甘肃省白银市会宁县第四中学2017_2018学年高二数学下学期期中试题文

会宁四中2017-2018学年度第二学期高二级中期考试
数学试卷（文科）
一 选择题 （每小题5分,共60分） 1．抛物线2
4x y =的焦点坐标为( ) A ．(1,0)
B ．(1,0)-
C ．(0,1)
D ．(0,1)-
2.设复数12z i =-，则||z = ( )
A ．5
B ．2 D 3．由“
1223<, 2435<, 2547<”得出：
“若0a b >>且0m >,则b b m
a a m
+<+”这个推导过程使用的方法是（ ）
A. 数学归纳法
B. 演绎推理
C. 类比推理
D. 归纳推理
4．在两个变量y 与x 的回归模型中,分别选择了4个不同模型,它们的相关指数2
R 如下,其中拟合效果最好的是（ ）
A. 模型1的相关指数2R 为0．78
B. 模型2的相关指数2R 为0．85
C. 模型3的相关指数2
R 为0．61 D. 模型4的相关指数2
R 为0．31 5．可作为四面体的类比对象的是( )
A ．四边形
B ．三角形
C ．棱锥
D ．棱柱
6．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是( ) A ．没有一个内角是钝角 B ．有两个内角是钝角 C ．有三个内角是钝角 D.至少有两个内角是钝角 7．已知(x ＋y )＋(x －y )i ＝－2＋4i ，则实数x ，y 的值分别是( ) A ．－2,4 B ．4，－2 C ．－3,1 D ．1，－3 8．复数
33i
i +=-（ ） A. 4355i + B. 4355i - C. 1322i + D. 1322
i -
9．下面三段话可组成 “三段论”，则“小前提”是( )
①因为指数函数y ＝a x
(a ＞1 )是增函数；② 所以y ＝2x
是增函数；③而y ＝2x
是指数函数． A ．① B ．② C ．①② D ．③
10．将正弦曲线y ＝sin x 作如下变换：2,
3,x x y y '=⎧⎨
'=⎩
得到的曲线方程为( )
A ．y ′＝3sin 12x
′ B ．y ′＝1
3sin 2x ′
C ．y ′＝1
2sin 2x ′ D ．y ′＝3sin 2x ′
11．直线3x －4y －9＝0与圆2cos ,
2sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩(θ为参数)的位置关系是( )
A ．相切
B ．相离
C ．直线过圆心
D ．相交但直线不过圆心
12.直线22,
32x t y t
⎧=--⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标( )
A ．(－4,5)
B ．(－3,4)
C ．(－3,4)或(－1,2)
D ．(－4,5)或(0,1) 二 填空题 （每小题5分,共20分） 13．已知,x y 的取值如下表：
从所得散点图分析,y 与线性相关,且^
^
0.95y x a =+,则^
a = .
14.若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线2x －y ＝0上，则实数m 的值是_____． 15．若一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )之间满足y i ＝a ＋bx i ＋e i (i ＝1,2，…，n )，若e i 恒为0，则R 2
等于__________．
16．在平面直角坐标系中，曲线C ：2
2,
2212
x y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
(t 为参数)的普通方程为__________． 三 解答题(共70分)
17．(10分)已知a ，b ∈R ，求证2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2
.
18．(12分)已知x ∈R ，a ＝x 2
－1，b ＝2x ＋2，求证a ，b 中至少有一个不小于0.
19．（12分）把参数方程sin 2,
sin cos x y θθθ
=⎧⎨=+⎩(θ为参数)化成普通方程
20．(12分)给出如下列联表：
(参考数据：P (K 2
≥6.635)＝0.010，P (K 2
≥7.879)＝0.005 )
21．(12分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin 26ρθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭
，求极点在直线l 上的射影的极坐标．
22．(12分)已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：2,22x t y t
=+⎧⎨=-⎩
(t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．
会宁四中2017-2018学年度第二学期高二级中期考试
数学试卷答题卡（文科）
一 选择题 （每小题5分,共60分）
二
填空题 （每小题5分,共20分）
13. 14. 14. 16.
三 解答题(共70分)
17．(10分)已知a ，b ∈R ，求证2(a 2
＋b 2
)≥(a ＋b )2
.
