第2章-传递过程基本方程
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第二章2传函
n
n 1
y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初 始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系 统传递函数为：
b0 s m b1s m1 bm1s bm Y ( s) G ( s) n n 1 R( s) a0 s a1s an1s an
d Cm lim ( s s1 ) F ( s ) Cm 1 lim [( s s1 ) m F ( s )] s s1 s s1 ds
m
Cm j
1 dj lim j [( s s1 ) m F ( s )] j! s s1 ds
1 d ( m 1) C1 lim ( m 1) [( s s1 ) m F ( s )] (m 1)! s s1 ds f (t ) L1[ F ( s )] Cm Cm 1 m 2 m 1 [ t t (m 1)! (m 2)! C2t C1 ]e s1t
线性微分方程
性能指标
傅 氏 变 换
拉氏变换
传递函数 S=jω
频率特性
计算
频率响应
拉氏反变换
按定义求拉氏反变换很困难，一般常用部分分 式法计算：
F (s )
分解
部分分式
查表
原函数
F (s ) 的一般形式为 B ( s ) b0 s m b1s m 1 bm 1s bm F (s) n A( s ) s a1s n 1 an 1s an
Uo ( s) [例] 求如图所示电路的传递函数 U i ( s )
C i1 R1 i2 R2
[解]：解法一：列出回路电压方程和输 出节点方程
1 i1dt R1i1 R1i2 ui R2 i2 uO
第二章 传递函数-梅逊公式
第二章 自动控制系统的数学模型
2.3 传递函数与系统动态结构图
2.3.1 传递函数的定义
设系统的标准微分方程为
an
dnc(t) dt n
a n1
dn1c(t) dt n 1
……
a1
dc(t) dt
a0c(t)
bm
dmr(t) dt m
bm1
d m 1r ( t ) dt m1
……
b1
dr(t) dt
点
上图所示的是
G(s)
(s
(s 1)(s 2) 3)(s 2 2s
2)
的零、极点分布图。
2.2 传递函数
比
比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t)
例
传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k
c(t)
环
阶跃响应：R(S)=1/S
r(t)
节
C(S)=kR(S)=k/S C(t)=k
0
方框图： R(S) k/s C(S)
3
传
递
积分调节器：
C
在A点列方程可得：
函 数
Ur(t)
R
i2
i1
A
Uc(t) i2=i1, i1=Uc(t)/R Uc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt
设RC＝T（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt
拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)
5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。
6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。
m
(s z j )
7）传递函数可以写成
G(s)
Kg
j1 n
2.3 传递函数与系统动态结构图
2.3.1 传递函数的定义
设系统的标准微分方程为
an
dnc(t) dt n
a n1
dn1c(t) dt n 1
……
a1
dc(t) dt
a0c(t)
bm
dmr(t) dt m
bm1
d m 1r ( t ) dt m1
……
b1
dr(t) dt
点
上图所示的是
G(s)
(s
(s 1)(s 2) 3)(s 2 2s
2)
的零、极点分布图。
2.2 传递函数
比
比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t)
例
传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k
c(t)
环
阶跃响应：R(S)=1/S
r(t)
节
C(S)=kR(S)=k/S C(t)=k
0
方框图： R(S) k/s C(S)
3
传
递
积分调节器：
C
在A点列方程可得：
函 数
Ur(t)
R
i2
i1
A
Uc(t) i2=i1, i1=Uc(t)/R Uc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt
设RC＝T（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt
拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)
