深圳实验学校高中部2020—2021学年度第二学段考试高二数学试卷

深圳实验学校高中部2020—2021学年度第二学段
考试高二数学试卷
高二数学（文）试卷
时刻：120分钟 满分：150分
第 一 卷（选择题 满分50分）
一、选择题：本大题共10小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确，请把正确的结论填涂在答题卡上．每小题5分，满分50分．
1．若命题p 的逆命题是q ，命题p 的逆否命题是r ，则q 与r 的关系是 （A ）互为逆命题． （B ）互为否命题．
（C ）互为逆否命题． （D ）不能确定．
2．下列结论中正确的是
（A ）x y 1cos
=，则x
x y 1sin 1-='． （B ）若2sin x y =，则2cos 2x x y ='． （C ）若x y 5cos =，则x y 5sin -='． （D ）若x x y 2sin 2
1
=，则x x y 2sin ='．
3．若函数)(3
x x a y -=的递减区间为)3
3,33(-
，则a 的范畴是
（A ）01<<-a ． （B ） 10<<a ． （C ）1>a ．
（D ） 0>a ．
4．设{}22<<-=a a M ，{}
3≠=a a N ，若命题M a p ∈:，命题N a q ∈:， 那么命题p 是命题q 的 （A ）充分不必要条件． （B ） 必要不充分条件．
（C ）充要条件．
（D ）既不充分又不必要条件．
5．若方程06)2(22
2
2
2
2
=--++-k k y k x k 表示椭圆，则k 的取值范畴是 （A ）),2()2,(+∞--∞ ． （B ） )3,2()2,2( --．
（C ） )3,2()2,2()2,2( --．
（D ） )3,2(-．
6．设e 为双曲线122
2=+m
y x 的离心率，且)2,1(∈e ，则实数m 的取值范畴为
（A ）)1,6(--．
（B ）)6,0(．
（C ）)1,4(--．
（D ） )0,6(-．
7． 设P 是双曲线192
22=-y a
x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若31=PF ，则2PF ＝
（A ）1或5．
（B ）6．
（C ）7．
（D ）9．
8．已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的半焦距，则a
c
b +的取值范畴是
（A ）),1(+∞．
（B ）),2[+∞． （C ）]2,1(．
（D ）)2,1(．
9．椭圆13
4:221=+y x C 的左准线为l ，左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2C 的准线为l ，焦点是2F ,1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值等于
（A ）
3
4． （B ）
3
8． （C ）4． （D ）8．
10．抛物线x y 42
=与直线042=-+y x 交于A 、B 两点，设抛物线的焦点为F ，则FB FA +等于
（A ）7．
（B ）53．
（C ）6．
（D ）5．
深圳实验学校高中部2005-2006学年度第二学段考试
高二数学（文）试卷 第 二 卷（非选择题 满分100分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 11．写出命题“02,2
>+-∈∃x x R x ”的否定： ． 12．若曲线a x x y +-=23
与直线1+=x y 相切，则常数a 的值为 ．
13．以双曲线13
2
2
-=-y x 的对称中心为顶点，双曲线的一个焦点为焦点的抛物线的方程是 ．
14．椭圆
18922=++m x y 的离心率是2
1，则两准线间的距离为 ． 三．解答题：本大题共6小题，共80分．解承诺写出文字说明，证明过程或演算步
骤．
15．（本题满分12分）设双曲线C 的方程为14
22
=-y x ，直线l 的方程是1+=kx y ，当k 为何值时，直线l 与双曲线C
（Ⅰ）有两个公共点？（Ⅱ）仅有一个公共点？（Ⅲ）没有公共点？
16．（本题满分12分）设⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧>+-=1322x x x M ，{}
08)8(2≤--+=a a x x N ，命
题M x p ∈:，命题N x q ∈:．
（Ⅰ）当6-=a 时，试判定命题p 是命题q 的什么条件；
（Ⅱ）求a 的取值范畴，使命题p 是命题q 的一个必要但不充分条件．
17．（本题满分14分）已知a 为实数，))(4()(2
a x x x f --=，)(x f '为)(x f 的导函数。

