高二数学导数的综合运用试题答案及解析

高二数学导数的综合运用试题答案及解析
1.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增；若，则在这个区间内单调递减；对于若轴上方是导函数的图象，则下方的函数是单调递增，不符合；若轴下方是导函数的图象，则上方的函数是单调递减，不符合，其他三项符合．
【考点】函数的单调性与导数的关系．
2.设函数，曲线过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2．
（I）求a，b的值；（II）令,求的单调区间．
【答案】（I）；
（II）在（0,1）上单调递增，在上单调递减．
【解析】（I）先求出函数的导函数，再利用已知条件建立方程组，解之即可得到a，b的值；（II）先求出的表达式，再求出它的导函数，然后令导函数大于和小于0即可分别求出其单调增区间和单调减区间．
试题解析：（I）．由已知条件得，解得
（II）的定义域为，由（I）知
设则
当时，；当时，；所以在（0,1）上单调递增，在上单调递减．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
3.已知函数f（x）=﹣x3+x2+3x+a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[﹣3，3]上的最小值为，求a的值．
【答案】（1）单调减区间为（-∞，-1]和[3，+∞），单调减区间为[-1，3]．；（2）a=4．
【解析】（1）首先求出导数，利用导数的为正，为负，可得函数的单调增（减）区间；
（2）先用a的代数式表示出f（x）在区间[-3，3]上的最小值，由已知建立出关于a的方程，解此方程可求a的值．
试题解析：（1）∵f（x）=-x3+x2+3x+a，
∴f′（x）=-x2+2x+3，
令f′（x）＞0，得-1＜x＜3；令f′（x）＜0，得x＜-1或x＞3，
∴所求f（x）的单调减区间为（-∞，-1]和[3，+∞），单调减区间为[-1，3]．
（2）当x∈[-3，-1]时，f′（x）＜0，[-1，3]时，f′（x）＞0
∴f（x）≥f（-1）．+1-3+a=，∴a=4．
【考点】１．函数的单调性；２函数的最值．
4.函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断：
①；
②；
③函数在区间上是增函数。

