高三数学第二次教学质量检测二模试题文含解析试题

2021届高三第二次教学质量统一检测
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。

文科数学
一、选择题.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据交集的定义，找出集合M,N的公一共元素即可。

【详解】因为集合，所以，应选C.
【点睛】此题考察集合的表示方法，交集的定义与运算，属于根底题。

〔为虚数单位〕，那么复数的一共轭复数为〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算，把复数化简为的形式，再求其一共轭复数即可。

【详解】应选B.
【点睛】对于复数的四那么运算，要熟悉复数的相关根本概念，如复数的实部为a,虚部
为b，模为，对应点为(a,b),一共轭复数为。

3.如图，在边长为的正方形内有不规那么图形，由电脑随机从正方形中抽取个点，假设落在图形内和图形外的点分别为，那么图形面积的估计值为〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据几何概型的概率公式进展估计即可得到结论．
【详解】解：设图形的面积为S，
∵由电脑随机从正方形中抽取个点，落在图形内和图形外的点分别为
,∴
应选A.
【点睛】此题主要考察几何概型的应用，利用面积比之间的关系是解决此题的关键，比拟根底．
，且，那么实数〔〕
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出向量的坐标，由得，代入坐标求出k的值．
【详解】
由得，。

应选A.
【点睛】此题考察了平面向量的数量积的坐标运算，向量垂直的坐标表示，是根底题．
的公差为，假设成等比数列，那么的前项和〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由成等比数列，所以，又，解得：，再利用求和公式即可得出．
【详解】解：∵成等比数列，
∴，可得，又，
化简得：，
那么{a n}的前10项和．
应选：C．
【点睛】此题考察了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．
6.执行如图的程序框图，那么输出的值是〔〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解．
【详解】解：模拟执行程序框图，可得
.
满足条件，执行循环体，；
满足条件，执行循环体，；
满足条件，执行循环体，；
满足条件，执行循环体，；
…
观察规律可知，x的取值周期为3，由于，可得：
满足条件，执行循环体，
当,不满足条件，退出循环，输出x的值是2．
应选：D．
【点睛】此题主要考察了循环构造的程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x的值是解题的关键．
的一批产品进展检测，得出每件产品中某种物质含量〔单位：克〕的频率分布直方图如下图.那么该物质含量的众数和平均数分别为〔〕
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图中最高小矩形得出众数落在第三组，从而求出众数的值，再根据每个小组的频率以及中间值求出频率分布直方图的平均数。

【详解】解：根据频率分布直方图得出众数落在第三组内，所以众数为；
含量在之间的频率为0.1,
含量在之间的频率为0.2,
含量在之间的频率为0.4,
根据概率和为1，可得含量在之间的频率为，所以频率分布直方图的平均数为。

应选C.
【点睛】此题考察频率分布直方图中众数和平均数的求法，属于根底题型。

，命题，那么以下命题正确的选项是〔〕
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数和函数零点分别判断命题p,q的真假，从而判断出复合命题的真假即可。

【详解】解：令，时，，所以f(x)在单调递增，
，p真；
令，，
，所以在恒成立，q假；应选C.
【点睛】此题考察利用导数研究函数最值，复合命题真假的判断，属于中档题。

9.一个几何体的三视图如下图，那么这个几何体的体积为〔〕
A. B. C. D.
【解析】
【分析】
由中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，分别求出柱体的底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．
【详解】解：由中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，
柱体的底面由一个边长为4的正方形和一个底边长为4，高为2的三角形组成，
故柱体的底面面积S＝4×4+×2×4＝20，
由三视图可知h＝6．
故柱体的体积V＝Sh＝120，
应选：B．
【点睛】此题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考察对三视图的理解与应用，主要考察三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据复原出实物图的数据，再根据相关的公式求外表积与体积．
，给出以下四个结论：
①函数的最小正周期是
②函数在区间上是减函数
③函数的图像关于点对称
④函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到
其中正确结论的个数是〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
先利用两角和与差的三角函数公式对函数化一，求解函数的周期判断①的正误；利用函数的单调性判断②的正误；利用函数y＝sin x的对称中心判断③的正误；利用函数的图象的变换判断④的正误；【详解】解：
①因为ω＝2，那么f〔x〕的最小正周期T＝π，结论正确．
②当时，，y=sin x在上不是单调函数，结论错误．
③因为f〔〕＝0，那么函数f〔x〕图象的一个对称中心为结论正确．
④函数f〔x〕的图象可由函数y＝sin2x的图象向左平移个单位得到．结论错误．
故正确结论有①③，应选B.
【点睛】此题考察了辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的周期性、对称性、单调性以及图象平移问题，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能，属于中档题。

