2017_2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式练习新人教A版必修

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 1．若sin 2θ<0，则角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第二或第四象限角
2．若sin α2＝3
3，则cos α＝( )
A ．－23
B ．－1
3
C.13
D.23
3.2－sin 2
2＋cos 4的值是( ) A ．sin 2 B ．－cos 2
C.3cos 2 D ．－3cos 2
4．已知a ＝(2sin 30°，2cos 15°)，b ＝(cos 30°，－sin 15°)，则a ·b ＝( ) A.12 B.3－12 C.
1－32 D.3
2
5．已知等腰三角形底角的余弦值为2
3，则顶角的正弦值是( )
A.
459 B.25
9
C ．－459
D ．－259
6. 已知a ＝(sin α，1－4cos 2α)，b ＝(1，3sin α－2)，α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，若a ∥b ，
则tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )
A.17 B ．－1
7 C.27 D ．－27
7．若sin xtan x<0，则1＋cos 2x ＝( ) A.2cos x B ．－2cos x C.2sin x D ．－2sin x
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．等腰三角形的一个底角的正弦值为3
5，则这个三角形的顶角的正切值为________．
9．化简：cos （270°＋2α）1－cos 2α·sin 2
α
cos （360°－α）＝________．
10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，则sin 2α＝________．
11．若1＋tan α1－tan α＝2016，则1
cos 2α＋tan 2α＝________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．已知tan α＝17，tan β＝1
3，并且α，β均为锐角，求α＋2β的值．
13．(13分)已知tan 2θ＝－22，π
2<2θ<π，求2cos 2θ
2－sin θ－1
2sin （π
4
＋θ）
的值．
得分
14．(5分)已知tan 2θ＝3，则2sin 2
θ－1
sin θcos θ
＝________．
15．(15分)已知2sin 2
α＋sin 2α1＋tan α＝k ，其中3
2π<α<2π，试用k 表示sin α－cos α
的值．
1．D [解析] ∵sin 2θ<0，∴2sin θ·cos θ<0，∴sin θ·cos θ<0，因此角θ是第二或第四象限角．
2．C [解析] 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2α
2＝1－2×(33)2＝13.
3．D [解析] 原式＝1＋cos 2
2＋2cos 2
2－1＝3cos 2
2＝－3cos 2.
4．B [解析] a·b ＝2sin 30°cos 30°－2cos 15°sin 15°＝sin 60°－sin 30°＝32－12＝3－12
. 5．A [解析] 设底角为α，顶角为β，则β＝π－2α，∵cos α＝2
3，∴sin α＝
53，∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×53×23＝459
. 6．B [解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos 2α＝sin α·(3sin α－2)，∴5sin 2
α＋2sin α
－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1.∵α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，∴tan α＝34，∴
tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17. 7．B [解析] ∵sin x·tan x<0，即sin 2x
cos x <0，∴cos x<0，∴1＋cos 2x ＝
1＋2cos 2
x －1＝2cos 2
x ＝－2cos x.
8．－24
7
[解析] 设底角为α，则α必为锐角，顶角为π－2α.
由题意可知，sin α＝35，∴cos α＝45，∴tan α＝3
4
，
∴tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝321－916
＝24
7
， ∴tan(π－2α)＝－tan 2α＝－24
7
.
9．sin α [解析] cos （270°＋2α）1－cos 2α·sin 2αcos （360°－α）＝sin 2α2sin 2
α·sin 2
α
cos α
＝sin α.
10．－725 [解析] 由于cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(cos α－sin α)＝45，则cos α－sin α＝425，故(cos α－sin α)2
＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝3225，则sin 2α＝－725
.
11．2016 [解析] 1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2α
cos 2α
＝
（cos α＋sin α）2
cos 2α－sin 2
α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α
1－tan α
＝2016. 12．解：因为tan β＝13，所以tan 2β＝2tan β1－tan 2
β＝2×131－⎝ ⎛⎭
⎪⎫132＝3
4
，所以tan(α＋2β )
＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝17＋341－17×34＝1.又0＜tan α＝17＜1，0＜tan β＝1
3
＜1，且α， β均为锐角，所以0＜α＜π4，0＜ β ＜π4，0＜2β ＜π2，所以0＜α＋2β ＜3π
4
.
又tan(α＋2β )＝1，所以α＋2β＝π
4.
13．解：∵tan 2θ＝－2 2，∴2tan θ
1－tan 2
θ＝－2 2，解得tan θ＝2或tan θ＝－22
. 又∵π2<2θ<π，∴π4<θ<π
2，∴tan θ>0，∴tan θ＝2，
∴原式＝
cos θ－sin θ2⎝
⎛⎭
⎪
⎫
22cos θ＋22sin θ＝
cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－2
1＋2
＝－3＋2
2.
14．－23 [解析] 原式＝－cos 2θ12sin 2θ＝－2tan 2θ＝－23
.
15．解： ∵k ＝2sin 2
α＋sin 2α1＋tan α＝2sin α（sin α＋cos α）cos α
cos α＋sin α
＝2sin αcos
α，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－k.又3
2π<α<2π，∴cos α>0，sin α<0，∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－1－k.
附：什么样的考试心态最好
大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。

随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。

最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。

但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。

有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。

如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。

如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。

具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。

高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。

当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。

3、再次，适当思考一下考试后的事。

如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。

那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。

这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。