2017届佛山三中4月月考理科数学试题及答案

2013届佛山三中4月月考理科数学试题
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个
选项中，选出符合题目要求的一项。

1、下列命题中，真命题是
（A ）x ∀∈R ,210x --< （B ）0x ∃∈R ,2001x x +=- （C ）21,04
x x x ∀∈-+>R （D ）2000,220x x x ∃∈++<R 2、将容量为n 的样本中的数据分成6组，若第一组至第六组数据的频
率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 的值为
（A ）70 （B ）60 （C ）50 （D ）40
3、41(2)x x
-的展开式中的常数项为
（A ）24- （B ）6- （C ）6 （D ）
24
4、若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为
（A （B ）2
（C ）（D ）4
5、若向量a ，b 满足1=a
，=b ，且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角为
（A ）2
π （B ）
23π （C ）34π （D ）56
π 6、已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么
下面给出的条件中一定能推出m ⊥β 的是 （A ）⊥αβ，且m ⊂α （B ）m ∥n ，且n ⊥β
（C ）⊥αβ，且m ∥α （D ）m ⊥n ，且n ∥β
7、若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线2
2
1y x m
+=的离心率为
（A
（B （C （D ）
8、在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个‚类‛，记为[]k ，即[]{4|}k n k n Z =+∈，
0,1,2,3k =.给出如下四个结论：①2012[1]∈；②2[2]-∈；③[0][1][2][3]Z =⋃⋃⋃；④‚整数,a b 属于同一‘类’‛的充要条件是
‚[0]a b -∈‛.其中正确的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分.
(一)必做题(9～13题)
10、已知函数32
1()3
f x x x =-图像上点A 处的切线与直线x-y+2=0的夹
角为45°,则A 点
处的切线方程为________.
11、在平面直角坐标系
xOy 中，将点A 绕原点O 逆时针旋转 90到
点B ，那么点B 的坐标为____，若直线OB 的倾斜角为α，则sin 2α的值为 ．
12、等比数列{}n a 的首项为a ，公比为q ，其前n 项和为n S ，则数列{}
n S
为递增数列的充分必要条件是______. 13、已知函数sin 1()1
x x f x x -+=
+()x ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则
M m +的值为__.
(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)
14、（几何证明选讲选做题）
如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则
AD
AC
= ; 15、(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 方程是11
x t
y t =+⎧⎨
=-⎩(t 为参数）
，,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是
三、解答题：（本大题6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程） 16、已知函数)(,2
1
cos 2sin 23)(2R x x x x f ∈--=
（1）当⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数)(x f 的最小值和最大值； （2）设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且0)(,3==C f c ，
若向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，求b a ,的值．
17、某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；
（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取
6名学生进入第二轮面试．
（1）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙
同时进入第二轮面试的概率；
（2）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D 的面
试，第4组中有ξ名学生被考官D 面试，求ξ的分布列和数学期望．
75 80 85 90 95 100 分数
0.01
0.02
18、如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，
2
π
=
∠=∠CEF BCF ，
2,3==EF AD ．
（1）证明：AE//平面DCF ； （2）当AB 的长为何值时，二面角A-EF-C 为3
π
；
（3）在（2）的条件下，求几何体ABE-DCF 的体积。