与双曲线的一条渐近线的交点为为抛物线的焦点，假设，那么该双曲线的离心率为〔〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设出M坐标，利用抛物线的定义以及双曲线方程，转化推出a，c关系，即可得到双曲线的离心率．【详解】解：设M〔m，n〕，那么由抛物线的定义可得|MF|＝m+1＝2，
∴m＝1，∴n2＝4，∴，
将点代入双曲线的渐近线方程，
∴，∴，
应选：D．
【点睛】此题考察抛物线与双曲线的简单性质的应用，考察转化思想以及计算才能．
12.如图，正方体的棱长为为棱的中点，为棱上的点，且满足，点为过三点的面与正方体的棱的交点，那么以下说法错误的选项是〔〕
A.
B. 三棱锥的体积
C. 直线与面的夹角是
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平面与平面平行的性质判断A正误；通过等体积转换求解三棱锥的体积判断B的正误；通过作面的垂线求线面角判断C的正误；通过三角形相似判断D的正误。

【详解】解：A项:因为面AD1∥面BC1，且面AD1与面MBN的交线为FH，面BC1与面MBN的交线为BE，所以HF∥BE，A正确；
B项：
同理，
,B正确；
C项：，所以即为所求线面角，，C错；D项： ,
， D对。

应选C.
【点睛】此题考察面面平行的性质定理，等体积转换求解三棱锥的体积，线面角的求法，以及利用平行关系推导三角形相似进而利用相似比求线段长，比拟综合，属于中档题。

二、填空题〔将答案填在答题纸上〕
在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先对原函数求导，再令x=1解出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程。

【详解】解：令，，
切线方程为。

故填：。

【点睛】此题主要考察导数的几何意义，应用导数求切线方程。

满足条件，那么的最大值为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】
先作出不等式组对应的平面区域，利用目的函数的几何意义，求出最优解即可求最大值．
【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影局部〕．
由得，
平移直线，
由图象可知当直线经过(2,0)时，直线的截距最大，
此时z最大．
代入目的函数得．
即目的函数的最大值为4，
故填：4．
【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用目的函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的根本方法．
，与圆交于，且，那么的值是______．
【答案】10或者-30
【解析】
【分析】
首先利用垂径定理求出圆心到直线的间隔，再利用点到直线间隔公式求出a即可。

【详解】解：因为，圆心为，半径为r=5，
，由垂径定理得，所以圆心到直线的间隔为4。

故填：10或者-30.
【点睛】此题考察直线与圆的位置关系，直线与圆相交的垂径定理以及点到直线间隔公式的应用。

的前项和为，那么数列的前项和_____．
【答案】
【解析】
【分析】
解：两式作差，得，经过检验得出数列的通项公式，进而求得的通项公式，裂项相消求和即可。

【详解】解：
两式作差，得
化简得，
检验：当n=1时，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；
，，
令
故填：。

【点睛】此题考察求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n项和，解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论，侧重考察运算才能。

三、解答题〔解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕
中，角所对的边分别为，且.
〔Ⅰ〕求角；
〔Ⅱ〕假设为的中点，，求的面积.
【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕利用正弦定理把边化角，利用B的正切值求角；
〔Ⅱ〕先利用余弦定理解出BD，求出BC，再利用面积公式即可求解。

【详解】
〔Ⅰ〕
〔Ⅱ〕设
解得：
【点睛】此题考察正余弦定理综合应用，利用正弦定理边角互化到达化简的目的，利用余弦定理求三角形的边，以及面积公式的应用，属于根底题。

18.如图，四边形是矩形，平面平面
〔Ⅰ〕求证：平面平面；
〔Ⅱ〕假设线与面的夹角正弦值为，求几何体的体积.
【答案】〔Ⅰ〕见证明；〔Ⅱ〕
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕由条件推导出 ,由此能证明面，从而得到平面平面；〔Ⅱ〕作，通过与面夹角的正弦值求得，进而得到的值，再利用锥体体积公式求出体积即可。

【详解】〔Ⅰ〕证明：因为：四边形是矩形
又因为：平面平面，
面ABE
又因为：,
,面
又面
所以：面面
〔Ⅱ〕作于F,连结
那么为线DE与面ABCD的夹角
易求：
【点睛】此题考察面面垂直断定定理的应用，线面角的三角函数值求线段长，以及锥体体积公式，作出面的垂线是解题关键。

个城采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价: (单位:元/月)和购置总人数(单位:万人)的关系如表:
定价x〔元/月〕20 30 50 60
年轻人〔40岁以下〕10 15 7 8
中老年人〔40岁以
20 15 3 2
及40岁以上〕
购置总人数y〔万
30 30 10 10
人〕
〔Ⅰ〕根据表中的数据，请用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的回归方程;并估计元/月的流量包将有多少人购置?
〔Ⅱ〕假设把元/月以下(不包括元)的流量包称为低价流量包，元以上(包括元)的流量包称为高价流量包，试运用HY性检验知识，填写上下面列联表，并通过计算说明是否能在犯错误的概率不超过的前提下，认为购置人的年龄大小与流量包价格上下有关?
定价x〔元/月〕小于50元大于或者等于50元总计
年轻人〔40岁以下〕
中老年人〔40岁以及40
岁以上〕
总计
参考公式：其中
其中
参考数据：
【答案】〔Ⅰ〕38万人〔Ⅱ〕见解析
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕利用所给公式与参考数值即可求解回归方程，令代入即可求出此时y的估计值；〔Ⅱ〕根据流量包的定价和购置总人数的关系表中的数值填写上列联表，代入
，比拟它与6.635的大小即可。

