难点04 知识间的交汇问题-高考数学二轮核心考点总动员 Word版含解析

高考数学考点总动员【二轮精品】第二篇
难点四知识间的交汇问题
【热点考法】“立足基础，突出能力考查；从整体知识结构和思想体系上考虑问题，加强试题的综合性和应用性；创设新颖的情景和设问方式”构成了高考命题(数)的主旋律．知识交汇处命题是考查的热点与难点，考题形式为选择填空题或解答题，难点为容易、中档或难题，常见集合与函数、不等式交汇处、简易逻辑与函数、数列、平面向量、三角函数、复数等交汇处、函数与导数、不等式等交汇、数列与函数、不等式、推理证明交汇、概率统计与函数交汇、程序框图与数列、函数、不等式、概率等交汇，通过在知识交汇处命题，考查综合应用数学知识和方法分析解决综合问题能力.
【热点考向】
考向一函数与算法、导数、不等式的交汇问题
【解决法宝】1.函数与算法交汇问题，根据算法的意义转化为函数的问题求解.
2. 函数与导数、不等式的交汇问题，①若证明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＜0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)＜0，即证明了f(x)＜g(x)．②利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．例1【重庆市高三学业质量调研抽测1】已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，有恒成立，求的取值范围.
【分析】（Ⅰ）由已知求出函数的定义域，再利用导数法，由参数的取值对导数正负的影响进行分类讨论，从而判断函数的单调性；（Ⅱ）由题意，将不等式中的未知数与参数分离，再构造新函数，通过导数法求出新函数的最值，从而将问题进行转化为关于参数的不等式，再进行求解即可.
【解析】（Ⅰ）的定义域为，
又
当在区间上单调递增，
当在区间上单调递减.
（Ⅱ）由已知，得，
令.
当时，由得或（舍去）
在上单调递增，在上单调递减；
当时，，即原不等式等价于
即，整理得，
又的取值范围为.
考向二数列与简易逻辑、算法、函数、不等式的交汇问题
【解决法宝】1.数列与算法的交汇，利用算法的意义转化为数列问题，利用数列的相关方法求解.
2.数列与不等式的综合问题是高考的热点且多出现在解答题中，考查方式主要有三种：(1)判断数列问题中的一些不等关系；(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；(3)考查与数列问题有关的不等式的证明．
3.求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确转化；对于函数的有关性质，主要利用函数的单调性或有界性来求解数列中的最值．但由于数列是一类特殊的函数，所以借助函数的性质研究数列问题，一定要注意数列中的自变量只能取正整数这一特点．例2【河北省武邑中学高三下学期第二次质检】已知数列是各项均不为0的等差数列，
公差为，为其前项和.且满足，.数列满足，为数列的前
项和.
（1）求和；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【分析】（1）依据题设及等差数列的有关公式建立方程组，求出首项与公差，进而求出等差数列的通项公式，运用列项相消法求解；（2）先将不等式中的参数分离出来，再分析探求右边的解析式的值域。

【解析】（1）在中，令，，得即，
解得，，∴.
∵，
∴.