其中正确的判断是（）
A．①③B．②C．②③D．①②
【答案】C
【解析】，由图可知时，为增函数知，所以有。

又由，所以有，，因为，所以，因为所以有,所以
,开口向上，对称轴为
，所以函数在区间上是是增函数。

【考点】导数在求函数极值及单调性中的应用
5.已知函数.
（1）试判断函数的单调性；
（2）设，求在上的最大值；
（3）试证明：对，不等式.
【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）=（3）见解析
【解析】（1）先求函数的定义域，再求出函数的导数,分别解出导数大于0和导数小于0的解集，就是函数的单调增区间和单调减区间；（2）由（1）知函数的单调性，利用分类整合思想，对区间端点与单调区间的分界点比较，利用函数的图像与性质，求出最大值即可；（3）由（1）知的在（0，+）的最大值，列出关于的不等式，通过变形化为对恒有，令对，即可得到所证不等式.
试题解析：（1）函数的定义域是：
由已知 1分
令得，，
当时，，当时，
函数在上单调递增，在上单调递减 3分
（2）由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减
故①当即时，在上单调递增
5分
②当时，在上单调递减
7分
③当，即时
综上所述，=. 9分
（3）由（1）知，当时， 10分
∴在上恒有，即且当时“=”成立
∴对恒有
即对，不等式恒成立； 12分
考点:常见函数导数，导数的运算法则，导数与函数单调性关系，利用导数求最值，利用导数证明
不等式，化归与转化思想，分类整合思想
6.已知函数的减区间是（-2，2）
（1）试求m,n的值；
（2）求过点且与曲线相切的切线方程；
（3）过点A(1,t)，是否存在与曲线相切的3条切线，若存在，求实数t的取值范围；若
不存在，请说明理由．
【答案】⑴m=1，n="0;" ⑵或;⑶存在, .
【解析】（1）由已知函数单调减区间为(-2,2)即为的解集为(-2,2)，利用根与系数的
关系求出m与n的值即可；（2）当A为切点时，利用导数的几何意义求出x=1处的切线的斜率，
，），这时
利用点斜式求出切线方程，化成一般式即可，当A不为切点时，设切点为P（x
的方程，即可求出切点坐标，最后求
切线的斜率是k=，将点A（1，-11）代入得到关于x
出切线方程；（3）存在满足条件的三条切线．设点P（x
，）是曲线f（x）=x3-12x的切点，
）将点A（1，t）代入，将t分离出来，根据
写出在P点处的切线的方程为y-=（x-x
有三条切线，所以方程应有3个实根，设g（x）=2x3-3x2+t+12，只要使曲线有3个零点即
可．建立不等关系解之即可．
试题解析：⑴由题意知：的解集为（-2，2），所以，-2和2为方程
3mx2+4nx-12=0的根，由韦达定理知，解得:m=1，n=0.
⑵∵，∴，∵
当A为切点时，切线的斜率，
∴切线为，即；
当A不为切点时，设切点为，这时切线的斜率是，
切线方程为，即
因为过点A（1，-11），，
∴，
∴或，而为A点，即另一个切点为，
∴，
切线方程为，即
所以，过点的切线为或.
⑶存在满足条件的三条切线.
设点是曲线的切点，
则在P点处的切线的方程为即
因为其过点A（1，t），所以，，
由于有三条切线，所以方程应有3个实根，
设，只要使曲线有3个零点即可．
设=0，∴分别为的极值点，
当时，在和上单增，
当时，在上单减，
所以，为极大值点，为极小值点.
所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当即，
解得：.
【考点】1.导数研究函数的单调性;2.导数研究曲线上某点切线方程.
7.设函数（），其导函数为.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，，求证：.
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）详见解析.
【解析】（1）求单调区间是常规问题，但需注意定义域先行，步骤是：①先求定义域；②后求导数；③令结合定义域得增区间，令结合定义域得减区间，最后结果一定要用区间表示；（2）掌握好执因索果，即分析法在此题中的应用，以及与基本不等式的结合.
试题解析：（1）当时，（）
令，即：，
解得：，所以：函数的单调增区间为，
同理：单调减区间为.
（2），所以：
，
下面证明，有恒成立，
即证：成立，
，只需证明：即可，
对此：设，
而
所以：.故命题得证.
【考点】1.导数的应用；2.不等式的证明方法；3.创设条件使用基本不等式.
8.若关于的不等式的解集中的正整数解有且只有3个，则实数的取值范围是．
【答案】.
【解析】原不等式可化为（其中，否则原不等式无解），令，则
，令，得且令有，且当
，所以的简图如图所示，当时，，当时，，当
时，，又且，要使不等式的解集中正整数有且只有3个，由图可知即
包含，，，所以只需，故.
【考点】导数的应用，数形结合思想.
9.已知函数（）．
（1）求函数的单调区间；
（2）请问，是否存在实数使上恒成立？若存在，请求实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）存在，=1。

【解析】（1）1、求定义域，2、求导数，然后令导数等于0，解出导函数根，再由,得
出的取值范围，则在此区间内单调递增，又由，得出的取值范围，则在此
区间内单调递减；（2）对于恒成立问题，一般要求出函数在区间内的最大值或最小值。

即恒成立，则，恒成立，则，本题要讨论的取值范围，再结
合函数的单调性即可求解。

试题解析：（1） 2分
当时，恒成立，
则函数在上单调递增 4分
当时，由得
则在上单调递增，在上单调递减 6分
（2）存在． 7分
由（1）得：当时，函数在上单调递增
显然不成立；
当时，在上单调递增，在上单调递减
∴,
只需即可 9分
令
则，
函数在上单调递减，在上单调递增．
∴， 10分
即对恒成立，
也就是对恒成立，
∴解得，
∴若在上恒成立，=1． 12分
【考点】1、利用导数研究函数的单调性问题；2、不等式恒成立问题；3、分类讨论思想
10.已知函数，,为自然对数的底数.
（I）求函数的极值；
（2）若方程有两个不同的实数根，试求实数的取值范围；
【答案】（I）极大值，极小值；（2）。

【解析】（I）利用导函数求解单调区间，根据单调区间求解极大极小值。

先减后增，极小值；先增后减，极大值。

（2）结合（I），并考虑与两个方向图像的变化，数形结合即可得解。

试题解析： 2分
令，解得或，列表如下 4分
－40
＋－＋
由表可得当时，函数有极大值；
当时，函数有极小值； 8分
（2）由（1）及当，；，大致图像为如下图（大致即可）问题“方程有两个不同的实数根”转化为函数的图像与的图像有两个不同的交
点， 10分
故实数的取值范围为． 13分
【考点】1、利用函数导数判断函数的单调性；2、数形结合法与函数单调性在求方程解中的综合
应用。