【详解】〔Ⅰ〕，
所以：关于的回归方程是：
估计10元/月的流量包将有38万人购置；
大于或者等于50
定价x〔元/月〕小于50元
总计
元
年轻人〔40岁以下〕 25 15 40
中老年人〔40岁以及40岁以上〕35 5 40
总计 60 20 80
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为购置人的年龄大小与流量包价格上下有关。

【点睛】此题考察线性回归方程的求法，利用回归方程进展预测，以及HY性检验的内容，侧重考察计算才能，属于根底题。

的离心率为，椭圆截直线所得的线段的长度为.
〔Ⅰ〕求椭圆的方程；
〔Ⅱ〕设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，假设，断定四边形的面积是否为定值？假设为定值，求出定值；假如不是，请说明理由.
【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕见解析
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕根据椭圆截直线所得的线段的长度为，可得椭圆过点，结合离心率即可求得椭
〔Ⅱ〕分类讨论：当直线的斜率不存在时，四边形的面积为；当直线的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由得，代入曲线C，整理出k，m的等量关系式，再根据写出面积的表达式整理即可得到定值。

【详解】(Ⅰ)由解得
得椭圆的方程为.
〔Ⅱ〕当直线的斜率不存在时，直线的方程为或者，
此时四边形的面积为．
当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程
，
点到直线的间隔是
由得
因为点在曲线上，所以有
整理得
由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为
由得, 故四边形的面积是定值，其定值为．
【点睛】此题考察了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线间隔公式、面积计算公式、向量数量积的关系等根底知识与根本技能方法，考察了推理才能和计算才能，考察了分析问题和解决问题的才能，属于难题．
〔Ⅰ〕假设，讨论函数的单调性；
〔Ⅱ〕设，且有两个极值点，其中，求的最小值.〔注：其中为自然对数的底数〕
【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕最小值为.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕对函数求导，对a分情况讨论即可确定的单调区间；
〔Ⅱ〕先对求导，令导数式等于0由韦达定理求出两个极值点的关系，所以，整理，构造关于的函数，求导根据单调性确定最值即可。

【详解】〔Ⅰ〕的定义域是，
①当时，在，单调递增；在单调递减.
②当时，，在单调递增.
③当时，在，单调递增；在单调递减.
〔Ⅱ〕，
由题意得方程的两根分别为，且
所以，
那么
设，那么
当时，恒成立，所以在上单调递减，
所以，即的最小值为.
【点睛】此题考察导数的应用，根据导数求单调区间，函数的零点，以及构造函数求最值，考察学生的运算推理才能，属于难题。

22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为〔为参数〕，现以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
〔Ⅰ〕求圆的极坐标方程；
〔Ⅱ〕设是圆上的两个动点，且，求的最大值.
【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕先由参数方程写出直角坐标方程，再由代入化简即可得到圆的极坐标方程；〔Ⅱ〕先根据设出P,Q的极坐标，再对化一，求出的范围进而求出的最大值。

【详解】〔Ⅰ〕圆的直角坐标方程为，即，
所以圆的极坐标方程为，即.
(Ⅱ)设的极坐标为，，那么
，那么
,
又，所以，
所以当时，取最大值.
【点睛】此题考察参数方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标的应用，注意的范围，侧重计算才能的考察。

23.选修4-5：不等式选讲
函数.
〔Ⅰ〕假设，解不等式；
〔Ⅱ〕当时，函数的最小值为，务实数的值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕a=-2时，，f(x)的两个零点分别为-1和1，通过零点分段法分别讨论，去绝对值解不等式，最后取并集即可；
〔Ⅱ〕法一：时，，化简f(x)为分段函数，根据函数的单调性求出f(x)在处取最小值3，进而求出a值。

法二：先放缩，再由绝对值三角不等式求出f(x)最小值，进而求a。

【详解】(Ⅰ) 时，不等式为
①当时，不等式化为，，此时
②当时，不等式化为，
③当时，不等式化为，，此时
综上所述，不等式的解集为
〔Ⅱ〕法一：函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a＜2，即时，
所以f(x)min＝f〔〕＝－＋1＝3，得a＝－4＜2(符合题意)，故a＝－4.
法二：
所以，又，所以.
【点睛】此题考察绝对值三角不等式的解法，零点分段法化简分段函数，求分段函数的最值，表达了分类讨论的数学思想。

制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。