考向三立体积几何与函数、三角、不等式的交汇问题
【解决法宝】立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程、不等式或建立函数表达式的方法加以解决．
-中，例3【广东省广雅中学、江西省南昌二中高三下学期联合测试】如图，在四棱锥S ABCD
底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，===，1
SA AB BC
2
AD=，M是棱SB的中点．
AM平面SCD；
（Ⅰ）求证：//
（Ⅱ）求平面SCD 与平面SAB 所成的二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点N 是直线CD 上的动点， MN 与平面SAB 所成的角为，求sin θ的最大值．
【分析】（1）以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面SCD 的一个法
向量()2,1,1n =-r
，由0AM n ⋅=u u u u r r ，即可证明//AM 平面SCD ；
（2）易知平面SAB 的一个法向量为()11,0,0n =u r
，设平面SCD 与平面SAB 所成的二面角为ϕ，
求得6
cos 3
ϕ=
，即可求得平面SCD 与平面SAB 所成的二面角的余弦值． （3）设(),22,0N x x -，则(),23,1MN x x =--u u u u r ，平面SAB 的一个法向量为()11,0,0n =u r
，
取得sin θ的表达式，利用二次函数的性质，即可求解sin θ的最大值．
（Ⅱ）易知平面SAB 的一个法向量为1n u u r
()1,0,0=，设平面SCD 与平面SAB 所成的二面角
为φ，
易知π
0φ2<<，则n m 6cos φ3n m 16
⋅===⋅⨯r r r r ，∴6cos φ=， 所以平面SCD 与平面SAB 6． （Ⅲ）设()N x,2x 2,0-，则()MN x,2x 3,1=--u u u u r
，易知平面SAB 的一个法向量为()1n 1,0,0=u u r
，
∴2
2
2
x sin θ5x 12x 10
11137
10125
10x x x 55
=
=
=
-+⎛⎫
⎛⎫⨯-⨯+⨯-+
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，
当
13x 5=，即5
x 3
=时， sin θ取得最大值，且()max 35sin θ=．
考向四 解几几何与平面向量、函数、不等式的交汇问题
【解决法宝】有关解析几何的最值问题、曲线方程中含字母参数的范围问题以及对称问题是高考中经常出现的内容，涉及知识面广，常用到函数、不等式和三角等方面的知识；平面向量和解析几何结合，已成为高考新的热点.
例4【海南省海南中学、文昌中学高三下学期联考数学】已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的
左右焦点分别为1F ， 2F ，且经过点(5P ，离心率为23
， A 为直线4x =上的动点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点B 在椭圆C 上，满足OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.
【分析】（Ⅰ）由过点(5P ，可得5b =
2
3
c e a =
=，结合222a b c =+构成方程组，解得即可；（Ⅱ） B 在椭圆C 上，设(),B m n ， )(
5,05n ⎡∈-⋃⎣
， ()4,A y ，根据
两点之间的距离公式，化简整理，再根据函数的单调性求出最值.
【解析】（Ⅰ）由2225
2
{3
.b c e a a b c ====+解得3{ 2.a c ==
所以椭圆C 的方程为22
195
x y +=. （Ⅱ）点B 在椭圆C 上，设(),B m n ， )(
5,05n ⎡∈-⋃⎣
， ()4,A y .
因为OA OB ⊥，所以·0OAOB
=u u u r u u u r
，即40m ny +=. 因为点B 在椭圆C 上，所以22
195
m n +=， 所以()()22
24AB m n y =-+- 2
2
2
8162m m n ny y =-++-+
2228168m m n m y =-++++，
22216m n y =+++= 2
22416m m n n -⎛⎫
+++ ⎪⎝⎭
，
22
22
1691591165n n n n
⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭=-+++ ⎪⎝⎭， 22144419
55
n n =-- 设2t n =， (]
0,5t ∈ 设()144419
55t g t t =
--. 因为()21444
05
g t t --'=
<， 所以()g t 在(]
0,5上单调递减.
所以当5t =，即5n =±时， 21min AB =
.
考向五 概率与排列组合、函数、统计等的交汇问题
【解决法宝】概率知识与实际生活密切相关，高考对概率内容的考查，往往以实际问题为背景，结合排列、组合等知识，考查学生对知识的运用能力，．
例5【山西省太原市高三模拟考试（一）】某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵。

某汽车经销商退出,,A B C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图。

已知从,,A B C 三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元。

现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆。

以这
100 位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率。

（Ⅰ）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；
（Ⅱ）记X （单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X 的
分布列和期望。

【分析】(1)从柱状图看出,,A B C 三种付款的频率, “甲乙采用不同分期付款”的对立事件是“甲乙采用相同的分期付款”,求出事件“甲乙采用相同的分期付款”的概率,再利用概率加法公式可求出“甲乙采用不同分期付款”的概率; (2)该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润为X ，取值可能为2,3,4,5,6.利用相互独立事件概率公式分别求出概率，再算出期望.