11.任何一个三次函数都有对称中心．请你探究函数,猜想它
的对称中心为_________．
【答案】(1,1)
【解析】,令，得x=1,代入原函数式，f(x)=1,可猜想它的对称中心为（1，1）．
【考点】导数的运算；二次求导．
12.设函数
（1）若时，函数有三个互不相同的零点，求的取值范围；
（2）若函数在内没有极值点，求的取值范围；
（3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）时，，有三个互不相同的零点，即有
三个互不相同的实数根，构造函数确定函数的单调性，求函数的极值，从而确定的取值范围；（2）要使函数在内没有极值点，只需在上没有实根即可，即
的两根或不在区间上；
（3）求导函数来确定极值点，利用的取值范围，求出在上的最大值，再求满足时的取值范围．
（1）当时，.
因为有三个互不相同的零点，所以，即有三个互不相
同的实数根.
令，则.
令，解得；令，解得或.
所以在和上为减函数，在上为增函数.
所以，.
所以的取值范围是.
（2）因为，所以.
因为在内没有极值点，所以方程在区间上没有实数根，
由，二次函数对称轴，
当时，即，解得或，
所以，或（不合题意，舍去），解得.
所以的取值范围是；
（3）因为，所以或，且时，，.
又因为，所以在上小于0，是减函数；
在上大于0，是增函数；
所以，而，
所以，
又因为在上恒成立，所以，即，即，在上恒成立.
因为在上是减函数，最小值为-87.
所以，即的取值范围是.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
13.已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．
【答案】(1) ， (2) 单调减区间是，单调增区间是
【解析】(1) 先求导，根据已知条件可得且，解方程组可得的值。

(2)由(1)可知，先求导并将其同分整理，令导数大于0可得增区间，令导数小于0得减区间。

(1) .
又在处有极值.
∴即
解之得且.
(2)由(1)可知，其定义域是，
且.
由，得；
由，得.
所以函数的单调减区间是，单调增区间是．
【考点】用导数求函数的单调性及极值问题。

14.已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值
范围；
（3）当时，求证：．
【答案】（1）在上递减，在上递增；（2）（3）
【解析】（1）时，。

先求导并通分整理，再令导数大于0得增区间，令导
数小于0得减区间。

（2）先求导，因为函数在处取得极值，则，可得的值。

对,恒成立等价于恒成立，令，求导，讨
论导数的符号，可得函数的单调性，根据单调性可得函数的最值，则。

（3）
，令，因为则只要证明在上单调递增。

即证在上恒成立。

将函数求导，分析其导数
的单调性，根据其单调性求最值，证得即可。

（1）
得0<x<,得x>
∴在上递减，在上递增.
（2）∵函数在处取得极值，∴，
∴，
令，可得在上递减，在上递增，
∴，即.
（3）证明：，
令，则只要证明在上单调递增，
又∵，
显然函数在上单调递增．
∴，即，
∴在上单调递增，即，
∴当时，有.
【考点】1用导数研究函数的单调性及最值；2转化思想。