5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。
6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。
m
(s z j )
7）传递函数可以写成
G(s)
Kg
j1 n
大连理工大学 本科 传递过程课件 第2章_
（1）质量力
质量力是指作用在整个微元体上的外力，又叫体积力，与质量大小有关，而与 周围流体的存在无关，是一种非接触力，如重力、静电力等。传递课程只考虑重 力。
x方向：Xdxdydz y方向： Ydxdydz
z方向： Zdxdydz
(2 - 3a)
X、Y、Z是作用在单位质量
(2 - 3b)
(2 - 3c)
(2 - 5a) (2 - 5b)
u x u z zx x z
(2 - 5c)
（2）法向应力表达式
法向应力表达式（推导过程可参见《讲义》p309的附录A）：
Du x xx yx zx u x 2 u x u y u z X (2 - 5a) xx p 2 D x y z x 3 x y z Du y xy yy zy Y (2 - 5b) u y 2 u x u y u z D x y z yy p 2 y 3 x y z yz zz Du z Z xz (2 - 5c) D x y z u z 2 u x u y u z zz p 2 z 3 x y z ux u y yx xy y x 对于理想流体，μ=0，故: xx yy zz p u u
3.以应力表示的运动微分方程
将式（2-3）和（2-4）代入式（2-2）并简化，可得
Y dxdydz (2-3b) Z dxdydz (2-3c)
xx yx zx ( )dxdydz (2-4a) x y z ( xy yy zy )dxdydz (2-4b) x y z ( xz yz zz )dxdydz (2-4c) x y z
第2章 微分方程+传递函数
dx
(x x0 )
x x0
写成增量形式:
df f (x) f (x0 ) dx xx0 (x x0 )
y k x
9
2.2.3 微分方程的线性化
例2-15 微分方程线性化
f (h) h
A dh(t) a dt
h(t) qi (t)
其中包含非线性项 h(t) ，单独将其线性化:
df f (x) f (x0 ) dx xx0 (x x0 ) f (x) k x
b1
dr(t) dt
b0r(t)
式中nm, n是系统阶次, r(t), c(t)是系统输入量和输出量。
例2-12 RC无源网络，输入电压ei(t)和输出电压eo(t)
R
解：由基尔霍夫定律
标准式： 左出右入降阶
ei (t) i C
eo (t)
ei (t) i(t)R eo (t)
eo
(t)
1 C
16
知识巩固
传递函数和微分方程一样, 也是用于描述系统的( ); 本课程使用的三种数学模型是( ), 其中( )是最主要的; 传递函数的定义是( ); 传递函数是代数表达式吗? 传递函数的求取方法一般有二种,分别是( ); 传递函数的成立条件是( ); 系统的阶次符号为( ), 它是传递函数的( )多项式的次数; 使传递函数分子为零的点, 称为传递函数的( ); 使传递函数分母为零的点, 称为传递函数的( ), 数学上称为( ),
2
a h0
h(t)
qi (t)
线性化方程已经把系统的工作坐标
从原点移至平衡工作点(h0 , qi0 ) 10
2.2.3 微分方程的线性化
具有两个自变量x、y的非线性函数 z=f (x, y)小偏差线性化的方法:
传热学(第二章)
⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
边界条件：r=r1时，t=t1；r=r2时，t=t2 对（2-25）式积分两次，得其通解： t = c1 ln r + c2 将边界条件代入通解，确定积分常数
t2 − t1 t −t c2 = t1 − ln r 2 1 ln( r2 / r ) ln( r2 / r ) 1 1 t −t t = t1 + 2 1 ln( r / r ) （2-26） 1 ln( r2 / r ) 1 dt λ t1 − t2 q = −λ = （2-27） dr r ln( r2 / r ) 1 c1 =
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁、圆筒壁、
• 1∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp ∂τ r ∂r ∂r) r ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 （2-25）
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为 （2-29） 29） 与分析多层平壁—样，运用串联热阻叠加的原则，可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 − t4 ) Φ= （2-30） ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数，无内热源的空心球壁。内、外半径为r1、r2，其内外表面均匀 恒定温度为t1、t2，球壁内的温度仅沿半径变化，等温面是同心球面。 由傅立叶定律得： dt 各同心球面上的热流率q不相等，而热流量Φ相等。 Φ = −4πr2λ dr dr ⇒Φ 2 = −4πλdt r