【热点集训】
1.【河南省豫北名校联盟高三年级精英对抗赛,7】已知函数()sin 3f x x x =+，当
[0,]x π∈时，()1f x ≥的概率为（ ）
A ．
13 B ．14 C. 15 D ．12
【答案】D
【解析】由()sin 32sin()13f x x x x π
==+
≥及[0,]x π∈得[0,]2
x π
∈，所以所求概率
为1
22
P π
π==，故选D.
2. 【广东省汕头市高三上学期期末，9】将二项式6
)2(x
x +展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ） A ．
72 B ．351 C. 35
8 D ．247 【答案】A
【解析】由3
66216
6(2r r r
r r r
r T C x
C x x
--+==，知当0,2,4,6r =时为有理项，则二项式6
)2(x
x +展开式中有4项有理项，3项无理项，所以基本事件总数为77A ，无理项互为相邻有43
4
5A A
，所以所求概率
434577
A A P A =＝72
，故选A ．
3. 【广西南宁、梧州高三毕业班摸底联考，9】执行如图2所示的程序框图，若输出的结果是15
16
，则输入的为（ ）
A ．3
B ．4 C.5 D ．6
【答案】
B
4. 【天津六校高三上学期期中联考，7】已知数列{}n a 满足：11a =，12
n
n n a a a +=+()n N *∈．若
11
(2)(
1)n n
b n a λ+=-⋅+()n N *∈，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．23λ
>
B ．32λ>
C ．32λ<
D ．23
λ< 【答案】D 【解析】因为
11111
121111
112(1)1(1)222n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -+++=
⇒=+⇒+=+⇒+=+=+，所以1(2)2n n b n λ+=-⋅，因为数列{}n b 是单调递增数列，所以当2n ≥时
113
(2)2(12)2212212
n n n n b b n n n λλλλλ-+>⇒-⋅>--⋅⇒>-⇒>-⇒<
；当1n =时，
213
(12)22b b λλλ>⇒-⋅>-⇒<
，因此23
λ<，选D. 5.【广东高三上学期阶段测评（一），9】执行如图所示的程序框图，若[][] 0 4x a b y ∈∈，，，，则b a -的最小值为（ ）
A ．2
B ．3 C.4 D ．5 【答案】A
【解析】程序框图的功能为求分段函数2
1 04 0x x y x x x +<⎧=⎨-≥⎩，
，
的函数值， 如图可知[]2 a b ∈，
，当0 2a b ==，或 2 4a b ==，时符合题意，∴2b a -≥.选A.
