沪科版9数下第24章24.2.3 垂直于弦的直径性质
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第24章 圆
24.2 圆的基本性质
第3课时 垂直于弦的直 径性质
1 教学目标
1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定 理进行计算和证明； 2．进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；3． 通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学 的热爱．
2 教学重点
①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．
半圆重合，AE与BE重合，点A与点B重合，AD 与 DB 重合，AC 与 CB 重合. 因此，AE=EB，AD DB ， AC CB . （来自《教材》）
归纳
知2－讲
同理，可以证明下面的定理： 定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的两条弧.
（来自《教材》）
知2－讲
例3 如图24-21， ⊙ O的半径为5 cm，弦AB为6 cm, 求圆心
3 教学难点
垂径定理的证明．
1 课堂讲解 圆的轴对称性
垂径定理
垂径定理的推论
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
思考问题： 1.等腰三角形是轴对称图形吗？ 2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，
可以发现什么结论？ 3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为
半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？
（来自《Байду номын сангаас材》）
知2－练
2．已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C,D两点. 求证：AC=BD.
（来自《教材》）
知2－练
3．(中考)如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，
∴ R2 = (R -7.2)2 +18. 72. 解方程，
得R ≈ 27. 9.
答：赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9 m. （来自《教材》）
总结
知2－讲
本题运用转化思想将实际问题转化为数学问题，先 正确画出图形，找出图中的已知量，然后构造直角 三角形，最后利用勾股定理求解．
知2－练
1．在半径为4 cm的⊙O中，有长为4 cm的弦AB.计算： (1) 点O与AB的距离； (2) ∠AOB的度数.
知识点 1 圆的轴对称性
知1－讲
圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条 过 圆心的直线． 要点精析：(1)圆的对称轴有无数条． (2)因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以
不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对 称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经 过圆心的直线”．
知1－讲
（来自《教材》）
知2－讲
解：如图24-23，过桥拱所在圆的圆心O作的垂线，交 AB
于点C，交AB于点D，则CD=7.2 m.
由垂径定理，得AD= 1 AB= 1 ×37.4=18.7(m)
2
2
设⊙O的半径为R m，在Rt △AOD中，
AO = R, OD = R -7.2, AD = 18.7.
由勾股定理，得AO2 = OD2 + AD2.
知1－练
2．过圆内一点A可以作出几条圆的对称轴，( )
A．1条
B．2条
C．无数条
D．1条或无数条
知1－练
3．如图，由两个等圆组成的图案的对称轴( ) A．有无数条 B．仅有2条 C．仅有1条 D．仅有3条
知识点 2 垂径定理
知2－导
知2－讲
定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的
两条弧．用几何语言表述为： 如图，在⊙O中，CD是直径
CD⊥AB于E
AE＝BE
⇒
AD BD
AC BC
知2－讲
例2 已知：如图24-20,在⊙ O中，CD是直径，AB是弦， 并且CD丄AB,垂足为E. 求证：AE=EB，AD DB .(或 AC CB )
（来自《教材》）
总结
知2－讲
确定圆心的方法：取任意两条不平行的弦，分别作 两弦的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点即为 圆心．
知2－讲
例5 赵州桥（图24 - 22)建于1 400年前的隋朝，是我国 石拱 桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度（弧 所对的弦长）为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离） 为7.2 m， 求赵州桥桥拱所在圆的半径.(精确到0. 1 m)
例1 下列图形中，对称轴条数最多的是( D )
A．线段
B．正方形
C．正三角形
D．圆
导引：线段有两条对称轴，正方形有四条对称轴，正三角
形有三条对称轴，圆有无数条对称轴．
总结
知1－讲
过圆心的任意一条直线都是该圆的对称轴，这是圆独 有的性质．
知1－练
1．下列说法：(1)圆是轴对称图形；(2)圆有无数条对称 轴；(3)圆的任意一条直径都是圆的对称轴；(4)圆 所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称 轴，其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：如图所示.
知2－讲
(2)请在(1)的基础上，完成下列问题： ①写出点的坐标：C__(_6_，__2_)_，D__(_2_，__0_)_；
②⊙D的半径＝___2___5__.(结果保留根号)
导引：(1)连接AC，作AC的垂直平分线，交AB的垂直 平分线于点D，D即为圆心；
(2)①利用图形即可得出点的坐标；②利用勾股 定理即可求出半径．
知2－讲
证明：连接OA,OB,则OA=OB , △OAB为等腰三角形，所以 底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线， 因此点A与点B关于直线CD对称.同理，如果点P是⊙ O 上 任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙ O相交于 点Q,则点 P与点Q关于直线CD也对称，所以⊙ O关于直 线CD对称. 当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个
知2－讲
例4 如图所示，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆 弧经过网格的格点A，B，C.
(1)请完成如下操作：
知2－讲
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标
轴、网格边长为单位长度，建立平面直角坐标系；
②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置(不
用写作法，保留作图痕迹)，并连接AD，CD.
O到弦AB的距离.
解: 连接OA，过圆心O作OE丄AB,垂足为E，则
AE=EB= 1 AB = 1 ×6=3(cm).
2
2
又 ∵ OA =5 cm,
∴在Rt △OEA中，有
OE = 52 32 =4(cm) 答：圆心O到弦AB的距离是4 cm.