15.设函数，．若当时，不等式恒成立，则实数
的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，单调递增，又为奇函数，原不等式可化为
，即，可变为，又，得，，
所以时恒成立．
【考点】利用导数判断函数的单调性，函数的奇偶性，不等式恒成立．
16.若，且函数在处有极值，则ab的最大值为．
【答案】9
【解析】，∵f(x)在x=1处取极值，∴，即a+b=6，根据基本不等式，∴ab的最小值为9.
【考点】导数的运用，基本不等式求最值.
17.函数
（1）时，求最小值；
（2）若在是单调减函数，求取值范围．
【答案】（1）f(x)最小值是1；（2）a≤.
【解析】(1)可以对f(x)求导，从而得到f(x)的单调性，即可求得f(x)的最小值；(2)根据条件“若f(x)在是单调减函数”，说明f”(x)<0在恒成立，而f’(x)=,参变分离后原题等价于
求使在恒成立的a的取值范围，从而把问题转化为求函数在上的最小值，而a的取值范围即a≤.
（1）时，，
时时，
∴f(x)在(0,1)单减，在单增，时有最小值1 6分
（2），在为减函数，则，即，当恒成立，∴最小值 9分
令，则，
12分
【考点】1、利用函数的导函数讨论函数的单调性；2、恒成立问题的处理方法.
18.已知函数的图象不经过第四象限，则实数的最小值是 .
【答案】
【解析】解得x=-2或1，易知当x=1取极小值，由图象知
≥0，即答案为，故最小值为.
【考点】函数的图象．
19.如图，把边长为10的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖六棱柱盒子，设其高为h，体积为V（不计接缝）.
（1）求出体积V与高h的函数关系式并指出其定义域；
（2）问当为多少时，体积V最大？最大值是多少？
【答案】（1）；（2）当时V有最大值.
【解析】（1）由题意知，可求出六棱柱的底边长为进而求出底面面积，用体积公式就可以得到六棱柱的体积表达式，再根据即可求出定义域；（2）再利用函数的单调性判断出函数取到最值时h的值，即可求出V的最大值．
解：（1）由题意知，六棱柱的底边长为（1分）
底面积为（3分）
由及得
∴体积
其定义干域为（6分）
（2）由
得（舍去）（8分）
（10分）
当时V有最大值. （12分）
【考点】1.函数的解析式和定义域；2.导数再求函数的最值中的应用．
20.设函数.
（1）若曲线在点处与直线相切，求a，b的值；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）首先对求导，得，利用导数的几何意义求出
和切点的意义可得，可得，即可解出a，b；（2）根据
，就方程是否有解，利用和展开讨论，得出单调区间.
解：（1）∵
因为曲线在点处与直线相切，
∵，（2分）即解得，（6分
（2）∵
若，即，，
函数在(－∞，＋∞)上单调递增（8分）
若，即，此时的两个根为
当或时
当时，（11分）
故时，单增区间为当，
单减区间为（13分）
【考点】1.导数的几何意义；2.导数研究函数的单调性.
21.设在x=1处有极小值－1，
(1)试求的值; (2)求出的单调区间.
【答案】(1);(2)单调增区间（－∞，－）和（1，+∞），减区间为（－，1).
【解析】(1)由已知x=1处有极小值-1，点（1，-1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b．(2)由（1）得到f（x）=x3－x2－x，（x）=3x2－2x－1=3（x+），分别解出函数的增减区
间.
（1）对函数求导得，由题意知即解之得（2）将（1）中求得的a,b代入得f（x）=x3－x2－x，（x）=3x2－2x－1=3（x+）（x－1）当（x）>0时，x>1或x<－，当（x）<0时，－<x<1∴函数f（x）的单调增区
间为（－∞，－）和（1，+∞），减区间为（－，1).
【考点】1、函数的单调性与导数；2、函数在某点取得极值的条件.
22.已知函数，，直线与函数的图像都相切，且与
函数图像的切点的横坐标为1，则的值为 ( )
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】对分别求导得，且，则直线斜率，设直线为且与的切点为，则，直线方程为与联立即，，因为，即，解得．
【考点】利用导数解决解析几何问题．
23.设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正
确的是 ()
【答案】D
【解析】经检验，A：若曲线为原函数图像，先减后增，则其导函数先负后正，正确；B：若一直
上升的图像为原函数图像，单调递增，则其导函数始终为正，正确；C：若下方的图像为原函数，单调递增，则其导函数始终为正，正确；D：若下方的函数为原函数，则由其导函数为正，可知
原函数应单调递增，矛盾，若上方的函数图像为原函数，则由其导函数可知，原函数应先减后增，矛盾，故选D.
【考点】导数的运用.
24.已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）时，在上单调递减；当时，单调递增区
间为和，单调递减区间为；时，在
上单调递增；（3）实数的取值范围为.
【解析】（1）当时，先确定，接着求出，进而求出，最后由直线的点斜式
即可写出所求的切线方程；（2）先确定函数的定义域，设，接着针
对这个二次函数开口方向及与轴正半轴有多少个交点的问题分、、三类进行讨论，进而确定各种情况下的函数的单调区间，最后将各个情况综合描述即可；（3）法一：先将
至少存在一个，使得成立的问题等价转化为：令，等价于“当
时，”，进而求取即可解决本小问；法二：设
，定义域为，进而将问题转化为等价于当时，
，从中对参数分、、、，进行求解即可.
函数的定义域为， 1分
（1）当时，函数，，
所以曲线在点处的切线方程为
即 4分
（2）函数的定义域为
1.当时，在上恒成立
则在上恒成立，此时在上单调递减 5分
2.当时，
（ⅰ）若
由，即，得或 6分
由，即，得 7分
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为
9分
（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递增 10分