6.【广东高三上学期阶段测评（一），11】过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于 M N
，两点，若4MF FN =u u u u r u u u r
，则直线的斜率为（ ） A ．32± B ．23± C.34± D ．43
±
【答案】D
7.【河北省衡水中学高三下学期三调】某旅游景点统计了今年1号至10号每天的门票收
入（单位：万元），分别记为1a ， 2a ，…， 10a （如： 3a 表示3号的门票收入），下表是1号至10号每天的门票收入，根据表中的数据，下面程序框图输出的结果为（ ） 日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
门票收入（万元） 80
120
110 91 65 77 131 116 55 77
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6 【答案】A
【解析】 根据程序框图知，该程序的作用是统计的每天门票收入的值超过115万元的天数，由表可知2号，7号，8号的门票收入的值超过115万元，所以输出的3n =，故选A 。

8.【河南省豫北名校联盟高三年级精英对抗赛,11】已知在正项等比数列{}n a 中，存在两项
,m n a a 满足14m n a a a =，且6542a a a =+，则
14
m n
+的最小值是（ ） A ．
32 B ．2 C. 73 D ．256
【答案】A
9.【广东郴州市高三第二次教学质量监测试卷,11】在ABC ∆中，11,A B 分别是边,BA CB 的中
点，22,A B 分别是线段11,A A B B 的中点，,,n n A B L 分别是线段*
11,(1)n n A A B B n N n --∈>，的
中点， 设数列{},{}n n a b 满足：向量*
()n n n n B A a CA b CB n N =+∈u u u u u r u u u r u u u r ，有下列四个命题，其中假
命题是：（ ）
A ．数列{}n a 是单调递增数列，数列{}n b 是单调递减数列
B ．数列{+}n n a b 是等比数列 C.数列{
}n
n
a b 有最小值，无最大值
D ．若ABC ∆中，90C =o
，CA CB =，||n n B A u u u u u r ，则最小时，1
2
n n a b +=
【答案】C
10. 【安徽省“皖南八校”高三第二次联考，15】设(){},|0,01A x y x e y =
<<<<（为自
然对数的底数），任取(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是 （结果用表示）． 【答案】2
1e
-
【解析】样本空间为一个矩形，面积为，而满足1ab >的面积为
11(1)(ln )21e
e dx x x e x -=-=-⎰，所以概率是2
e e
- 11.【河南省广东省佛山市高三教学质量检测（一），16】已知双曲线()2222:10x y C b a a b
-=>>的
右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线过点F 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使
0OA OB ⋅=u u u r u u u r
，则双曲线离心率的取值范围是 ． 15
3e +≤<【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线的方程为x my c =+(0)a
m b
≤<
，联立双曲线方程，消去，得2
2
2
2
2
()2b m a y b mcy -+＋4
0b =，所以2122222b mc y y b m a +=--①，4
1222
2
b y y b m a =-②．因为OA OB ⋅u u u r u u u r ＝12120x x y y +=，即22
121212()0m y y mc y y c y y ++++=，代入①②整理，得4
2
2
22
22
2
2b m b m c c b m -+－22
4
0a c b +=，42222
2242
0b a c a m b c b b
-≤=<-．由422
0b a b -≥，得22222
()0c a a c --≥，即422430c a c a -+≥，42
310e e -+≥，解得15
e +≥
42222242
b a
c a b c b b -<-，得44220b a a c --<，即222422()0c a a a c ---<，422
30c a c -<，所以3c
a
<15[3)2e +∈．
12. 【贵州省贵阳市第一中学高考适应性月考卷(一)】已知函数3
221()13
f x x ax b x =
+++，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为 . 【答案】
23
【解析】22()2f x x ax b '=++，由题意2220x ax b ++=有2个不等实根，则224()0a b ∆=->，即a b >，又,a b 的取法共有339⨯=种，而满足a b >的有
(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2)共6种，故所求的概率为6293
P =
=． 13.【浙江省温州中学高三高考模拟】正项数列满足，．
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）证明：对任意的，
；
（Ⅲ）记数列
的前项和为，证明：对任意的
，
．
【解析】（Ⅰ）由及，所以 …………（3分）
（Ⅱ）由
又因为
在上递增，故 …………（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
，…，
，相乘得
，即
故
…………（10分）
另一方面，，
令
，则
于是
，
，…，，相乘得
，即
故.
14.【中原名校豫南九校第四次质量考评，18】（本小题满分12分）
设ABC △的三内角 A B C ，，的对边分别是 a b c ，，，向量() n b c a =-r
，，()sin sin sin sin n B C A C =-+r ，，且m n ⊥u r r
.
