生活中的优化问题举例教学课件

解决优化问题的基本思路：
优化问题
用函数表示 的数学问题
优化问题 的答案
用导数解决数 学问题
当0＜r＜3时，利润为负值； y
当r＝3时，利润为零；
当r＞3时，利润为正值，
2
并随着瓶子半径的增大, 0
36 x
利润也相应增大
探究三 磁盘的最大存储量问题
【背景材料】计算机把信息存储在磁盘上，磁盘 是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式 化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心 圆轨道，扇区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁 道上的定长的弧可作为基本存储单元，根据其磁 化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常 称为比特，磁盘的构造如图所示.
找模型 函数思想
求最值
探究（二）：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
【背景材料】某制造商制造并出售球形瓶装 的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分， 其中r(单位：cm)是瓶子的半径。
已知每出售1mL的饮料，制造商可获利 0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半 径为6cm
【合作探究】
思考1:1mL饮料所占的体积是多少cm3？ 把半径为r的瓶子装满，能装多少mL的饮料？
学习目标
1.了解导数在解决实际问题中的作用;
2.掌握利用导数解决生活中的简单的优化问题 （重难点）
探究（一）：海报版面尺寸的设计
【背景材料】学校或班级举行活 动，通常需要张贴海报进行宣传。 现让你设计一张如图所示的竖向 张贴的海报，要求版心面积为 128dm2，上、下两边各空2dm， 左、右两边各空1dm。
x 2x 512 8 ( x 0)
变形
x
S'(x) 2 512 2(x 16)(x 16)
x2
x2
令S'(x) 0：x 16或x 16(舍)
探究（一）：海报版面尺寸的设计
当0<x<16时，S’(x)<0，S(x)递减； 当x>16时，S’(x)>0，S(x)递增 ∴x=16是S(x)的极小值点，也是最小值点
此时，宽为 128 128 6 x 16
答：当版心高为16dm，宽为8dm时， 海报四周的空白面积最小。
求 S(x) 2x 512 8(x 0) 的最小值， x
除了“导数法”，还有其他方法吗？ 基本不等式
解后反思：通过本题的解答，可以总结出 解决生活中的优化问题的基本思路吗？
设变量
数学 建模
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须 大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n.为 了数据检索的方便，磁盘格式化时要求所有磁 道具有相同的比特数.
R
r
思考1：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径 介于r与R的环形区域，且最外面的磁道不存储任何信 息，那么这张磁盘的磁道数最多可达多少？
思考2：由于每条磁道上的比特数相同，那么这张磁盘 存储量的大小取决于哪条磁道上的比特数？
S(x) 2x 512 8(x 0) x
x
思考4：海报四周空白的面积S(x)是否
存在最小值？若存在，如何求？
思考5：如何设计海报的尺寸,才能使 四周空白面积最小？
探究（一）：海报版面尺寸的设计
解白面:设积版为心的高S为( xx)dm(,x则版4)心(12的8宽 2)1d2x1m82,8此时四周空
思考2:每瓶满装的饮料的利润(单位:分)是多少？ 思考3：设每瓶满装饮料的利润为f(r)， 则函数f(r)的定义域是什么？
思考4：函数f(r)是否存在最大值和最小值？ 若存在，如何求？
思考5：函数
f
(r
)
0.8
r3 3
r2 ,0 r
6
的大致图象是什么？据图象分析，瓶子半径的
大小对制造商的利润产生什么影响？
探究（一）：海报版面尺寸的设计
思考1：版心面积为定值128dm2， 海报的面积是否也为定值？
思考2：设版心的高为x，
则海报的面积为多少？
x 4128 2
x
x
海报四周空白的面积为多少？
x 4128 2 128
x
探究（一）：海报版面尺寸的设计
思考3：设海报四周空白的面积为S(x)， 则S(x)的最简表达式如何？ 其定义域是什么？
特别地，函数在定义域内有唯一的极值， 则此极值即为对应的最值
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高 等问题，这些问题通常称为优化问题。
解决优化问题的本质就是求函数的最值，因此， 以函数为载体、导数为工具，解决生活中的优化 问题，是数学应用领域的一个重要课题。
本节课，我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题。
高中数学选修2-2
生活中的优化问题举例
问题提出：
1.在什么条件下，函数f(x)在闭区间[a,b]上一定存在 最大值和最小值？ 函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线
2.若在[a,b]上，y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线， 则如何求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值？
将函数f(x)在开区间（a，b）上的所有极值与区间端点函 数值进行比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值.
思考3：要使磁盘的存储量达到最大，那么最内 一条磁道上的比特数为多少？
思考4：这张磁盘的存储量最大可达到多少比特？
思考5：若R为定值，r为变量，那么这张
磁盘的存储量 f (r) 2 r(R r)(0 r R)
如何变化？有何最值？mn
课后思考：如果每条磁道存储的信息与磁道的长
度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？此时，是