高中数学复习提升-三角向量数列不等式丁丹

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高三数学三角函数、平面向量与解三角形专题
一．【考纲要求】
1、三角函数的图象和性质，特别是y =A sin （w x +φ）的图象及其变换；
2、重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线、垂直的充要条件、向量的坐标运算及向量的应用等；
3、三角函数的化简、给值求值及三角恒等式的证明；
4、正弦、余弦定理及应用 第1讲 三角函数的图象与性质
例题1.已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2
ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.
将函数f (x )的图象向左平移π
6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象；若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值= 变式：江西卷)已知函数f (x )＝(a ＋2cos2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＝0，其中θ∈(0，
π)．(1)求a ，θ的值； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π3的值．
变式2：:已知函数()sin ()3f x A x πϕ=+，x R ∈，0A >，02π
ϕ<<.()y f x =的部分图像，如图所示，P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A .
下题2图
（1）求()f x 的最小正周期及ϕ的值；（2）若点R (1,0)，23
PRQ π
∠=，求A 的值.
课时1练习
1、已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos (π
2＋α)sin (－π－α)
cos (11π2－α)sin (9π2＋α)
的值为________．
2. 已知函数()2sin()f x x ωφ=+ 的图像如图所示，则712
f π
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
. 3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6－2x ，x ∈[0，π]的增区间是 ( C )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
5π6，π 4、若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在[0，π
2]上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．
5．已知函数)0,)(4
sin()(>∈+
=w R x wx x f π
的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向左
平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ） A .
2π B . 83π C. 4π D.8
π
8.（2014全国理数）16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ
是减函数，则a 的取值
范围是 .
9.（2014上海理数）12.设常数a 使方程sin 3x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解
123,,x x x ，则123x x x ++= 。

10、给出命题：∈函数y ＝2sin(π3－x )－cos(π
6＋x )(x ∈R )的最小值等于－1；∈函数y ＝sin πx cos πx 是最小正周期为2的奇函数；∈函数y ＝sin(x ＋π4)在区间[0，π
2]上单调递增的；∈
若sin 2α<0，cos α－sin α<0，则α一定为第二象限角．则正确的是________．
二 解答题：1.设函数f (x )＝cos(2x ＋π
3)＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；
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(2)若θ是第二象限角，且f (θ2)＝0，求cos 2θ
1＋cos 2θ－sin 2θ
的值．
2.已知函数()2cos (3sin cos )=+f x x x x ωωω（其中0>ω），且函数()f x 的图象的相邻两条对称轴间的距离为π。

(1)先列表再作出函数()f x 在区间[],ππ-上的图象；
(2)若()22
=x
f ，求2cos()3x π-的值； (3)在∈ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c)cosB ＝bcosC ，求函
数f(A)的取值范围.
3.函数2
()6cos 3cos 3(0)2
x
f x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的
最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.
(∈)求ω的值及函数()f x 的值域; (∈)若083()5f x =,且0102
(,)33
x ∈-,求0(1)f x +的值.
第2讲 三角变换与解三角形
考情解读 (1)高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合．(2)利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查
变式：(2013·新课标全国卷∈)如图，在∈ABC 中，∈ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为
∈ABC 内一点，∈BPC ＝90°.(1)若PB ＝1
2，求P A ；(2)若∈APB ＝150°，求tan∈PBA . 例2．设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2
cos sin 2πϕϕϕ
<<-+x x x 在π=x 处取最小值.
(1) 求ϕ的值;
(2) 在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 2
3
)(=A f ,求角C 变式：已知函数f (x )＝3sin
ωx ＋φ2cos ωx ＋φ2＋sin
2
ωx ＋φ2⎝ ⎛⎭
⎪⎫其中ω>0，0<φ<π2.其图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3，1. (1)求函数f (x )的解析式；
(2)在∈ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝5，S ∈ABC ＝25，角C 为锐角．且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝7
6，求c 的值．
例3.已知()()()2
33sin sin cos 02
f x x x x ππωωωω⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭
的最小正周期为T π=.
（1）求23
f π
⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、所对应的边分别为a b c 、、，若有()2cos cos a c B b C -=，则求角B 的大小以及()f A 的取值范围.
变式．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列（1）若
23,2b c ==，求ABC ∆的面积 （2）若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，试判断ABC
∆的形状
4、已知0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，则cos(α＋π
4)＝________.
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1.（2014浙江理数）在∆ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a b ≠，3c =22cos cos 3sin cos 3sin cos .A B
A A
B B
(1)求角C 的大小；(2)若4
sin ,5
A =求∆ABC 的面积。