（Ⅰ）若0)1(=-'f ，求)(x f 在]2,2[-上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若)(x f 在]2,(--∞和),2[+∞上差不多上递增的，求a 的取值范畴．
18．（本题满分14分）某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品．若该商品零售价为x 元),20(N x x ∈>，则销售量Q （单位：件）与零售价x （单位：元）有如下关系：2
1708300x x Q --=．
（Ⅰ）试写出该商品的毛利润L 与零售价x 的函数关系式，并指出函数的定义域； （Ⅱ）试问该商品零售价定为多少时毛利润L 最大，并求出最大毛利润． 【毛利润＝销售收入－进货支出】
19．（本题满分14分）已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，过焦点)0,102(F 且斜率为1的直线交椭圆于A 、B 两点，若椭圆的离心率5
10
=e ． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求OAB ∆的面积（O 为坐标原点）．
20．（本题满分14分）已知点)0,1(A ，动点M 到点A 的距离比到y 轴的距离多1． （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程；
（Ⅱ）在x 轴上是否存在如此的点B ，使得过点B 的任意直线与点M 的轨迹相交于
P、Q两点时，以PQ为直径的圆恒过坐标原点？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
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高二数学（文）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确，
请把正确的结论填涂在答题卡上．每小题5分，满分50分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（第12题第1空2分，第2空3分）． 11．02,2
≤+-∈∀x x R x ； 12．13-==a a 或；
13．y x y x 8822
-==或；
14．3812或．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分12分）设双曲线C 的方程为14
22
=-y x ，直线l 的方程是1+=kx y ，当k 为何值时，直线l 与双曲线C
（Ⅰ）有两个公共点？（Ⅱ）仅有一个公共点？（Ⅲ）没有公共点？
解：把1+=kx y 代入1422
=-y x 得：088)41(22=---kx x k ． …………（*） 当0412
=-k ，即2
1±=k 时，方程（*）为一次方程，只有一解．
当0412
≠-k 且0)8)(41(4)8(22>----=∆k k ，即2222<<-k 且2
1±≠k 时，方程（*）有两个不等实根．
当0412
≠-k 且0)8)(41(4)8(22=----=∆k k ，即2
2
±
=k 时，方程（*）有两个相等实根．
当0412
≠-k 且0)8)(41(4)8(22<----=∆k k ，即22-
<k 或2
2>k 时，方程（*）没有实根．
因此，（Ⅰ）当2222<<-
k 且2
1±≠k 时，直线l 与双曲线C 有两个公共点； （Ⅱ）当2
1
±=k 或22±=k 时，直线l 与双曲线C 仅有一个公共点；
（Ⅲ）当22-<k 或2
2
>k 时，直线l 与双曲线C 没有公共点.
16．（本题满分12分）设⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧>+-=1322x x x M ，{}
08)8(2≤--+=a a x x N ，命
题M x p ∈:，命题N x q ∈:．
（Ⅰ）当6-=a 时，试判定命题p 是命题q 的什么条件；
（Ⅱ）求a 的取值范畴，使命题p 是命题q 的一个必要但不充分条件．
解：{}53>-<=x x x M 或，{
}
0))(8(≤+-=a x x x N ．
（Ⅰ）当6-=a 时，{}86≤≤=x x N ．
M N ⊂ ，∴当N x ∈时，有M x ∈，但M x ∈时不能得出N x ∈．
因此，命题p 是命题q 的必要但不充分条件．
（Ⅱ）当8-<a 时，{
}
a x x N -≤≤=8，有M N ⊂，满足命题p 是命题q 的必要但不充分条件．
当8->a 时，{}
8≤≤-=x a x N ，要使M N ⊂，须5>-a ，即58-<<-a ． 当8-=a 时，{}8=N ，满足命题p 是命题q 的必要但不充分条件． 因此，a 的取值范畴是5-<a ．
17．（本题满分14分）已知a 为实数，))(4()(2
a x x x f --=，)(x f '为)(x f 的导
函数。

（Ⅰ）若0)1(=-'f ，求)(x f 在]2,2[-上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若)(x f 在]2,(--∞和),2[+∞上差不多上递增的，求a 的取值范畴．
解：（Ⅰ）a x ax x x f 44)(23+--=，423)(2--='ax x x f 。

由0)1(=-'f ，得21=a ，现在)2
1)(4()(2
--=x x x f ，43)(2--='x x x f ， 由0)(='x f ，得3
4
=
x 或1-=x 。

又2750)34(-=f ，2
9)1(=-f ，0)2()2(==-f f ，
∴)(x f 在]2,2[-上的最大值为29，最小值为27
50
-。

（Ⅱ） 423)(2
--='ax x x f ，∴)(x f '的图像是开口向上且过点)4,0(-的抛物线，
由条件得0)2(≥-'f ，0)2(≥'f ，
048≥+∴a ，048≥-a 。