综上可知：时，在上单调递减；当时，单调递增区间为和，单调递减区间为；时，在上单调递增（3）因为存在一个使得
则，等价于 12分
令，等价于“当时，”
对求导，得 13分
因为当时，，所以在上单调递增
所以，因此 16分
另解：设，定义域为
依题意，至少存在一个，使得成立
等价于当时， 11分
（1）当时
在恒成立，所以在单调递减，只要
则不满足题意 12分
（2）当时，令得
（ⅰ）当，即时
在上，所以在上单调递增
所以，由得，，所以 13分
（ⅱ）当，即时
在上，所以在单调递减
所以，由得 14分
（ⅲ）当，即时，在上，在上
所以在单调递减，在单调递增
，等价于或，解得，所以， 15分
综上所述，实数的取值范围为 16分.
【考点】1.导数在切线上的应用；2.函数的单调性与函数的导数；3.函数的最值与导数；4.分类讨论的思想.
25.已知函数．
（1）试求函数的递减区间；
（2）试求函数在区间上的最值．
【答案】（I）；（2）最大值为，最小值为．
【解析】（1）首先求导函数，然后再通过解不等式的符号确定单调区间；（2）利用（1）求得极值，然后与、的值进行比较即可求得最值．
（I）求导数得：
令即得：，
∴函数在每个区间上为减函数．
（2）由（I）知，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，
∴函数在处取极大值，在处取极小值，
∵，∴函数在区间上的最大值为，最小值为．【考点】1、导函数与函数的单调性；2、利用导数研究函数的最值；3、简单三角函数的解法．
26.已知函数，其中且m为常数．
（1）试判断当时函数在区间上的单调性，并证明；
（2）设函数在处取得极值，求的值，并讨论函数的单调性．
【答案】（1）在区间上为增函数，证明见解析；（2），在上单调递减，在单调递增．
【解析】（1）首先求导函数，然后根据区间判断的符号即可证明；（2）利用函数的极值点是导函数的零点通过建立方程可求得的值，然后再通过判断的符号确定单调区间．
（1）当时，，求导数得：．
∵当时，，∴，
∴当时函数在区间上为增函数．
（2）求导数得：．
由是的极值点得，∴．
于是，定义域为，，
显然函数在上单调递增，且，
因此当时，；时，，
所以在上单调递减，在单调递增．
【考点】1、导数的几何意义；2、导数与函数单调性的关系；3、利用导数研究函数的极值．
27.经销商用一辆型卡车将某种水果运送（满载）到相距400km的水果批发市场．据测算，
型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量（单位：）与速度（单位：km/h）的关系近
似地满足，除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300
元．已知燃油价格为7.5元/L．
（1）设运送这车水果的费用为（元）（不计返程费用），将表示成速度的函数关系式；（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，当时，；当时，
，由此能将表示成速度的函数关系式；（2）当时，
是单调减函数，取得最小值；当时，由导数求得当时，取得最小值，比较两个最小值即可求出运送这车水果的费用最少时卡车的速度．
试题解析：由（1）题意，当时，
．
当时，
，
所以．
（2）当时，是单调减函数，
故时，取得最小值．
当时，，
由，得，
当时，，函数单调递增．
所以当时,取得最小值．
由于,所以当时，取得最小值.
答：当卡车以的速度行驶时，运送这车水果的费用最少．
【考点】1、利用导数求闭区间上函数的最值；2、分段函数的应用；3、函数模型的选择与应用．
28.已知函数与函数在点处有公共的切线，设
.
（1）求的值
（2）求在区间上的最小值.
【答案】(1)；（2）当时，在上的最小值为
当时，在上的最小值为
当时，在上的最小值为.
【解析】(1)利用导数的几何意义，先求导，然后把x=1代入即可求出a的值；（2）由（1）可知，根据F（x）的函数形式，可以利用求导的方法来解决问题，在解题的过程
中要注意对参数m进行讨论.
试题解析：（I）因为所以在函数的图象上
又，所以
所以 3分
（2）因为，其定义域为
5分
当时，，
所以在上单调递增
所以在上最小值为 7分
当时，令，得到(舍)
当时，即时，对恒成立，
所以在上单调递增，其最小值为 9分
当时，即时，对成立，
所以在上单调递减，
其最小值为 11分
当，即时，对成立，对成立
所以在单调递减，在上单调递增
其最小值为12分
综上，当时，在上的最小值为
当时，在上的最小值为
当时，在上的最小值为.
【考点】(1)导数的几何意义；（2）导数在函数中的应用.
29.设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)
的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.
①求实数a，b的值；②求函数f(x)的极值．
【答案】①a＝3，b＝－12②－6
【解析】①∵f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，
∴f′(x)＝6x2＋2ax＋b.
由题意知，－＝－且6×12＋2a×1＋b＝0，
∴a＝3，b＝－12.
②由①知，f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1.
∴f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)
由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－2.
由f′(x)>0，得x>1或x<－2，由f′(x)<0，得－2<x<1.
∴f(x)在(－∞，－2)上递增，(－2,1)上递减，(1，＋∞)上递增．
∴当x＝－2时，f(x)取得极大值f(－2)＝21，当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝－6
30.函数y＝f（x）在定义域（－，3）内的图像如图所示．记y＝f（x）的导函数为y＝f¢（x），则不等式f¢（x）≤0的解集为( )
A．[－，1]∪[2，3）
B．[－1，]∪[，]
C．[－，]∪[1，2）
D．（－，－]∪[，]∪[，3）
【答案】A
【解析】由函数图像可知函数在单调递增，在上单调递减。