（1）求角A 的大小；
（2）若 2 43sin a c B ==，，求ABC △的面积. 【答案】（Ⅰ）3
A π
=
（Ⅱ）
33
15.【山东潍坊高三上学期期中联考，17】（本小题满分12分）
已知在ABC △中，内角 A B C ，，的对边分别为 a b c ，，，向量() sin sin a b A C =-+m ，与向量()() sin a c A C =-+n ，
共线. （1）求角C 的值；
（2）若27AC CB ⋅=-u u u r u u u r
，求AB u u u r 的最小值. 【答案】（1）3
C π
=
；（2）36
【解析】（1）∵向量m r 与向量共线，
∴()()()()sin sin sin a b A C a c A C -⋅+=-+， 由正弦定理可得：()()()a b b a c a c -=-+， ∴222c a b ab =+-，
∴2221cos 22
a b c C ab +-==，
∵0C π<<，∴3
C π
=
（2）∵27AC CB ⋅=-u u u r u u u r ，∴27CA CB ⋅=u u u r u u u r
，
∴1cos 272
CA CB CA CB C CA CB ⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r u u u r ，
∴54CA CB ⋅=u u u r u u u r
，
∵22222AB CB CA CB CA CB CA =-=+-⋅u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴22227AB CB CA ≥⋅-⨯u u u r u u u r u u u r
2545454=⨯-=. ∴36AB ≥u u u r ，（当且仅当36CA CB ==u u u r u u u r 时，取“＝”）
∴AB u u u r
的最小值为36.
16.【河南省新乡市高三第二次模拟测试】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11
ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形， 11160ACC CC B ∠=∠=o ， 23AC =．
（1）求证： 11AB CC ⊥；
（2）若132AB = 11A C 的中点为1D ，求二面角11C AB D --的余弦值．
【解析】（1）证明：连接1AC ， 1CB ，则1ACC ∆和11B C C ∆皆为正三角形．
取1CC 中点O ，连接OA ， 1OB ，则1CC OA ⊥， 11CC OB ⊥，从而1CC ⊥平面1OAB ，
11CC AB ⊥．
（2）解：由（1）知， 13OA OB ==，又132AB =22211,OA OB AB +=所以1OA OB ⊥，
OA ⊥平面11B C C ．
如图所示，分别以1OB ， 1OC ， OA 为正方向建立空间直角坐标系，
则()
0,3,0C -， ()13,0,0B ， ()0,0,3A ， ()13,0C ， ()
10,23,3A ，
13332D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， 设平面1CAB 的法向量为(),,m x y z =r
，因为()13,0,3AB =-u u u r ， ()
0,3,3AC =--u u u r ，
所以330,
{
330,
x z z -=--=取()
1,3,1m =-r
．
设平面11AB D 的法向量为，因为13330,22AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ， 113333,22B D ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝
⎭u u u u r ， 同理可取(
3,1,3n =
r
．
则
3105 cos,
35
57
m n
m n
m n
⋅
===
⋅⨯
r r
r r
r r，因为二面角11
C AB D
--为钝角，
所以二面角
11
C AB D
--的余弦值为
105
35
-．
17.【河南省高中毕业年级考前预测】如图，四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD为平行四边形，24
AB AD
==，23
BD=，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）若二面角P BC D
--的大小为
6
π
，求AP与平面PBC所成角的正弦值．
【解析】（1）∵222
CD BC BD
=+，∴BC BD
⊥，
又∵PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PD BC
⊥
又∵PD BD D
⋂=，∴BC⊥平面PBD.
而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD.（2）由（1）所证，BC⊥平面PBD，所以PBD
∠即为二面角P BC D
--的平面角，即
π
6
PBD
∠=，
而23
BD=，所以2
PD=.
