2020—2021年最新高考总复习数学(理)第二次模拟考试试题及答案解析六.docx

2019年高三年级第二次统一练习
数学试卷（理科）
（满分150分，考试时间120分钟）2018.5
考生须知：
1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出
的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
（1）复数i
1i =
-
E D
C
B A
O
A ．1i 2
2
+B ．1i 2
2
-+
C ．1i 2
2
--D ．1i 2
2
-
（2） 已知双曲线2
2:1C mx
ny -=的一个焦点为(5,0)F -，实轴长为6，则
双曲线C 的渐近线方程为
A ．43
y x =± B.
34y x =± C.53
y x =±
D.35
y x =±
(3) 若,x y 满足2,
10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩
则2z x y =-的最小值为
A ．4 B. 1C.0D.1
2
-
（4）设,αβ是两个不同的平面，b 是直线且.b β⊂“b α⊥”是“αβ⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
（5）如图，过点A 和圆心O 的直线交O e 于,B C 两点(AB AC <)，AD 与O e 切于点D ，DE AC ⊥于.E 35,AD =3AB =，则
BE 的长度
为
A. 1
B. 2
C. 2
D. 5
（6）执行如图所示的程序框图， 如果输出的S 值为3，则判断框
是 0,1S i ==
1i i =+ 2i S S =+
内应填入的判断条件为 A.2i < B.3i < C ．4i < D ．5i <
（7）已知函数f (x)是定义在[3,0)(0,3]-U 上的奇函数，当(0,3]x ∈时，f (x)的图象如图所示，那么满足不等式()21x f x ≥-的x 的取值范围是
A.[3,2][2,3]--U
B.[3,2](0,1]--U
C.[2,0)[1,3]-U
D.[1,0)(0,1]-U
（8）将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如
图所示.设正八角星的中心为O ，并且12,.OA e OB e ==uu r u r uu u r u r
若将点O 到正八角
星
16个顶点的向量，都写成为12,,R e e λμλμ+∈u r u r
的形式，则λμ+的最大值
为
A ．
2
B. 2
C. 12+
D.2
2
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
俯视图
侧（左）视图
11
1
正（主）视图1
1
D
C
B
A
e 2
e 1
B
A
O
二、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）已知n S 是等比数列}{n a (n *∈N )的前n 项
和，若
314S =，公比2q =，则数列}{n a 的通项公式
n a =.
（10）在极坐标系中，O 为极点，点A 为直线
:sin cos 2l ρθρθ=+上一点，则||OA 的最小值为________.
(11)如图，点D 是ABC ∆的边BC 上一点，
7,2,1,45.
AB AD BD ACB ︒
===∠=那么 ADB ∠=___________;AC =____________.
(12) 某三棱锥的三视图如图所示，则该
三棱
锥中最长棱的棱长为_________.
（13）2016年3月12日，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕.活动设置了“三馆两园一带一谷”七大板块.“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“一带”即草莓休闲体验带；“一谷”即延寿生态观光谷.某校学生准备去参观，由于
时间有限，他们准备选择其中的“一馆一园一带一谷”进行参观，那么他们参观的不同路线最多有______种. （用数字作答）
（14）已知数列{}n a 中，1(01),a a a =<≤*11,1,().3
,(1),2n n n n n a a a n a a +->⎧⎪=∈⎨-+≤⎪⎩
N ①若31,6
a =则a =_________；
②记12...,n n S a a a =+++则2016S =____________.
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（15）（本小题满分13分）
已知函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示.
（Ⅰ）写出函数()f x 的解析式及0x 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[, ]4
4
-上的
最大值与最小值.
（16）（本小题满分13分）
为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试. 现从两校各随机抽取10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：
甲校乙校
5 1 9 1 1 2
4 3 3 8 4 7
7 4 3 2 7 7 8
8 6 5 7 8
（I）比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论）
（II）如果将数学基础采用A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如下表：（满分100分，所有学生成绩均在60分以上）测试成绩[85,100][70,85)(60,70)
基础等级 A B C
假设每个新生的测试成绩互相独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基
C 1
B 1
A 1
F E
D
C
B
A
础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率.
（17）（本小题满分14分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，BC 垂直 于正方形
11
A ACC 所在平面，
2,1AC BC ==，
D 为AC 中点，
E 为线段1BC 上的一点
（端点除外）， 平面1AB E 与BD 交于点F .
（I ）若E 不是1BC 的中点，求证：1//AB EF ;
（II ）若E 是1BC 的中点，求AE 与平面D BC 1所成角的正弦值; （III ）在线段1BC 上是否存在点E ，使得1,A E CE ⊥若存在，求出1
BE
EC 的值，
若不存在，请说明理由.
（18）（本小题满分13分）
已知函数()e ax f x =，2()(,,)g x x bx c a b c =-++∈R ，且曲线()y f x =与曲线
()y g x =在它们的交点(0,)c 处具有公共切线. 设()()()=-h x f x g x .