18．(12分)已知x ∈R ，a ＝x 2
－1，b ＝2x ＋2，求证a ，b 中至少有一个不小于0.
19．（12分）把参数方程sin 2,
sin cos x y θθθ
=⎧⎨=+⎩(θ为参数)化成普通方程
20．(12分)给出如下列联表：
(参考数据：P(K2≥6.635)＝0.010，P(K2≥7.879)＝0.005 )
21．(12分)在极坐标系中，直线l的方程为
π
sin2
6
ρθ⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，求极点在直线l上的射
影的极坐标．
22．(12分)已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：2,22x t y t
=+⎧⎨=-⎩
(t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．
会宁四中2017-2018学年度第二学期高二级中期考试
数学答案（文科）
一 选择题 （每小题5分,共60分）
二 填空题 （每小题5分,共20分）
13.0.5875(8047
) 14. 4 15. 1 16.01=--y x
三 解答题(共70分)
17．(10分)已知a ，b ∈R ，求证2(a 2
＋b 2
)≥(a ＋b )2
.
证明：证法1：要证2(a 2
＋b 2
)≥(a ＋b )2
只要证2a 2
＋2b 2
≥a 2
＋2ab ＋b 2
(2分) 只要证a 2
＋b 2≥2ab (6分) 而a 2
＋b 2≥2ab 显然成立(10分) 所以2(a 2
＋b 2
)≥(a ＋b )2
成立．(12分) 证法2：因为2(a 2
＋b 2
)－(a ＋b )2
＝2a 2
＋2b 2
－(a 2
＋2ab ＋b 2
)(4分) ＝a 2
＋b 2－2ab ＝(a －b )2
≥0(10分)
所以2(a 2
＋b 2
)≥(a ＋b )2
.(12分)
18．(12分)已知x ∈R ，a ＝x 2
－1，b ＝2x ＋2，求证a ，b 中至少有一个不小于0.
证明：假设a ，b 都小于0，即a ＜0，b ＜0，(2分) 所以a ＋b ＜0，(4分)
又a ＋b ＝x 2
－1＋2x ＋2＝x 2
＋2x ＋1＝(x ＋1)2
≥0，(10分) 这与假设所得结论矛盾，故假设不成立 所以a ，b 中至少有一个不小于0.(12分)
19．（12分）把参数方程sin 2,sin cos x y θθθ=⎧⎨=+⎩
(θ为参数)化成普通方程
解y 2
＝(sin θ＋cos θ)
2
＝sin 2
θ＋2sin θcos θ＋cos 2
θ ＝1＋2sin θcos θ ＝1＋sin 2θ ＝x ＋1(10分)
又x ＝sin 2θ∈[－1,1]，
所以曲线的普通方程是y 2
＝x ＋1(－1≤x ≤1)．（12分）
20．(12分)给出如下列联表：
患心脏病 患其他病 合计 高血压 20 10 30 不高血压 30 50 80 合计
50
60
110
(参考数据：P (K 2
≥6.635)＝0.010，P (K 2
≥7.879)＝0.005 ) 解：由列联表中的数据可得
K 2＝
110×20×50－10×30
30×80×50×60
＝7.486(6分)
又P (K 2
≥6.635)＝0.010，(10分)
所以有99%的把握认为高血压与患心脏病有关．（12分） 21．(12分)解：把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，
得x ＋3y －4＝0，过极点且与l 垂直的直线方程为y ＝3x .（6分）
由340,3x y x
⎧+-=⎪⎨=⎪⎩得射影的直角坐标为(1，3)，化为极坐标为π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.（9分）
即极点在直线l 上的射影的极坐标为π2,3⎛
⎫
⎪⎝
⎭
.（12分）
22．(12分)已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：2,22x t y t
=+⎧⎨=-⎩
(t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．
22．分析：在第(1)问中，可根据参数方程与普通方程的关系求解；在第(2)问中，可由曲线C 的参数方程设出点P 的坐标，结合点到直线的距离公式与三角函数的定义得出|PA |与θ的关系，通过三角变换求得|PA |的最值．
解：(1)曲线C 的参数方程为2cos ,
3sin x y θθ=⎧⎨=⎩
(θ为参数)．
直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.（4分）
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝
5
5
|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝4
3
.（8分）
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为
225
5
.（10分） 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为25
5.（12分）。