区间内插法计算公式

区间内插法计算公式
一、直线内插法（线性插值法）
（一）两点式直线内插法公式。

1. 基本原理。

- 已知函数y = f(x)在两点(x_1,y_1)和(x_2,y_2)的值，对于x_1之间的x，通过比例关系来计算对应的y值。

2. 公式推导。

- 根据相似三角形原理，(y - y_1)/(y_2 - y_1)=(x - x_1)/(x_2 - x_1)。

- 整理可得y=y_1+((y_2 - y_1)(x - x_1))/(x_2 - x_1)。

（二）应用示例。

1. 示例题目。

- 已知x_1 = 1，y_1 = 3；x_2 = 3，y_2 = 7，求x = 2时的y值。

2. 解题步骤。

- 把x_1 = 1，y_1 = 3，x_2 = 3，y_2 = 7，x = 2代入公式y=y_1+((y_2 - y_1)(x - x_1))/(x_2 - x_1)。

- 首先计算((y_2 - y_1)(x - x_1))/(x_2 - x_1)=((7 - 3)×(2 - 1))/(3 -
1)=(4×1)/(2)=2。

- 然后y=y_1+((y_2 - y_1)(x - x_1))/(x_2 - x_1)=3 + 2=5。

二、拉格朗日插值法（高次多项式插值法的一种）
（一）公式。

1. 一般形式。

- 对于n+1个节点(x_0,y_0),(x_1,y_1),·s,(x_n,y_n)，拉格朗日插值多项式L(x)为：
- L(x)=∑_i = 0^ny_iL_i(x)，其中L_i(x)=frac{∏_j = 0,j≠ i^n(x - x_j)}{∏_j = 0,j≠ i^n(x_i - x_j)}。

2. 特殊情况（两点插值）
- 当n = 1时，即两个节点(x_0,y_0)和(x_1,y_1)，拉格朗日插值多项式为：
- L(x)=y_0(x - x_1)/(x_0 - x_1)+y_1(x - x_0)/(x_1 - x_0)，这实际上与直线内插法公式是等价的。

（二）应用示例。

1. 示例题目。

- 已知三个节点(1,2)，(2,3)，(3,5)，求x = 1.5时的插值结果。

2. 解题步骤。

- 根据拉格朗日插值公式L(x)=∑_i = 0^ny_iL_i(x)。

- 这里n = 2，x_0 = 1，y_0 = 2；x_1 = 2，y_1 = 3；x_2 = 3，y_2 = 5。

- 计算L_0(x)=((x - x_1)(x - x_2))/((x_0 - x_1)(x_0 - x_2))=((x - 2)(x - 3))/((1 - 2)(1 - 3))=((x - 2)(x - 3))/(2)。

- L_1(x)=((x - x_0)(x - x_2))/((x_1 - x_0)(x_1 - x_2))=((x - 1)(x - 3))/((2 - 1)(2 - 3))=-(x - 1)(x - 3)。

- L_2(x)=((x - x_0)(x - x_1))/((x_2 - x_0)(x_2 - x_1))=((x - 1)(x - 2))/((3 - 1)(3 - 2))=((x - 1)(x - 2))/(2)。

- 当x = 1.5时：
- L(1.5)=2×((1.5 - 2)(1.5 - 3))/(2)+3×[-(1.5 - 1)(1.5 - 3)]+5×((1.5 - 1)(1.5 - 2))/(2) - 先计算各项：
- ((1.5 - 2)(1.5 - 3))/(2)=((- 0.5)×(-1.5))/(2)=(0.75)/(2)=0.375。

- -(1.5 - 1)(1.5 - 3)=-(0.5)×(-1.5)=0.75。

- ((1.5 - 1)(1.5 - 2))/(2)=(0.5×(-0.5))/(2)=-(0.25)/(2)=-0.125。

- 然后L(1.5)=2×0.375 + 3×0.75+5×(-0.125)=0.75 + 2.25-0.625 = 2.375。