A
B
C
D
E
F
19、已知等差数列{}n a ,()n N +∈中,1n n a a +>,2947232,37a a a a =+=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若将数列{}n a 的项重新组合，得到新数列{}n b ，具体方法如下:
11223,b a b a a ==+，
34567b a a a a =+++，4891015b a a a a =+++ ，…,依此类推，
第n 项{}n b 由相应的{}n a 中12n -项的和组成，求数列124
n n b ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩
⎭
的前n 项
和n T .
20、已知椭圆22
221x y a b
+= ()0a b >>的右焦点为1(20)F ，
，离心率为e . （1
）若e =
，求椭圆的方程；
（2）设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1
BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上． ①证明点A 在定圆上； ②设直线AB 的斜率为k
，若k e 的取值范围．
21、已知函数32()()ln f x x x g x a x =-+=，，a ∈R ．
（1）若对任意[]1e x ∈，，都有2()(2)g x x a x -++≥恒成立，求a 的取值范围； （2）设()()()11
f x x F x
g x x ⎧<⎪=⎨
⎪⎩，，，≥．若P 是曲线y =F (x )上异于原点O 的任意
一点，在曲线y =F (x )上总存在另一点Q ，使得△POQ 中的∠
POQ 为钝角，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A （2）B （3）D （4）A （5）C （6）B （7）D （8）C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）1- （10）0y =，4
3
y =-
（11）)3,1(- 12）0a >且0q > （13）2 14. 43 15.
1
16、解:（1）1)6
2sin(
)(--=π
x x f 12
512
π
π
≤
≤-
x
3
26
23
ππ
π
≤
-
≤-∴x
∴⇒≤-≤-
1)62sin(23πx 01)6
2sin(231≤--≤--πx 则)(x f 的最小值是2
3
1-
-,最大值是0． （2）01)2
2sin()(=--=πC c f ,则1)6
2sin(=-πC ,
0,022C C ππ<<∴<< ,6
11626π
ππ<-<-∴C ,
26
C π
∴-
=
2π
,
3C π=
,
向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线， ∴ 1sin 2sin A B =
，
由正弦定理得，2
1=b a ①
由余弦定理得，3
cos 2222π
ab b a c -+=，即322=-+ab b a ②
由①②解得2,1==b a ．
17、解：（Ⅰ） 由图可知， 第三组的频率为0．06⨯5=0．3； 第四组的频率为0．04⨯5=0．2；
第五组的频率为0．02⨯5=0．1
（Ⅱ）（1）设M ：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试
P （M ）=330
1
28C C =1451
（2）)210()(2
6
24
2、、===-i C C C i P i i ξ
3
2152158=+=
ξE
18、解法一：（1）证明过点E 作EG ⊥CF 交CF 于G ， 连结DG ，∴四边形BCGE 是矩形， 又四边形ABCD 是矩形，
EG AD EG AD =∴,
//
∴四边形AEGD 是平行四边形， ∴AE//DG ，又⊄AE 平面DCF ， ∴ AE//平面DCF 。

证法2：,//,//CF BE DC AB
∴,//DCF ABE 平面平面
∴ AE//平面DCF 。

（2） 平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB ⊥BC ，
∴AB ⊥平面BEFC
过点B 作BH ⊥FE 交FE 的延长线于H ，连结AH ，∴ AH ⊥FE 。

故AHB ∠是二面角A-EF-C 的平面角。

在1,3
,2,3==∠∴===∆GF CFE EF AD EG EGF Rt π
中，
又3,4,2
===∴=∠GC BE CF CEF 故π
，
2
9
3233tan ,233sin =⨯=∠==
∠=∴AHB BH AB BEH BE BH ∴当AB 的长为29时，二面角A-EF-C 为3
π。

（3）连结AF ，FB ，何体ABE-DCF 的体积
A
B C D
E
F
H
G
3
333932443293133292131=
+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+=--ABCD F ABE F V V V 解法二：如图建立空间坐标系C-xyz 设.,,c CF b BE a AB ===
)0,0,3(),,0,3(),0,0,0(B a A C ∴ )0,,0(),0,,3(c F b E
（1）)0,0,3(),,,0(=-=a b ，
)0,,0(b =
.0,0=⋅=⋅
∴CB ⊥AE ，CB ⊥BE ，所以CB ⊥平面ABE ，CB ⊥平面DCF
所以，平面ABE//平面DCF ，故AE//平面DCF 。

