2017-2018学年人教A版高中数学选修4-4模块检测

模块检测
一、选择题
1.极坐标方程 θ＝(ρ∈R )表示的曲线是( ) A.两条相交直线 B.两条射线 C.一条直线
D.一条射线
解析 由 θ＝，解得θ＝或θ＝π，又ρ∈R ，故为两条过极点的直线. 答案 A
2.过点P (4，3)，且斜率为的直线的参数方程为( ) (t 为参数) (t 为参数) (t 为参数)
(t 为参数)
解析 因为倾斜角α满足 α＝，所以 α＝， α＝，所以所求参数方程为(t 为参数). 答案 A
3.如图所示，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A 1(4，0，5)，C 1，则此长方体外接球的体积为( )
解析 A 1，C 1的直角坐标分别为A 1(4，0，5)，C 1(0，6，5)，所以＝4，＝6，1＝5，所以长方体外接球的半径R ＝＝.所以外接球体积V ＝πR 3
＝π＝π. 答案 B
4.圆ρ＝5 θ－5 θ的圆心的极坐标是( )
解析 ρ＝5 θ－5 θ两边同乘以ρ，得ρ2
＝5ρ θ－5ρ θ，即x 2
＋y 2
－5x ＋5y ＝0，故圆心的直角坐标为，半径为5，结合该点的位置知该点的一个极坐标是. 答案 A
5.将曲线＋＝1按φ：变换后的曲线的参数方程为( ) θ＝2 θ)) θ＝ 2 θ)) θ＝1
2
θ))
θ＝
2
2
θ))
解析 ＋＝1→＋＝1→(x ′)2＋(y ′)2
＝1→θ，,2y ′＝ θ))→θ，′＝2
2
θ)) 即θ，＝2
2
θ，))故选D. 答案 D
6.化极坐标方程ρ2
θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )
2
＋y 2
＝0或y ＝1 ＝1 2
＋y 2
＝0或x ＝1
＝1
解析 由ρ2
θ－ρ＝0，得ρ(ρ θ－1)＝0，又ρ＝，x ＝ρ θ，∴x 2
＋y 2
＝0或x ＝1. 答案 C
7.柱坐标对应的点的直角坐标系是( ) A.(，－1，1) B.(，1，1) C.(1，，1)
D.(－1，，1)
解析 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式θ＝ρ θ＝z ))，可得.故应选C. 答案 C
8.已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6 θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，直线l 的参数方程为(t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所得弦长为( ) A.1 B.2 C.3
D.4
解析 曲线C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－6y ＝0，即x 2
＋(y －3)2
＝9， 直线的直角坐标方程为x －2y ＋1＝0， ∵圆心C 到直线l 的距离d ＝＝. ∴直线l 与圆C 相交所得弦长为2＝2＝4. 答案 D
9.已知直线l 1的极坐标方程为ρ＝2 014，直线l 2的参数方程为014＋34π，＝2 014＋3
4π))
(t 为参数)，则l 1与l 2的位置关系为( ) A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直
D.重合
解析 由ρ＝2 014，得ρθ－
2
2
θ))＝2 014，即ρ θ－ρ θ＝2 014，所以y －x ＝2
014，即y ＝x ＋2 014.
把直线l 2的参数方程化为普通方程为014＋2 014)＝＝－1，即y ＝－x ，所以1·2＝1×(－1)＝－1，所以l 1⊥l 2. 答案 A
10.若动点(x ，y )在曲线＋＝1(b ＞0)上变化，则x 2
＋2y 的最大值为( ) （0＜b ≤4）,2b （b ＞4）)) （0＜b ＜2）,2b （b ≥2）)) ＋4
D.2b
解析 设动点的坐标为(2 θ， θ)，代入x 2
＋2y ＝42
θ＋2 θ＝－θ－b
2
))＋4＋，当0＜
b ≤4时，(x 2＋2y )＝＋4；
当b ＞4时，(x 2
＋2y )＝－＋4＋＝2b . 答案 A 二、填空题
11.在极坐标系中，点关于直线ρ θ＝1的对称点的极坐标为. 解析 结合图形不难知道点关于直线ρ θ＝1的对称点的极坐标为. 答案
12.在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线θ＝与曲线(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段的中点的直角坐标为.
解析 射线θ＝的普通方程为y ＝x (x ≥0)，代入得t 2
－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3. 当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1，1)； 当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4，4). 所以的中点坐标为. 答案
13.极坐标系中，曲线ρ＝－4 θ上的点到直线ρ( θ＋ θ)＝8的距离的最大值是. 解析 曲线方程化为：ρ2
＝－4ρ θ，即x 2
＋y 2
＋4x ＝0，化为：(x ＋2)2
＋y 2
＝4，圆心坐标为(－2，0)，半径为r ＝2，直线方程化为：x ＋y －8＝0，圆心到直线的距离为：d ＝＝5，所以最大距离为：5＋2＝7. 答案 7
14.直线(t 为参数)与曲线α＝3 α))(α为参数)的交点个数为. 解析 直线与曲线的普通方程分别为x ＋y －1＝0①
x2＋y2＝9②
②表示圆心为O(0，0)，半径为3的圆，设O到直线的距离为d，则d＝＝，∵＜3，∴直线与圆有2个交点.
答案 2
三、解答题
15.在平面直角坐标系中，求过椭圆φ，＝3 φ))(φ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程.
解由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝＝4，所以右焦点为(4，0).将已知直线的参数方程化为普通方程x－2y＋2＝0.故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.
16.已知P为半圆C：θ，＝θ))(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1，0)，O为坐标原点，点M在射线上，线段与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线的参数方程.
解(1)由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为.
(2)M点的直角坐标为，A(1，0)，故直线的参数方程为(t为参数).
17.在直角坐标系中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.
解(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程为ρ＝4 θ.
解θ，))得ρ＝2，θ＝±.
故圆C1与圆C2交点的坐标为或.
注：极坐标系下点的表示不唯一.
(2)法一将x＝1代入θ，＝ρθ，))得ρθ＝1，从而ρ＝θ).于是圆C1与C2的公共
弦的参数方程为θ))，
法二由θ，＝ρθ，))得
圆C1与圆C2交点的直角坐标分别为(1，－)或(1，).
故圆C1与C2公共弦的参数方程为(－≤t≤).
18.如图，已知抛物线y2＝2(p＞0)的焦点为F，过F的直线交抛物线
于A、B两点.
(1)求证：＋为定值；
(2)求的中点M的轨迹方程.
(1)证明设直线的方程为α＝α))(t为参数，α≠0)，代入y2＝2整理，得t22α－2 α－p2＝0.
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则由根与系数的关系，得
t1＋t2＝α2α)，t1t2＝－.
＋＝＋＝＝＝
＝错误!＝错误!(定值).
(2)解设的中点M(x，y)，则M对应的参数为t＝＝α2α)，
∴αα)))(α为参数)，消去α，得y2＝为所求的轨迹方程.。