迫不急待的想从A处爬向B处。 聪明的同学们，你们想一想：蚂蚁怎 样走最近？
最短路程问题
蛋糕
BC
B
A
A
最短路程问题
如图，在棱长为10厘米
蛋糕
的正方体的一个顶点A
B
处有一只蚂蚁，现要向
顶点B处爬行，已知蚂蚁 爬行的速度是1厘米/秒， A
且速度保持不变，问蚂
蚁能否在20秒内从A爬
到B？
最短路程问题 B B
A
轴对称问题
如图所示,一牧童在A处放羊,他家在B处,A、B两处相距河岸的
两点之间 线段最短
A
D
P
· ·M
B
C
解:连结BD,连结DM交AC于点P,连结PB, 则PM+PB的最小值就是DM的长度.
∵四边形ABCD为正方形 ∴AC垂直平分BD ∴PB=PD 则PB+PM=PD+PM=DM
AM=AB-BM=8-2=6cm 在RT∆AMD中,根据勾股定理,得
DM= 82 62 =10(cm)
14.2勾股定理的应用(1)
一、 勾股定理：
B
字母表示：
勾a
弦c
如果在Rt∆ABC中，
C 股b
A ∠C=90°
那么a2 + b2 = c2
语言叙述：
直角三角形的两条直角边 的平方和等于它斜边的平方。
Ｃ
二、勾股定理的证明
b a
c
a cb
bc c a a （二） b
（一）
bc c a a （三）b
三、 直角三角形的判定 如果三角形的三边长a 、
B
A
6
34
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路
线有多少种情况？ B
(1)经过前面和上底面;
4
(2)经过前面和右面;
3
(3)经过左面和上底面.
A
6
C
B
B
A
6
3 4C
B 4
A
A3
6
C
解 (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，
如:图，最短路程为
B
B
4
3
A
6
C
A
AB＝ AC2 BC2 ＝ 62 72 ＝ 85
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图， 最短路程为
B
B3Leabharlann AA64C
AB＝ AC2 BC2 ＝ 102 32 ＝ 109
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如 图，最短路程为
B
B 4
A
A3
6
C
AB＝ AC2 BC2 ＝ 92 42 ＝ 97
85 ＜ 97 ＜ 109
最短路程为 85 ㎝
有一个圆柱,它的高等于
B
12厘米,底面半径等于3
厘米,在圆柱下底面上的 A点有一只蚂蚁,它想从 点A爬到点B , 蚂蚁沿着
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
即PM+PB的最小值为10cm.
小结
应用勾股定理解决实际问题的一般思路：
１、立体图形中路线最短的问题，往往是把立 体图形展开，得到平面图形．根据“两点之间， 线段最短” 确定行走路线，根据勾股定理计 算出最短距离．
２、在解决实际问题时，首先要画出适当的示 意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直 角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问 题．
O
┏B
D
CH＝0.6＋2.3
2.3米
＝2.9(米)＞2.5(米).
因此高度上有0.4米的余量，
所以卡车能通过厂门．
N
M
2米 H
❖不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 ❖书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 ❖正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 ❖书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
b 、 c满足
a2b2c2
那么这个三角形是直角三角形。
最短路程问题
例1
如图所示是圆柱形无盖玻 璃容器,高18cm,底面周长 60cm,在外侧距底1cm的点 C处有一蜘蛛,与蜘蛛相对 的圆柱形容器的上口外侧 距开口1cm的F外有一只苍 蝇,试求急于捕获苍蝇充饥 的蜘蛛所走的最短路线的 长度.
A
AF
18
足够,所以卡车能否通
过,只要看当卡车位于
C
厂门正中间时其高度是 A 否小于CH．如图所示,
┏B
OD
2.3米
点D在离厂门中线0.8米
处,且CD⊥AB, 与地面
交于H．
N
M
2米 H
解：OC＝1米 (大门宽度一半)，
OD＝0.8米 （卡车宽度一半）
在Rt△OCD中，由勾股定理得
CD＝ OC2 OD2
C
＝ 12 0.82＝0.6米， A
１.要记住勾股定理及逆 定理的内容。
２.把几何体适当展开成 平面图形，再利用“两 点之间线段最短”性质 来解决最短路程问题。
挑战“试一试”:
一辆装满货物的卡
车，其外形高2.5米， A
B
宽1.6米，要开进厂门
2.3米
形状如图的某工厂，
问这辆卡车能否通过
该工厂的厂门?说明理 D 2米 C
由。
分析
由于厂门宽度
∵AC=EC,CD⊥AC
∴PA=PE 则PA+PB=PE+PB=BE
CP
D BF=BD+DF=700+500=1200m CD=EF=500m
E
F 在RT∆BEF中,根据勾股定理,得
BE= 5002 12020 =1300(m)
即牧童至少要走1300米.
轴对称问题
如图所示,正方形ABCD的边长为8cm,点M在AB上,BM=2cm, 对角线AC上有一动点P,求PM+PB的最小值.
B
我怎么走 会最近呢?
最短路程问题
解:如图所示,将侧面展开,在RT∆CDF中,
FD=AB-AF-BD=18-1-1=16cm CD= ½ 底面周长= ½ ·60=30cm 根据勾股定理,得:
CF= F2D C2D 126 320 3c4m
AA1 F
A 1
18
F
1C
D1
C
B
B
最短路程问题
如图所示,一块长方体的长为6cm， 宽为4cm，高为3cm，求蚂蚁从顶点 A沿着表面到达顶点B的最短路线的 长度.
距离AC、BD分别为500m和700m,且CD=500m,天黑前牧童
从A处将羊牵到河边饮水后再赶回家,请通过计算说明牧童至少
要走多少米?