因为底面ABCD为平行四边形，DA DB
⊥，
分别以,,
DA DB DP为轴、y轴、轴建立空间直角坐标系，
则()
2,0,0
A，()
0,23,0
B，()
2,23,0
C-，()
0,0,2
P，
所以()
2,0,2
AP=-
u u u r
，()
2,0,0
BC=-
u u u r
，()
0,23,2
BP=-
u u u r
，
设平面PBC的法向量为()
,,
n a b c
=
r
，则
·0
{
·0
n BC
n BP
=
=
u u u r
r
u u u r
r，即
20
{
2320
a
b c
-=
-+=
，
令1
b=，则(3
n=
r
∴AP 与平面PBC 所成角的正弦值为·23
6
sin 4222
·AP n AP n θ==
=⨯u u u r r u u u r r . 18.【河南省新乡市高三第二次模拟测试 】在高中学习过程中，同学们经常这样说：“如
果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题”，某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如下表：
（1）求数学成绩y 关于物理成绩的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+（精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；
（2）要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以X 表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望．
（参考公式： ()
12
2
1
ˆn
i i i n i i x y nxy
b
x n x ==-=-∑
∑
， ˆˆˆa
y bx =-） 参考数据： 22222908574686329394++++=，
9013085125741106895639042595⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
【解析】（1）9085746863765x ++++=
=， 1301251109590
1105
y ++++==，
()
5
152
2
1
ˆ55i i i i i x y xy
b
x x ==-=-∑
∑
2
42595576110795
1.529394576514
-⨯⨯=
=≈-⨯， 110ˆˆ 1.4ˆ576a
y bx =-=-⨯=-， 所以 1.54ˆy
x =-，当80x =时， ˆ116y =.
19.【“超级全能生”浙江省高三联考】如图，过椭圆M ：
2
212x y +=的右焦点F 作直线交椭圆于,A C 两点．
（1）当,A C 变化时，在轴上求点Q ，使得AQF CQF ∠=∠；
（2）当直线QA 交椭圆M 的另一交点为B ，连接BF 并延长交椭圆于点D ，当四边形
ABCD 的面积取得最大值时，求直线AC 的方程．
【解析】（1）设()()1122,,,A x y C x y ， (),0Q q ，
当,A C 不在轴上时，设直线AC 的方程为1x ty =+， 代入椭圆M 的方程可得： ()
222210t y ty ++-=. 则12222t y y t +=-
+， 12
2
1
2y y t =-+， 由题知， 12
12AQ OQ y y k k x q x q
+=
+-- ()()
()()122112y x q y x q x q x q -+-=
--
()()
()()
12211211y ty q y ty q x q x q +-++-=
--
()()
()()
1212
12
21
ty y q y y
x q x q
+-+
==
--
即()()
1212
210
ty y q y y
+-+=()
2210
t t q
⇒---=，
由题知无论取何值，上式恒成立，则2
q=，
当,A C在轴上时定点()
2,0
Q依然可使AQF CQF
∠=∠成立，
所以点Q的坐标是()
2,0.
令0
S'=，可得2
317
t
+
=
由于()
S t在
317
0,
2
⎛⎫
+
⎪
⎪
⎝⎭
上单调递增，在
317
,
2
⎛⎫
+
⎪
+∞
⎪
⎝⎭
上单调递减，
所以当2
317
2
t
+
=时，四边形ABCD的面积S取得最大值.
此时，直线AC的方程是
317
1
2
x y
+
=±+.
20.【广西陆川县中学高三下学期知识竞赛】已知抛物线内一定点，过点分别作斜率为，的两条直线、，交抛物线于、和、四点，设、分别为线段和的中点．
（1）当且时，求的面积的最小值；
（2）若（为常数，且），证明：直线过定点，并求出定点坐标．
【解析】显然直线、均不与轴平行，所以令的方程为．
由得．
设，
，则有
，
，得
的
中点．
令
的方程为
，同理得
的中点．
所以当，即时，的面积的最小值为．
（2）由，，得，
所以直线的方程为．
因为，即，所以．
于是直线的方程为，即．
由解得所以直线w 恒过定点．
21.【云南大理高三第一次统测，21】（本题满分12分） 设函数()()()ln 1ln 1G x x x x x =+--． （1）求()G x 的最小值；
（2）记()G x 的最小值为，已知函数()()()11
2210x a f x a e a a x
++=+
-+>g ，若对于任意
的()0,x ∈+∞，恒有()0f x ≥成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）ln 2-；（2）
1
1
a e ≥
-.