机械工程控制基础-第二章-传递函数
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典型环节
比例环节 惯性环节 微分环节 积分环节 振荡环节 延时节例
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比例环节
1、传递函数函：G(s) K （放大环节）
2、特性：输入输出成正比，无惯性，不失真， 无延迟 X(s) Y(s) K 3、参数：K 4、单位阶跃响应：输出按比值复现输入， 无过渡过程。
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4)方框图不唯一。由于研究角度不一样，传递函数 列写出来就不一样，方框图也就不一样。 5) 研究方便。对于一个复杂的系统可以画出它的方 框图，通过方框图简化，不难求得系统的输入、输出 关系，在此基础上，无论是研究整个系统的性能，还 是评价每一个环节的作用都是很方便的。
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n 2
2
p1 p2 n , p1 p2 2n 2 1
n e p t e p t y (t ) 1 ( ) 2 p1 p2 2 1
1 2
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p1 p2 ,当 1时, p1 p2
则
n e p t y (t ) 1 2 2 1 p2
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延迟环节
1. 传函
W ( s) e
s
x
y
1
t
1
(t ) 2.单位阶跃响应 y(t ) L1[es 1 s ] 1 3.参数 延迟时间 4.特性：能充分复现输入，只是相差 ，该环节
t
是线性的，他对系统稳定性不利。然而过程控制中，
系统多数都存在延迟环节，常用带延迟环节的一阶
x(t )
1
y(t )
K
t
t
比例环节实例
1）分压器
第二章 (2.1,2.2)控制系统的微分方程、传递函数
拉氏变换的重要应用——解线性定常微分方程
求微分方程的拉氏变换，注意初值！！
求出 C ( s ) 的表达式 拉氏反变换，求得 c (t )
例1 已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。
d 2c(t ) dc(t ) 2 2c(t ) r(t ) 2 dt dt d2 解： 在零初态下应用微分定理： 2 s 2
+
i (t )
R
–
u (t )
+
i (t )
u (t ) i (t ) R
du ( t ) 1 i (t ) dt C
di (t ) u (t ) L dt
电容
C
–
u (t )
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi (t )
电感
u (t )
–
L
机械系统三要素的微分方程
设系统输入量为外力，输出量为位移
d 2 x (t) m f (t) 2 dt
d uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt
2
3．机械位移系统
输入量为外力: F (t ) 输出量为位移: y (t )
dy 2 (t ) 依据牛顿定律： F m dt 2
dy (t ) d y (t ) F (t ) ky (t ) f m 2 dt dt
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
微分方程结构一致 二阶线性定常微分方程
不同形式的物理环节和系统可以建立相同形式的数学模型。
系统微分方程由输出量各阶导数和输 入量各阶导数以及系统的一些参数构成。 n阶线性定常系统的微分方程可描述为：
非牛顿流体的传递过程特性-2
∞
∞
幂 律 函 数 区
直 线
∞
∞
第 二 牛 顿 区
第 一 牛 顿 区
幂 律 函 数 区
双对数坐标
(1)幂律方程：
直线区：Y=aX+b
K m K m 1 K n ,(n m 1, m n 1)
d d
对非牛顿流体：如上图：
d t 1 d
0
1 a1 假塑性：t1 a1 0
目前大多数用 μ a表示非牛顿流体的表观粘度（粘度）。 以后所讲粘度，即表观粘度。 由于计算机的发展μ t也应用广泛起来。 μ t的特点：用不同的粘度计测量结果应相同（减小系统 误差，如零点漂移）。
2)剪切速率匀速增加后再匀速减小，τ ～ 曲线不 重合，有滞后现象.
面积A1 第1次,t1,A=A1
第2次,t2,A=A2 第n次,tn,A=0
第n次--触变性消失， 变成假塑性流体。流体 的结构到达新的稳定状 态（平衡） 用滞后面积A的大小代 表流体的触变性大小, 但不好表达.
本构方程：与时间有关。 Moore方程：(无屈服应力）
a
0
1 m
1
定义 : 0 , , 为 0, 下的a