2.在∈ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B
2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－3
5. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求c ．
3． 已知函数())22sin .cos 23302
2
2
x x x f x ωωωω=->，其图象与直线2y =的相邻两
个公共点之间的距离为2π．
（1）若[]0,x π∈，试求出函数()f x 的单调递减区间；
（2）∈ABC 的三个内角A ，B ，C 及其所对的边a ，b ，c 满足条件：()0,2,f A a ==且,,b a c 成等比数列．试求在方向上的投影n 的值．
第3讲 平面向量
考情解读 (1)平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查．(2)平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的能力．
例1．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2.
(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0＜φ＜π
2
，求cos φ的值．
变式：A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c .若m ＝()C B sin ,cos ，n
＝()B C sin ,cos -，且2
1
=
⋅n m ． （1）求A ；（2）若a ＝32，三角形面积S ＝3，求c b +的值.
例2、已知向量)4cos ,4(sin x x m =，＝34
x ，cos 4x
)，记()x f ⋅=；
（1）若()1=x f ,求cos()3
x π
+的值；（2）若ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，
且满足()C b B c a cos cos 2=-，求函数()A f 的取值范围．
例3、∈ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD
→＝511DB →
(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x·y ，求k 的最小值．
2、设向量a 、b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ·(a －b )＝0，则a 与b 的夹角是( B ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°
3、已知则(=⋂Q P ）
A ．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝
4、定义：|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于 ( ) A ．8 B ．－8 C ．8或－8 D ．6
5、平行四边形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．
2. 已知向量,,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且.
(1)求函数的最小正周期; (2)若的图象经过点,求函数在区间
上的取值范围.
{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a (cos sin ,23)x x x ωωω=--b ()f x λ
=⋅+a b ()x ∈R πx =ωλ1
(,1)2
ω∈()f x ()y f x =π(,0)4
()f x 3π
[0,
]5
丰城九中校本资料丰城九中校本资料一．选择题（共11小题）
1．（2014•天津模拟）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围（）A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7）2．（2014•天津）设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）
A．2B．﹣2C．D．﹣3．（2014•河南一模）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）A．1B．﹣1C．2D．5．（2014•河西区三模）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）A．11B．5C．﹣8D．﹣11 6．（2014•河西）数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2014=（）A．B．﹣C．6D．﹣6 7．（2014•河西区一模）已知数列{a n}中，满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=（）A．9B．12C．14D．18 8．（2013•南开）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（）A．47B．45C．38D．54 9．（2013•天津）在等比数列{a n}中，，则a3=（）
A．±9B．9C．±3D．3 11．（2012•天津模拟）在等差数列{a n}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（）
A．20B．21C．42D．84 12．（2014•天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_________．
14．（2014•郑州）数列{a n}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7=_________．15（2014•厦门）已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则{log2a n}的前n项和等于_________．16（2014•河西）已知数列{a n}的中，并满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=_________．17．（2014•天津）等差数列{a n}的中，已知a2+a4=6，S4=10．则a10=_________．
18（2014•北京）等比数列{a n}中，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=_________．20．（2014•天津三模）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数
列{b n}满足b n=2n a n．
（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞；
（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．
21．（2014•天津模拟）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．（∈）求a n与b n；（∈）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．
27．已知等比数列{a n}满足a2=2，且2a3+a4=a5，a n＞0．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=（﹣1）n3a n+2n+1，数列{b n}的前项和为T n，求T n．
30．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，已知a2=8，S10=185．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设a n=log2b n（n=1，2，3…），证明{b n}是等比数列，并求数列{b n}的前n项和T n．
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2．()1log 1
12
1++
=+x x y （x > 1）的最大值是 （ ）A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3
3．不等式
x
x --21
3≥1的解集是 ( ) A ．{x|43≤x≤2} B ．{x|43≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x≤4
3
} D ．{x|x ＜2}
4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( )
A ．b
a 1
1< B ．b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b
5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( )
A ．最小值21和最大值1
B ．最大值1和最小值43
C ．最小值4
3
而无最大值 D ．最大值1而无最小值
6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( )
A ．－3＜a ＜1
B ．－2＜a ＜0
C ．－1＜a ＜0
D ．0＜a ＜2
8．当=x ___________时，函数)2(2
2
x x y -=有最_______值，其值是_________。

10．不等式049)1(220
82
2<+++++-m x m mx x x 的解集为R,求实数m 的取值范围。

12．一元二次不等式ax ＋bx ＋2>0的解集是(－21,3
1
)，则a ＋b 的值是_____。

A. 10 B. －10 C. 14 D. －14
14．下列各函数中，最小值为2的是 ( )
A ．y=x ＋x 1
B ．y= sinx ＋x sin 1,x ∈(0,2π)
C ．y=2
3
22++x x D ．y=x ＋
12-x 15．如果x 2＋y 2=1,则3x －4y 的最大值是 ( )
A ．3
B ．5
1
C ．4
D ．5
17．设实数x 、y 满足x ＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是___________。

20．
设x 、y ∈R + 且
y
x 9
1+=1,则x+y 的最小值为________. 18．的取值范围是则满足约束条件变量1
2
2,012430,++=≤-+≥≥⎪⎩
⎪⎨⎧x y s y x x
y x y x （ ） A.[1,4] B.[2,8]
C.[2,10]
D.[3,9]【答案】B
19．已知变量x ，y 满足约束条件1,
0,20,y x y x y -⎧⎪
+⎨⎪--⎩
≤0≥≤则24x y z =的最大值为
A ．16
B ．32
C ．4
D ．2
20．设x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+-≥+-00432032y y x y x ，若目标函数 by ax z +=（其中0,0>>b a ）的最
大值为3,则
b
a 2
1+的最小值为( ) A.3 B.1 C.2 D.4
【答案】A21．设x ，y 满足约束条件360,
20,0,0,
x
y x
y
x y ≤≥≥≥若目标函数z
ax by （a ＞0，b ＞0）的最
大值为12，则
23a
b 的最小值为( )A.8
3
B ．256
C ．113
D ． 4【答案】B
22．设m>1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z=x+5y 的最大值为4，则m 的值为___3____。

3．已
知在平面直角坐标系xoy 上的区域D 由不等式组0222x y x ⎧≤≤⎪
≤⎨⎪
≤⎩给定。

若(,)M x y 为D 上的动点，点
的坐标为2,1)，则z OM OA =的最大值为（ ）A ．42 B ．32
C ．4
D ．3【答案】C
17．已知点1(,)40x x y x y ax by c ≥⎧⎪
+≤⎨⎪++≥⎩
是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数
2z x y =+的最大值为7，最小值为1，则
a b c
a
++的值为（ ）
A ．2
B ．
1
2
C ．-2
D ．-1【答案C 】
2
2
A。