（2）)0,,3(),0,,3(b b c =--= ， 又2||,0==⋅
⎩
⎨⎧=-+=-+-∴4)(30
)(32
b c b c b ，解得b=3，c=4，)0,4,0(),0,3,3(F E 设平面AEF 的法向量是n=（1, y, z ），由n 0=⋅, n 0=⋅ 解得n )3
3,
3,1(a
= 因为BA ⊥平面BEFC ，),0,0(a =
2
9,2127
433|
||||3
cos
|2==
+=
⋅=
∴a a n BA π
（3）同解法一
19、解：（Ⅰ）由23292=a a 与379274=+=+a a a a
解得:⎩⎨
⎧==29892a a 或⎩⎨⎧==8
29
92a a （由于n n a a >+1，舍去）
设公差为d ，则⎩⎨
⎧=+==+=29
88
1912d a a d a a ,解得⎩⎨⎧==351d a
所以数列{}n a 的通项公式为)(23+∈+=N n n a n （Ⅱ）由题意得:
1222212211111-+++-----++++=n n n n n a a a a b n
)]123(23[)823()523()223(11111-⋅+⋅+++⋅++⋅++⋅=-----n n n n n
)]123()423(852[2321111-⋅+-⋅+++++⋅⨯=----n n n n
而)123()423(85211-⋅+-⋅++++--n n 是首项为2,公差为3的等差数列的前12-n 项的和,所以)123()423(85211-⋅+-⋅++++--n n
n n n n n 24
1
2332)12(222
32111
⋅+⋅=⨯-+⨯=----
所以n n n n n n b 24
128
924
1232323222⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=-- 所以n n n b 228
924
1⋅=⋅-
所以)14(2
341)41(489)264164(892-=--⨯=++++=n n
n n T
20、解：（1）由
e =
，c=2，得a=b =2．
所求椭圆方程为22
184
x y +=．
（2）设00()A x y ，，则00()B x y -，-，
故00222x y M +⎛⎫
⎪⎝⎭，，0
0222x y N -⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ① 由题意，得0OM ON ⋅=uuu r uuu r
．
化简，得22004x y +=，所以点A 在以原点为圆心，2为半
径的圆上．
② 设00()A x y ，，则
00
22
022220014
y kx x y a
b x y =⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩
⇒22200222220014x k x a
b x k x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩⇒222211(1)4k k a b +=+． 将2
c e a
a
==，22224
4b a c e
=-=
-，代入上式整理，得 2242(21)21k e e e -=-+．
因为42210e e -+>，k 2>0，所以 2210e ->
，e >
．
所以 422
221321e e k e -+=-≥．化简，得422
840,
210.e e e ⎧-+⎪⎨->⎪⎩
≥
解之，得21<42e -≤
<1e .
故离心率的取值范围是1⎤
⎥⎝⎦
.
21、解：（1）由2()(2)g x x a x -++≥，得()2ln 2x x a x x --≤．
由于[]1e x ∈，，ln 1x x ≤≤，且等号不能同时取得，所以
ln ln 0x x x x <->，．
从而22ln x x
a x x --≤恒成立，2min
2ln x x a x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤． 设()[]221e ln x x t x x x x -=∈-，，．求导，得()()()()
2
12ln ln x x x t x x x -+-'=-． []1e x ∈，，10ln 12ln 0x x x x -+->≥，
≤，， 从而()0t x '≥，()t x 在[]1e ，上为增函数． 所以()()min 11t x t ==-，所以1a -≤．
（2）()321ln 1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨⎩，，
，≥．
设()()P t F t ，为曲线()y F x =上的任意一
点．
假设曲线()y F x =上存在一点()()Q t F t --，，使∠POQ 为钝角， 则0OP OQ ⋅<
． ① 若
t ≤-1，
()32P t t t +，-，
()()
ln Q t a t --，，
OP OQ ⋅
=232ln()()t a t t t -+-⋅-+．
由于0OP OQ ⋅<
恒成立，()()1ln 1a t t --<． 当t =－1时，()()1ln 1a t t --<恒成立． 当t <－1时，1(1)ln()a t t <
--恒成立．由于
1
0(1)ln()
t t >--，所以a ≤0.
② 若11t -<<，0t ≠，()32P t t t +，-，()32Q t t t -+，，
则OP OQ ⋅
=23232()()0t t t t t -+-++<，
4210t t -+>对11t -<<，0t ≠恒成立．
③ 当t ≥1时，同①可得a ≤0．
综上所述，a 的取值范围是(]0-∞，
．。