（来自《教材》）
总结
知2－讲
本题构造Rt△OAE，利用解直角三角形解题。
24.2 圆的基本性质
第3课时 垂直于弦的直 径性质
1 教学目标
1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定 理进行计算和证明； 2．进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；3． 通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学 的热爱．
2 教学重点
①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．
半圆重合，AE与BE重合，点A与点B重合，AD 与 DB 重合，AC 与 CB 重合. 因此，AE=EB，AD DB ， AC CB . （来自《教材》）
归纳
知2－讲
同理，可以证明下面的定理： 定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的两条弧.
（来自《教材》）
知2－讲
例3 如图24-21， ⊙ O的半径为5 cm，弦AB为6 cm, 求圆心
3 教学难点
垂径定理的证明．
1 课堂讲解 圆的轴对称性
垂径定理
垂径定理的推论
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
思考问题： 1.等腰三角形是轴对称图形吗？ 2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，
可以发现什么结论？ 3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为
半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？
（来自《Байду номын сангаас材》）
知2－练
2．已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C,D两点. 求证：AC=BD.
（来自《教材》）
知2－练
3．(中考)如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，
∴ R2 = (R -7.2)2 +18. 72. 解方程，
得R ≈ 27. 9.
答：赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9 m. （来自《教材》）
总结
知2－讲
本题运用转化思想将实际问题转化为数学问题，先 正确画出图形，找出图中的已知量，然后构造直角 三角形，最后利用勾股定理求解．
知2－练
1．在半径为4 cm的⊙O中，有长为4 cm的弦AB.计算： (1) 点O与AB的距离； (2) ∠AOB的度数.
知识点 1 圆的轴对称性
知1－讲
圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条 过 圆心的直线． 要点精析：(1)圆的对称轴有无数条． (2)因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以
不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对 称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经 过圆心的直线”．
知1－讲
（来自《教材》）
知2－讲
解：如图24-23，过桥拱所在圆的圆心O作的垂线，交 AB
于点C，交AB于点D，则CD=7.2 m.
由垂径定理，得AD= 1 AB= 1 ×37.4=18.7(m)
2
2
设⊙O的半径为R m，在Rt △AOD中，
AO = R, OD = R -7.2, AD = 18.7.
由勾股定理，得AO2 = OD2 + AD2.
知1－练
2．过圆内一点A可以作出几条圆的对称轴，( )
A．1条
B．2条
C．无数条
D．1条或无数条
知1－练
3．如图，由两个等圆组成的图案的对称轴( ) A．有无数条 B．仅有2条 C．仅有1条 D．仅有3条
知识点 2 垂径定理
知2－导
知2－讲
定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的
两条弧．用几何语言表述为： 如图，在⊙O中，CD是直径
CD⊥AB于E
AE＝BE
⇒
AD BD
AC BC
知2－讲
例2 已知：如图24-20,在⊙ O中，CD是直径，AB是弦， 并且CD丄AB,垂足为E. 求证：AE=EB，AD DB .(或 AC CB )
（来自《教材》）
总结
知2－讲
确定圆心的方法：取任意两条不平行的弦，分别作 两弦的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点即为 圆心．
知2－讲
例5 赵州桥（图24 - 22)建于1 400年前的隋朝，是我国 石拱 桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度（弧 所对的弦长）为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离） 为7.2 m， 求赵州桥桥拱所在圆的半径.(精确到0. 1 m)
例1 下列图形中，对称轴条数最多的是( D )
A．线段
B．正方形
C．正三角形
D．圆
导引：线段有两条对称轴，正方形有四条对称轴，正三角
形有三条对称轴，圆有无数条对称轴．
总结
知1－讲
过圆心的任意一条直线都是该圆的对称轴，这是圆独 有的性质．
知1－练
1．下列说法：(1)圆是轴对称图形；(2)圆有无数条对称 轴；(3)圆的任意一条直径都是圆的对称轴；(4)圆 所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称 轴，其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：如图所示.
知2－讲
(2)请在(1)的基础上，完成下列问题： ①写出点的坐标：C__(_6_，__2_)_，D__(_2_，__0_)_；
②⊙D的半径＝___2___5__.(结果保留根号)
导引：(1)连接AC，作AC的垂直平分线，交AB的垂直 平分线于点D，D即为圆心；
(2)①利用图形即可得出点的坐标；②利用勾股 定理即可求出半径．
知2－讲
证明：连接OA,OB,则OA=OB , △OAB为等腰三角形，所以 底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线， 因此点A与点B关于直线CD对称.同理，如果点P是⊙ O 上 任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙ O相交于 点Q,则点 P与点Q关于直线CD也对称，所以⊙ O关于直 线CD对称. 当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个
知2－讲
例4 如图所示，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆 弧经过网格的格点A，B，C.
(1)请完成如下操作：
知2－讲
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标
轴、网格边长为单位长度，建立平面直角坐标系；
②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置(不
用写作法，保留作图痕迹)，并连接AD，CD.
O到弦AB的距离.
解: 连接OA，过圆心O作OE丄AB,垂足为E，则
AE=EB= 1 AB = 1 ×6=3(cm).
2
2
又 ∵ OA =5 cm,
∴在Rt △OEA中，有
OE = 52 32 =4(cm) 答：圆心O到弦AB的距离是4 cm.
（来自《教材》）
总结
知2－讲
本题构造Rt△OAE，利用解直角三角形解题。