河南省信阳高级中学高二数学下学期第一次月考试题新人教A版

命题人：熊成兵
第I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每題给出的四个选中，只有一项是符合题目要求）
1．函数y=3cos 2
x+sinxcosx-2
3
的周期是( ) A.
4π B.2
π
C.π
D.2π 2．若点P 是曲线2
ln y x x =-上一点，且在点P 处的切线与直线2y x =-平行，则点P 的横坐标为 ( )
A. 1
B.2
C.
2
2
D.3 3．函数f (x )＝e x
＋3x 的零点个数是
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 4．函数3
()f x x x =-在[0,1]上的最大值为（ ）
A ．
38 B ．229 C ．329 D ． 239
5．函数x
x y |
|lg =
的图象大致是（ ）
6．抛物线 2
2y x -= 的准线方程是( ）. A ．21=
y B.81=y C ．41=x D.8
1=x 7．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3
2
，则双曲线12222=-b x a y 的离心率为
A 3
B 5
C 7
D ．2
8．
224
2cos 1x dx π
π
-
-=⎰
（ ）
A ．
32 B ．12
C ．3
D ．1 9．下列说法错误．．
的个数为（ ） ①命题“若042>-ac b ，则一元二次方程02=++c bx ax 有实根”的逆否命题是真命题 ②“x 2
－3x ＋2＝0”是“x ＝2”的必要不充分条件
③命题“若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零”的否定是：“若xy ≠0，则x ，y 都不为零”
④命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0；则⌝p ：∀x ∈R ，均有x 2
＋x ＋1>0 ⑤若命题⌝p 为真，q ⌝为假，则命题q p ∧⌝为真，q p ⌝∨为假 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA⊥平面ABC ，SA=23，AB=1，AC=2，∠ BAC=60°，则球O 的表面积为
A. 4π
B. 12π
C. 16π
D. 64π
12．定义在R 上的函数f(x)满足f(4)=1，'f (x)为f (x)的导函数，函数'f (x)的图象如图所示。

若两正数a,b 满足f(2a+b)<1，则
2
2
++a b 的取值范围是( )
A. 11,32⎛⎫
⎪⎝⎭ B. ()1,3,2⎛
⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝
⎭ C. 1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. (),3-∞-
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上） 13．已知点P 在曲线3
2
313+-=
x x y 上移动，若经过点P 的曲线的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是
14．已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且
,511=+b a ,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______.
15类比正弦定理，如图，在三棱柱111C B A ABC -中，二面角C AA B --1、A BB C --1、A
CC B --1所成的平面角分别为α、β、γ，则有 ．
N
M
P
C 1
B 1
A 1 C
B A
16.函数()f x ()x ∈R 满足(1)1f =，1()2
f x '<，则不等式22
1()22x f x <+的解为______.
三、解答题（本大题共6题，共70分，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
如图,已知四棱锥P ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA ⊥面ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,.
（1）求证：MN //面PAD ；
（2）若5MN ,3AD =，求二面角N AM B 的余弦值.
18．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4
cos 5
A =。

（1）求2
sin
cos 22
B C
A ++的值； （2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值。

19．（本小题满分12分）
数列{}n a 的前n 项和记为Sn ，已知a 1=1,Sn=1
·2++n a n n
,（n=1，2，3，……）
（Ⅰ）求数列
{}n S 的通项公式；
（Ⅱ）设Tn=S 1+S 2+S 3+……+S n ，求Tn 20．（本小题满分12分）
已知函数2
()2ln(1),f x ax x a R =+-∈其中。

（1）是否存在实数a ，使得1
()2
f x x =
在处取极值？试证明你的结论； （2）若1
()[1,]2
f x -在上是减函数，求实数a 的取值范围。

21．（本小题满分12分）
已知A 1，A 2，B 是椭圆22
22x y a b
+＝1（a>b>0）的顶点（如图），直线l 与椭圆交于异于顶点的
P ，Q 两点，且l ∥A 2B ，若椭圆的离心率是
3
2
，且｜A 2B ｜＝5。

（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线A 1P 和直线BQ 的倾斜角分别为α，β，试判断α＋β是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由。

22．（本小题满分12分）
已知函数()2
ln bx x a x f -=图象上一点P (2,f (2))处的切线方程为22ln 23++-=x y .
(Ⅰ)求b a ,的值;
(Ⅱ)若方程()0=+m x f 在1
[,e]e
内有两个不等实根,求m 的取值范围(其中e 为自然
对数的底,e 2.7≈);
(Ⅲ)令()()g x f x nx =-,如果()x g 图象与x 轴交于()()()21210,,0,x x x B x A <,AB 中点为()0,0x C ,求证:()00g x '≠.
在Rt △NEM 中，5MN
,3ME AD ==，得224NE MN ME =-=，
在Rt △MEA 中，3
2
AE
，得2235
AM ME AE =+=
，
19．
20．【解析】
2 (1)()(,1),'()2.
1
f x f x ax
x
-∞=-
-的定义域为
2
1
().2
1
'()40,4
2
22(21),'()81111
,'()0;1,'()0
2211
(),,()22
1
(2):[1,],'()0,
22
'()020
1()0,a f x x f a a x f x x x x
x f x x f x x f x a f x x x f x f x ax x
i x =
=-=∴=--=-=
--<<<<<∴==∈-≤≤⇔-≤-=假设存在实数，使在处取极值则此时当时当时不是的极值点故不存在实数使在处取极值.
依题意知当时恒成立当时不等1
.()10,,
(1)
ii x a x x -≤<≥-式显然成立当时
2211
10,(1)()[2,0),
24
111,.(1)2(1)
1111
0,(1)()(0,]
2244114,4,,4.(1)2
x x x x a x x x x x x x x a a x x -≤<∴-=--+∈-∴≤---<≤∴-=--+∈∴≥∴≤-≤≤-时综上可知为所求 方法2：由2
'()201f x ax x
=-
≤-在1[1,]2-上恒成立得210ax ax -+≥在1[1,]2-上恒成立
令2
()1g x ax ax =-+ ()0I a =，符合题意
()04102a II a g >⎧⎪
⇒<≤⎨⎛⎫≥ ⎪
⎪⎝⎭
⎩ ()0
1()0
102a II a g <⎧⎪⇒-≤<⎨-≥⎪⎩综上可得，a 的取值范围为142
a -≤≤
22．解(Ⅰ)()2a f x bx x '=-,()242
a
f b '=-,()2ln 24f a b =-. ∴
432
a
b -=-,且ln 2462ln 22a b -=-++. 解得a =2,b =1.
(Ⅱ) ()22ln f x x x =-,令()2()2ln h x f x m x x m =+=-+,
则()222(1)
2x h x x x x -'=-=,令()0h x '=,得x =1(x =-1舍去).
在1[,e]e 内,当x ∈1
[,1)e
时,()0h x '>,∴h (x )是增函数;
当x ∈(1,e]时,()0h x '<,∴h (x )是减函数.
则方程()0h x =在1
[,e]e 内有两个不等实根的充要条件是1
()0,e (1)0,(e)0.
h h h ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩
≤≤
即21e 2m <-≤.。