（I ）求c 的值，及,a b 的关系式；
（II ）求函数()h x 的单调区间；
（III ）设0a ≥，若对于任意12,[0,1]x x ∈，都有12()()e 1h x h x -≤-，求a 的取值范围．
（19）（本小题满分13分）
已知椭圆M ：()22
2210x y a b a b
+=>>的焦距为2，点(
)0,
3
D 在椭圆M 上，
过原点O 作直线交椭圆M 于A 、B 两点，且点A 不是椭圆M 的顶点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，点C 是线段AH 的中点，直线BC 交椭圆M 于点P ，连接AP ．
（Ⅰ）求椭圆M 的方程及离心率； （Ⅱ）求证：AB AP ⊥.
（20）（本小题满分14分）
定义{}123max n x ,x ,x ,,x L 表示123n x ,x ,x ,,x L 中的最大值. 已知数列1000=
n a n ，2000
=n b m
，1500=n c p ，其中200++=n m p ，=m kn ，
,,,∈n m p k *N .记{}max n n n n d a ,b ,c =.
（I ）求{}max n n a ,b ；
（II ）当2=k 时，求n d 的最小值； （III ）∀∈k *N ，求n d 的最小值.
数学试卷参考答案及评分标准（理科）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
题
1 2 3 4 5 6 7 8
号
B A D A
C B B C
答
案
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）*
n n∈（10）2（11）120︒;6
2(N)
（12）5（13）144 （14）1;1512
3
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（15）（本小题满分13分）
解：（I ）023()2sin(2),.324
f x x x ππ=+=…………………7分
（II ）由ππππ5π
[, ],2[, ]44366
x x ∈-+∈-， ……………………9分
当π236x π+=-时，即4x π=-，min ()()1;4
f x f π
=-=- 当232x ππ+=时，即12x π=，max ()() 2.12
f x f π
==……………………13分
（16）（本小题满分13分）
解： （I ）两校新生的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新生的数学测试样本成绩的方差小于乙校新生的数学测试样本成绩的方差. ……………………6分
（II ）设事件D =“从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级”.
设事件1E =“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为A ”，11(),5
P E =
设事件2E =“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B ”，27
(),10
P E =
设事件1F =“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B ”，13(),10
P F =
设事件2F =“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为C ”，23(),10
P F =
z y
x
C 1
B 1
A 1
F E D
C
B A
G
根据题意，111222,D E F E F E F =⋃⋃所以
111222111222()()()()()()()()()()P D P E F P E F P E F P E P F P E P F P E P F =++=++
13137333
5105101010100
=⨯+⨯+⨯=
. 因此，从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率为33
.100
……………………13分
（17）（本小题满分14分）
（I ）证明：连接C B 1，交1BC 于点G ，连接GD .
在三棱柱111C B A ABC -中， G 为1B C 中点,
且D 为AC 中点， 所以1//GD AB . 因为1GD BC D ⊂平面,
D
BC AB 11平面⊄所
以11//AB BC D 平面 (2)
分
由已知，平面1AB E 与BD 交于点F ， 所以1F AB ∈平面，E 从而1EF AB EF ⊂平面， 又1EF BC D ⊂平面， 所以11BC D AB EF EF =I
平面平面,
所以1//AB EF .……………………4分
(II) 建立空间直角坐标系11C ACB -如图所示.
11(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),1
(0,2,1),(0,0,1),(0,1,),(1,2,0).
2
A A C C
B B E D 1
111(2,1,),(0,2,1),(1,2,0)2
AE C B C D =--==u u u r u u u r
u u u u r .
设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =r
由110,0,n C B n C D ==r u u u r r u u u u r g g 得20,20.
y z x y +=⎧⎨+=⎩, 令1,y =,得(2,1,2)n =--r
.……………………6分
421
cos ,.63||||
AE n AE n AE n <>==u u u r r
u u u r r g u u u r r (8)
分
所以，AE 与平面1BC D 所成角的正弦值为
421
63
.……………………9分
(III) 在线段1BC 上存在点E ，使得1,A E CE ⊥且
11
4
BE EC =.理由如下： 假设在线段1BC 上存在点E ，使得1,A E CE ⊥设11(0,,)E y z ,
1
(0)BE
EC λλ=>.则1BE EC λ=⋅u u u r u u u u r
,1111(0,2,1)(0,,)y z y z λ--=--.
112,11,
1y z λ
λ⎧=⎪⎪+⎨
⎪=⎪+⎩
21(0,,)11E λλ++. ………………11分
121(2,,)11A E λλ=-++u u u r ，21(0,,)11CE λλλ-=++u u u r .
22
410(1)(1)
λλλ-+=++, 解得: 1
4λ=. ………………13分 所以，在线段1BC 上存在点E ，使得1,A E CE ⊥且
11
4
BE EC = (14)
分
（18）(本小题满分13分）
解：（I ）因为函数()e ax f x =，2()=-++g x x bx c ，
所以函数'()e ax f x a =，'()2=-+g x x b . 又因为曲线()y f x =
与曲线()y g x =在它们的交点(0,)c 处具有公共切线，
所以(0)(0),'(0)'(0)=⎧⎨=⎩f g f g ，即1,.c a b =⎧⎨=⎩
(4)
分
（II ）由已知，2()()()e 1ax h x f x g x x ax =-=+--. 所以'()e 2ax h x a x a =+-.
