高三数学高考第一轮复习第十五章教案直接证明与间接证明

芯衣州星海市涌泉学校第三节直接证明与间
接证明
一、复习目的：1．理解直接证明的两种根本方法：分析法和综合法；理解分析法和综合法的考虑过程、特点。

2．理解间接证明的一种根本方法──反证法；理解反证法的考虑过程、特点。

二、重难点：1、重点：能纯熟运用三种证明方法分析问题或者者证明数学命题。

2、难点：运用三种方法进步分析问题和解决问题的才能。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳
四、教学过程
〔一〕、谈考纲要求及新课程高考命题考察情况，促使积极参与
学生阅读复资P145页教师点评，增强目的及参与意识。

〔二〕、知识梳理，方法定位〔学生完成复资P146页填空题，教师准对问题讲评〕
1、直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；
直接证明的两种根本方法——分析法和综合法
⑴综合法：利用条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法。

框图表示：〔其中P表示条件，Q表示要证的结论〕。

综合法的思维特点是：由因导果，即由条件出发，利用的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为断定一个明显成立的条件〔条件、定理、定义、公理等〕为止，这种证明方法叫分析法。

框图表示：。

分析法的思维特点是：执果索因；
分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，
从而又有……这只需要证明命题A 为真，而A 为真，故命题B 必为真。

2、间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法。

反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫反证法。

反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾断定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。

应用关键：在正确的推理下得出矛盾〔与条件矛盾，或者者与假设矛盾，或者者与定义、公理、定理、事实矛盾等〕.
方法本质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进展证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
3、重难点问题探析：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或者者证明数学命题
〔1〕、从命题的特点、形式去选择证明方法
①一般地，结论中出现“至多〞“至少〞“唯一〞等词语，或者者否认性命题，或者者要讨论的情况很复杂的，可以考虑用反证法②一般地，含分式、根式的不等式，或者者从条件出发思路不明显的命题，可以考虑用分析法③命题的结论有明确的证明方向的，适宜用综合法
问题1：对于任意非零实数)(,y x y x -≠，等式y
x y x +=+111总不成立 点拨：从命题的形式特点看，适宜用反证法证明
〔2〕、比较复杂的命题，有时需要多种证明方法综合运用，各取所长。

〔三〕根底稳固训练
1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的条件.
答案充分
2.假设a ＞b ＞0,那么a+
b 1b+a
1.(用“＞〞,“＜〞,“=〞填空) 答案＞ 3.要证明3+7＜25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是〔填序号〕.
①反证法
②分析法 ③综合法
答案②
4.用反证法证明命题：假设整系数一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数时，以下假设中正确的选项是.
①假设a 、b 、c 都是偶数
②假设a 、b 、c 都不是偶数
③假设a 、b 、c 至多有一个偶数
④假设a 、b 、c 至多有两个偶数
答案②
5.设a 、b 、c∈〔0，+∞〕，P=a+b-c ，Q=b+c-a ，R=c+a-b ，那么“PQR＞0”是“P、Q 、R 同时大于零〞的条件. 答案充要
6.a 、b 、c 是互不相等的非零实数.假设用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设
答案三个方程中都没有两个相异实根
7、用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于060〞时，应假设〔〕
A.三个内角都不大于060
B.三个内角都大于060
C.三个内角至多有一个大于060
D.三个内角至多有两个大于060
[解析]B 8、233=+q p ，关于q p +的取值范围的说法正确的选项是〔〕
A.不大于22
B.不大于2
C.不小于2
D.不小于22
[解析]B 9、假设三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是〔〕
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
[解析]B
10、要证明不等式
52276+>+成立，只需证明： [解析]22)522()76(
+>+ 11、2
2222++
+a a 与22的大小关系是 [解析]22222+++a a 22>〔注意：不能取等号〕[用平均值不等式] 12、(07年第一问)数列
{}n a 满足15a =,25a =，116(2)n n n a a a n +-=+≥． 求证：{}12n n a a ++是等比数列；
[解析]由an ＋1＝an ＋6an －1，an ＋1＋2an ＝3(an ＋2an －1)(n≥2)
∵a1＝5，a2＝5∴a2＋2a1＝15
故数列{an ＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列
〔五〕、小结：1、直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种根本方法——分析法和综合法。

⑴综合法：利用条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。

综合法的思维特点是：由因导果，即由条件出发，利用的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为断定一个明显成立的条件〔条件、定理、定义、公理等〕为止。

分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式：要证明命题B 为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A 为真，而A 为真，故命题B 必为真。

2、间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法。

反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫反证法。

反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾断定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

注意：可能出现矛盾四种情况：
①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。

应用关键：在正确的推理下得出矛盾〔与条件矛盾，或者者与假设矛盾，或者者与定义、公理、定理、事实矛盾等〕。

方法本质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进展证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实。

〔六〕、作业布置：课本P12页2、7、9P15页4、5
课外练习:课本21页4、5、7、12、13
复资P147页随堂练习中2、4、5、6
五、教学反思：。