（2）由（1）中ln 2c =-得()()1
21x a f x a e a x
+=+
-+g ．
．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 所以()()
22
1x ax e a f x x -+'=g ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
令()()2
1x
g x ax e a =-+g ，则()()20x
g x ax x e '=+>．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 所以()g x 在()0,+∞上单调递增，
因为()()01g a =-+，且当x →+∞时，()0g x >，
所以存在()00,x ∈+∞，使()00g x =，且()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．．．．．．8分
因为()()02
0010x
g x ax e a =-+=g ，所以0
2
01x ax e
a =+g ，即020
1
x a a e x +=
g ，因为对于任意的()0,x ∈+∞，恒有()0f x ≥成立，
所以()()()00min 0
1
210x
a f x f x a e a x +==+-+≥g
．．．．．．．．．．．．9分 所以
()20011210a a a x x +++-+≥，即2
00
1120x x +-≥，亦即2
00210x x --≤，所以01
12x -≤≤．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分 因为0
2
01x ax e a =+g
，所以02
01
1x a x e a
+=
>g ， 又00x >，所以001x <≤，从而0
20x x e e ≤g
，
所以11a e a +<
≤，故11
a e ≥
-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22.【山东潍坊高三上学期期中联考，21】（本小题满分14分） 已知函数()ln 1
x f x x =+. （1）求曲线()y f x =在点()()1 1f ，
处的切线方程； （2）若0x >且1x ≠，()ln 1
t x f x x x -
>-. （i ）求实数的最大值； （ii ）证明不等式：()*1111ln 222n i n n N n i n =⎛⎫<--∈≥ ⎪⎝⎭
∑且. 【答案】（1）210x y --=；（2）（i ）1t ≤-；（ii ）证明见解析.
【解析】（1）由题意()0 x ∈+∞，且()()()
()2211ln 1ln '11x x x x x x f x x x x +-+-==++， ∴()201'142f -=
=， 又()1f 002
==， ∴()f x 在点()()1 1f ，处的切线方程为()1012y x -=-即210x y --= （2）（i ）由题意知
ln ln 011x x t x x x -->+-， 设()ln ln 11x x t g x x x x
=--+-， 则()()()
()2221111ln 2ln 11t x x x t g x x x x x x x ⎡⎤---+⎢⎥=-=+--⎢⎥⎣⎦
， 设()()
212ln t x h x x x -=+，
则()222
212'1tx x t h x t x x x ++⎛⎫=++= ⎪⎝⎭， （1）当0t ≥时，∵0x >，∴()'0h x >，
∴()h x 在()0 +∞，
上单调递增，又()10h =， ∴()0 1x ∈，
时，()0h x <，又2101x
>-， ∴()0g x <，不符合题意.
②若2440t ∆=->，即10t -<<时，()x ϕ的对称轴11x t
=->， ∴()x ϕ在11 t ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，上单调递增， ∴11 x t ⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭，时，()()1220x t ϕϕ>=+>， ∴()'0h x >，
∴()h x 在11 t ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，上单调递增， ∴()()10h x h >=， 而2101x
<-，∴()0g x <，不符合题意， 综上所述1t ≤-.
（ii ）由（i ）知1t =-时，ln ln 1011x x x x x
-+>+-， 当1x >时整理得2112ln x x x x x
-<=-， 令1k x k =-，则1112ln 111
k k k k k k k k -<-=+---， ∴23111111112ln ln ln 11212233211n n n n n n ⎡⎤+++<+++++++++⎢⎥----⎣⎦
……， ∴11112ln 12231n n n
⎡⎤<+++++⎢⎥-⎣⎦…， ∴11111ln 12322n n n <+
+++--…， 即1
111ln 22n i n i n =<--∑。