设()'()e 2ax F x h x a x a ==+-，所以2'()e 2ax F x a =+，
∀∈a R ，'()0>F x ，所以'()h x 在(,)-∞+∞上为单调递增函数. (6)
分
由（I ）得，'(0)'(0),f g =所以'(0)'(0)'(0)0h f g =-=，即0是'()h x 的零点.
所以，函数()h x 的导函数'()h x 有且只有一个零点0．…………………………7分
所以'()h x 及()h x 符号变化如下，
x
(,0)-∞
0 (0,)+∞
'()h x
- 0
+ ()h x
↘
极小值
↗
所以函数
()
h x 的单调递减区间为(,0)
-∞，单调递增区间为
(0,)+∞.……………9分
（III ）由（II ）知当[0,1]x ∈ 时，()h x 是增函数. 对于任意12,[0,1]x x ∈，都有12()()e 1h x h x -≤-等价于
max min ()()(1)(0)e e 1a h x h x h h a -=-=-≤-，
等价于当0a ≥时，()e (e 1)0a G a a =---≤，
因为'()e 10a G a =-≥，所以()G a 在[0,)+∞上是增函数，
又(1)0G =，所以[0,1]a ∈. ……………13分
（19）（本小题满分13分）
解：（I ）由题意知1,c =3b =，则2224a b c =+=，
所以椭圆M 的方程为22
143
x y +=，椭圆M 的离心率为12. (5)
分
（II ）设0011(,),(,)A x y P x y ，则0000(,),(,).2
y
B x y
C x --
由点,A P 在椭圆上，所以2200143x y +=①22
11143
x y +=②
点A 不是椭圆M 的顶点，②-①得
221022
103
4
y y x x -=-- . 法一：又010
010
00
3
32,,24PB BC
y y y y k k x x x x +===+且点,,B C P 三点共线， 所以
100
100
34y y y x x x +=+, 即
0100104().3()
y y y x x x +=+ 所以，2201010101022
010*******()4()43()1,3()3()34
AB PA y y y y y y y y y k k x x x x x x x x x -+--====⨯-=--+--g g g 即 AB AP ⊥.
……………13分
法二： 由
已
知
AB
与
AP
的斜率都存在，
22
101010
22
10101
0PA PB y y y y y y k k x x x x x x -+-=
=
-+-g g 221022103
()
3
44
x x x x --==--
又00
3,4PB BC y k k x ==得00
,PA x k y =- 则000
()1AB PA y x k k x y -==-g g ，
即 AB AP ⊥. ……………13分
（20）（本小题满分14分）
解：（I ）由题意，{}10002000max max n n a ,b ,n
kn ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭， 因为
1000200010002--=(k )
n kn kn
， 所以，当1=k 时，10002000<n kn
，则{}2000
max n n n a ,b b n ==，
当2=k 时，10002000=n kn
，则{}1000
max n n n a ,b a n ==，
当3≥k 时，
10002000>n kn
，则{}1000
max n n n a ,b a n ==. (4)
分
（II ）当2=k 时，{}{}10001500max max max 2003n n n n n n d a ,b ,c a ,c ,n n ⎧⎫
===⎨
⎬-⎩⎭
， 因为数列{}n a 为单调递减数列，数列{}n c 为单调递增数列， 所以当
100015002003=-n n
时，n d 取得最小值，此时400
9=n .
又因为400
44459
<
<， 而{}44444444250max 11d a ,c a ===，4545300
13
d c ==，有4445<d d . 所以n d 的最小值为
250
11
. ……………8分
（III ）由(II)可知，当2=k 时，n d 的最小值为250
11
. 当1=k 时，{}{}2000750max max max 100n n n n n n d a ,b ,c b ,c ,n n ⎧⎫
===⎨
⎬-⎩⎭
. 因为数列{}n b 为单调递减数列，数列{}n c 为单调递增数列， 所以当
2000750100=-n n
时，n d 取得最小值，此时800
11=n .
又因为800
727311
<<， 而72722509==
d b ，7373250
9
==d c . 此时n d 的最小值为250250250
9911
,>. ⑵当3≥k 时，
150********
200(1)200450≥=-+--k n n n
，>n n a b ，
所以{}{}1000375max max max 50n n n n n n d a ,b ,c a ,c ,n n ⎧⎫
==≥⎨⎬-⎩⎭
. 设1000375max 50n h ,n n ⎧⎫
=⎨
⎬-⎩⎭
， 因为数列{}n a 为单调递减数列，数列375
{}50-n
为单调递增数列， 所以当
100037550=-n n
时，n h 取得最小值，此时400
11=n .
又因为400
363711
<<， 而36362509
h a ==
，37375250375
13913h ,=<. 此时n d 的最小值为
2502502509911
,>. 综上，n d 的最小值为44250
11
=d . ……………
14分。