两点之间
解:作点A关于CD对称的点E,连结BE,交 CD于点P,连结AP,则沿着AP、PB回家的
线段最短
B
路程最短. 过点E作EF垂直于BD交BD的延长线于点F.
A
我怎么走 会最近呢?
圆柱侧面爬行的最短路 A
程是多少? (π的值取3)
B
9cm
B
高 12cm
A
A
长18cm (π的值取3)
∵ AB= 122 92 15
∴ AB=15(cm)
蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.
最短路程问题
在一个棱柱形的石凳子上，一位小朋 友吃东西时留下一点食物在B处，恰好 一只机灵而勇敢的蚂蚁路过A处（A在B 的对面），它的触角准确的捕捉到了 这个信息，并迅速的传给它的小脑袋， 于是它迫不急待的想从A处爬向B处。 聪明的同学们，你们想一想：蚂蚁怎 样走最近？
最短路程问题
蛋糕
BC
B
A
A
最短路程问题
如图，在棱长为10厘米
蛋糕
的正方体的一个顶点A
B
处有一只蚂蚁，现要向
顶点B处爬行，已知蚂蚁 爬行的速度是1厘米/秒， A
且速度保持不变，问蚂
蚁能否在20秒内从A爬
到B？
最短路程问题 B B
A
轴对称问题
如图所示,一牧童在A处放羊,他家在B处,A、B两处相距河岸的
两点之间 线段最短
A
D
P
· ·M
B
C
解:连结BD,连结DM交AC于点P,连结PB, 则PM+PB的最小值就是DM的长度.
∵四边形ABCD为正方形 ∴AC垂直平分BD ∴PB=PD 则PB+PM=PD+PM=DM
AM=AB-BM=8-2=6cm 在RT∆AMD中,根据勾股定理,得
DM= 82 62 =10(cm)
14.2勾股定理的应用(1)
一、 勾股定理：
B
字母表示：
勾a
弦c
如果在Rt∆ABC中，
C 股b
A ∠C=90°
那么a2 + b2 = c2
语言叙述：
直角三角形的两条直角边 的平方和等于它斜边的平方。
Ｃ
二、勾股定理的证明
b a
c
a cb
bc c a a （二） b
（一）
bc c a a （三）b
三、 直角三角形的判定 如果三角形的三边长a 、
B
A
6
34
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路
线有多少种情况？ B
(1)经过前面和上底面;
4
(2)经过前面和右面;
3
(3)经过左面和上底面.
A
6
C
B
B
A
6
3 4C
B 4
A
A3
6
C
解 (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，
如:图，最短路程为
B
B
4
3
A
6
C
A
AB＝ AC2 BC2 ＝ 62 72 ＝ 85
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图， 最短路程为
B
B3Leabharlann AA64C
AB＝ AC2 BC2 ＝ 102 32 ＝ 109
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如 图，最短路程为
B
B 4
A
A3
6
C
AB＝ AC2 BC2 ＝ 92 42 ＝ 97
85 ＜ 97 ＜ 109
最短路程为 85 ㎝
有一个圆柱,它的高等于
B
12厘米,底面半径等于3
厘米,在圆柱下底面上的 A点有一只蚂蚁,它想从 点A爬到点B , 蚂蚁沿着
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
即PM+PB的最小值为10cm.
小结
应用勾股定理解决实际问题的一般思路：
１、立体图形中路线最短的问题，往往是把立 体图形展开，得到平面图形．根据“两点之间， 线段最短” 确定行走路线，根据勾股定理计 算出最短距离．
２、在解决实际问题时，首先要画出适当的示 意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直 角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问 题．
O
┏B
D
CH＝0.6＋2.3
2.3米
＝2.9(米)＞2.5(米).
因此高度上有0.4米的余量，
所以卡车能通过厂门．
N
M
2米 H
❖不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 ❖书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 ❖正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 ❖书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
b 、 c满足
a2b2c2
那么这个三角形是直角三角形。
最短路程问题
例1
如图所示是圆柱形无盖玻 璃容器,高18cm,底面周长 60cm,在外侧距底1cm的点 C处有一蜘蛛,与蜘蛛相对 的圆柱形容器的上口外侧 距开口1cm的F外有一只苍 蝇,试求急于捕获苍蝇充饥 的蜘蛛所走的最短路线的 长度.
A
AF
18
足够,所以卡车能否通
过,只要看当卡车位于
C
厂门正中间时其高度是 A 否小于CH．如图所示,
┏B
OD
2.3米
点D在离厂门中线0.8米
处,且CD⊥AB, 与地面
交于H．
N
M
2米 H
解：OC＝1米 (大门宽度一半)，
OD＝0.8米 （卡车宽度一半）
在Rt△OCD中，由勾股定理得
CD＝ OC2 OD2
C
＝ 12 0.82＝0.6米， A
１.要记住勾股定理及逆 定理的内容。
２.把几何体适当展开成 平面图形，再利用“两 点之间线段最短”性质 来解决最短路程问题。
挑战“试一试”:
一辆装满货物的卡
车，其外形高2.5米， A
B
宽1.6米，要开进厂门
2.3米
形状如图的某工厂，
问这辆卡车能否通过
该工厂的厂门?说明理 D 2米 C
由。
分析
由于厂门宽度
∵AC=EC,CD⊥AC
∴PA=PE 则PA+PB=PE+PB=BE
CP
D BF=BD+DF=700+500=1200m CD=EF=500m
E
F 在RT∆BEF中,根据勾股定理,得
BE= 5002 12020 =1300(m)
即牧童至少要走1300米.
轴对称问题
如图所示,正方形ABCD的边长为8cm,点M在AB上,BM=2cm, 对角线AC上有一动点P,求PM+PB的最小值.