解得22≤≤-a 。

∴a 的取值范畴为]2,2[-．
18．（本题满分14分）某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品．若该商品零售价为x 元)N x ,20x (∈>，则销售量Q （单位：件）与零售价x （单位：元）有如下关系：2x x 1708300Q --=．
（Ⅰ）试写出该商品的毛利润L 与零售价x 的函数关系式，并指出函数的定义域； （Ⅱ）试问该商品零售价定为多少时毛利润L 最大，并求出最大毛利润． 【毛利润＝销售收入－进货支出】 解：（Ⅰ）设毛利润为)(x L ，由题意知
)20x (Q Q 20Q x )x (L -=-⋅=)20x )(x x 1708300(2---=，
化简，得166000x 11700x 150x )x (L 23-+--=。

由0Q ≥，即0x x 17083002≥--，解得1552585x 1552585+-≤≤--，
因为x 为自然数，∴函数的定义域是{}
N x ,39x 21x ∈≤≤。

（Ⅱ）11700x 300x 3)x (L 2+--='。

令0)x (L ='，解得30x =或130x -=（舍去），
现在，23000)30(L =。

因为，在30x =邻近的左侧0)x (L >'，右侧0)x (L <'，因此是极大值，依照实际问题的意义知，)30(L 是最大值。

答：零售价定为每件30元时毛利润最大，最大毛利润为23000元．
19．（本题满分14分）已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，过焦点)0,102(F 且斜率为1的直线交椭圆于A 、B 两点，若椭圆的离心率5
10
=e ． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求OAB ∆的面积（O 为坐标原点）．
解：（Ⅰ）设椭圆方程为12222=+b
y a x （0>>b a ），则402
2=-b a 。

(1)
由=e 5
10=a c ，得2
253b a =。

(2)
由（1）、（2）解得1002=a ，602
=b 。

因此，椭圆方程为
160
1002
2=+y x 。

（Ⅱ） 102=c ，∴直线102:-=x y l ．
设),(11y x A 、),(22y x B ，因为AB 过椭圆的焦点，因此利用椭圆的焦半径公式，得弦长)(5
10
20)()(2121x x ex a ex a FB FA AB +-
=-+-=+=。

由⎪⎩⎪⎨⎧-==+10
2,1601002
2x y y x 得042510522
=+-x x ，⇒210521=+x x ．
则152
10551020=⋅-=AB ， 原点到直线l 的距离为522
10
2==d ．
∴OAB ∆的面积等于5152
1
=⋅d AB ．
20．（本题满分14分）已知点)0,1(A ，动点M 到点A 的距离比到y 轴的距离多1． （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程；
（Ⅱ）在x 轴上是否存在如此的点B ，使得过点B 的任意直线与点M 的轨迹相交于
P 、Q 两点时，以PQ 为直径的圆恒过坐标原点？若存在，求出点B 的坐标；若不
存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）设点M 的坐标为),(y x ，依题意，1)1(2
2+=+-x y x ． 当0≥x 时，化简，得x y 42
=；当0<x 时，化简，得0=y ．
因此点M 的轨迹方程为x y 42=或)0(0<=x y ．
（Ⅱ）当PQ 过原点时，满足条件，现在点B 的坐标为)0,0(． 当以PQ 为直径的圆过坐标原点O 时，AOB ∆为直角三角形，
90=∠AOB 。

假设存在满足条件的点B ，点B 坐标为)0,(a ．
当过点B 的直线垂直于x 轴时，依题意有BO BQ BP ==，则点P 的坐标为
),(a a ，
点),(a a P 在抛物线x y 42=上，4=∴a ．
下面证明点)0,4(B 满足条件．
当过点B 直线不垂直于x 轴时， 设该直线的斜率为k )0(≠k ，则直线方程为
)4(-=x k y ，又设P 、Q 两点的坐标为),(11y x P 、),(22y x Q ．
∴1-=⋅OQ OP k k ⇒12
211-=⋅x y x y ，02121=+y y x x ． (1)
把)4(11-=x k y 、)4(22-=x k y 代入（1）中，得 016)(4)1(2212212=++-+k x x k x x k ． ……………（2） 由⎩⎨⎧-==)
4(,42x k y x y 消去y ，得016)48(2222=++-k x k x k ，
∴16,48212
221=+=+x x k k x x ．
则（2）的左边
016163216161648416)1(22222222=+--+=++⋅-⋅+=k k k k k k k k ． ∴（2）式对任意k 恒成立．
因此，存在满足条件的点B ，点B 坐标为)0,0(或)0,4(．。