所
以得。

故A正确。

【考点】用导数研究函数的单调性。

31.已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上是减函数，求的取值范围.
【答案】（１）；（２）或
【解析】（1）当时，，可通过求函数的导数，从面得到切线的斜
率，然后由点斜式写出直线的方程；
（2）可先求出，则由在区间上是减函数可知在区间
上恒成立，可通过解不等式组获解.
试题解析：解：（１）
（２），然后对进行分类讨论的或
【考点】1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用.
32.如图所示是的导数的图像，下列四个结论：
①在区间上是增函数；
②是的极小值点；
③在区间上是减函数，在区间上是增函数；
④是的极小值点．其中正确的结论是
A．①②③
B．②③
C．③④
D．①③④
【答案】B
【解析】由导函数图象可知：①在区间上是先减再增；②在左侧是减函数，右侧是增函数，所以是的极小值点；③在区间上是减函数，在区间上是增函数；④是的极大值点；故②③正确.
【考点】导函数的应用.
33.，其中（）
A．恒取正值或恒取负值B．有时可以取0
C．恒取正值D．可以取正值和负值，但不能取0
【答案】D
【解析】由导数的概念可知是自变量x的增量，所以可以取正值和负值，但不能取0.
【考点】导数的概念.
34.已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）记函数的最小值为，求证：.
【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为；的单调递减区间为；
（Ⅱ）详见解析
【解析】（Ⅰ）先求导，再令导数等于0，讨论导数的正负得函数的增减区间。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值.令还是先求导再令导数等于0，讨论导数的正负得函数的单调区间，从而可求得此函数的最值。

试题解析：解：
的定义域为.
. 2分
令，解得或（舍）.
当在内变化时，的变化情况如下：
由上表知，的单调递增区间为；的单调递减区间为.
5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值. 6分
令，则.
令，解得. 8分
当在内变化时，的变化情况如下：
所以函数的最大值为，即.
因为，所以. 11分
【考点】1导数；2利用导数判断函数的单调性；3利用单调性求最值。

35.若函数在内单调递增，则的取值范围为()
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，由函数在上单调递增，可知在恒成立，即在恒成立，而在上单调递减，所以，故选A.
【考点】1.导数在单调性上的应用；2.不等式的恒成立问题.
36.已知可导函数的导函数满足＞，则不等式的解集是．【答案】.
【解析】因为.又因为＞所以，即函数是递增的.
又因为.即.所以x>1.本题的关键是由＞要构造出函数.通过
该函数的单调性即可得到结论.
【考点】1.导数知识.2.构造出新的函数.3.根据函数的单调性.
37.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为元，则销售量（单位：件）与零售价（单位：元）有如下关系：，问该商品零售价定为多少元时毛
利润最大，并求出最大毛利润．（毛利润销售收入进货支出）
【答案】零售价定为每件元时，有最大毛利润为元．
【解析】根据题意可知，毛利润销售收入进货支出，则毛利润与零售价的函数关系为
，再利用导数求出
函数的最大值．
试题解析：由题意知
．
令，得或（舍）．
此时．
因为在附近的左侧，右侧，
是极大值．
根据实际意义知，是最大值，即零售价定为每件元时，有最大毛利润为元．
【考点】本题考查了导数在解决实际问题中的应用，以及导数在函数问题中的应用．
38.已知是定义在上的奇函数，，则不等式的解集是
【答案】。