m为a ( 0 ) / 2时测出的 值.
1时： a 0，牛顿 1时： a ，假塑性 (用于PAM) 1时： a ，涨塑性
ΔY
e
y
t
y
t+ t
x
t时刻
x
t+ t时刻
化工传递过程基础(第三版)
※ 湍流流体在流向上的动量，分子传递+涡流传递。
第二节 动量、热量与质量传递的类似性
1. 分子间动量传递
※ 牛顿粘性定律
dux
dy
2. 分子间热量传递 —— 热传导
※ 傅立叶定律
q k dt
A
dy
高温
低温
3. 分子间质量传递 ——分子扩散
※ 费克定律
jA
DAB
d A
dy
一、分子传递的基本定律
图0-1 McCabe-Thiele图
二、本课程的学习内容？
✓ 物理过程的速率和传递机理的探讨
• 动量传递
• 热量传递
• 质量传递
推动力：速度差 推动力：温度差 推动力：浓度差
第一章 传递过程概论
第一节 流体流动导论
※ 流体：气体和液体的统称
一、静止流体的特性 （一）流体的密度（ρ）
均质流体：
※ 非均质流体： f x, y, z
dx
ux d
dy
uy d
dz
uz d
流率：单位时间内流体通过流动截面的量
[m/s]
※ 以流体的体积计量称为体积流率（流量，Vs）m3/s ※ 以质量计量称为质量流率（w），kg/s
计算：在流动截面上任取一微分面积dA，其点流速为ux，则通过该微元面积 的体积流率dVs？通过整个流动截面积A的体积流率Vs？
p0
0
流体静力学方程
p p0 gh
h p p0
g
※对于一定密度的液体，压力差与深度h成正比，故 液柱高度h可用来表示压力差的大小（mmHg,mH2O)
二、流体流动的基本概念
（一）流速与流率
流速：流体流动的速度，表示为 u u f (x, y, z, )
第二节 动量、热量与质量传递的类似性
1. 分子间动量传递
※ 牛顿粘性定律
dux
dy
2. 分子间热量传递 —— 热传导
※ 傅立叶定律
q k dt
A
dy
高温
低温
3. 分子间质量传递 ——分子扩散
※ 费克定律
jA
DAB
d A
dy
一、分子传递的基本定律
图0-1 McCabe-Thiele图
二、本课程的学习内容？
✓ 物理过程的速率和传递机理的探讨
• 动量传递
• 热量传递
• 质量传递
推动力：速度差 推动力：温度差 推动力：浓度差
第一章 传递过程概论
第一节 流体流动导论
※ 流体：气体和液体的统称
一、静止流体的特性 （一）流体的密度（ρ）
均质流体：
※ 非均质流体： f x, y, z
dx
ux d
dy
uy d
dz
uz d
流率：单位时间内流体通过流动截面的量
[m/s]
※ 以流体的体积计量称为体积流率（流量，Vs）m3/s ※ 以质量计量称为质量流率（w），kg/s
计算：在流动截面上任取一微分面积dA，其点流速为ux，则通过该微元面积 的体积流率dVs？通过整个流动截面积A的体积流率Vs？
p0
0
流体静力学方程
p p0 gh
h p p0
g
※对于一定密度的液体，压力差与深度h成正比，故 液柱高度h可用来表示压力差的大小（mmHg,mH2O)
二、流体流动的基本概念
（一）流速与流率
流速：流体流动的速度，表示为 u u f (x, y, z, )
化工传递过程基础(第三版)
(2)固体的应变与应力的作用时间无关，只要不超过弹性 极限，作用力不变时，固体的变形也就不再变化，当外力去除 后，形变也就消失；对于流体，只要有应力作用，它将连续 变形(流动)，当应力去除后，它也不再能恢复到原来的形状。
1.1流体的定义和特征
液体和气体虽都属于流体，但两者之间也有所不同。液体的 分子间距和分子的有效直径相当。当对液体加压时，只要分子 间距稍有缩小，分子间的排斥力就会增大，以抵抗外压力。所 以液体的分子间距很难缩小，即液体很难被压缩。以致一定质 量的液体具有一定的体积。液体的形状取决于容器的形状，并 且由于分子间吸引力的作用，液体有力求自己表面积收缩到最 小的特性。所以，当容器的容积大于液体的体积时，液体不能 充满容器，故在重力的作用下，液体总保持一个自由表面，通 常称为水平面。
1.4 与其他课程之间的联系 • 流体力学是继《高等数学》、《大学物理》《理论
力学》之后开设，同时又成为学习许多后续专业课 程计算流体力学和从事专业研究的必备基础。
• 高等数学要求复习掌握：微分（偏导数、导数）、 积分（曲面积分、定积分、曲线积分）、多元函数 的泰勒公式、势函数、微分方程。
• 理论力学要求复习掌握：质量守恒定律、能量守恒 定律、动量定律。
• 两个相邻流体层的动量传递
平衡过程和传递过程
2.热量传递过程： • 物体各部分存在温度差，热量由高温区向
低温区传递
平衡过程和传递过程
3. 质量传递：当体系中的物质存在化学势差 异时，则发生由高化学势区向低化学势区 域的传递
• 化学势的差异可以由浓度、温度、压力或 电场力所引起。常见的是浓度差引起质量 传递过程，即混合物种某个组分由高浓度 向低浓度区扩散
平衡过程和传递过程
• 传递过程：物理量向平衡转移 • 平衡状态：强度性质的物理量不存在梯度
1.1流体的定义和特征
液体和气体虽都属于流体，但两者之间也有所不同。液体的 分子间距和分子的有效直径相当。当对液体加压时，只要分子 间距稍有缩小，分子间的排斥力就会增大，以抵抗外压力。所 以液体的分子间距很难缩小，即液体很难被压缩。以致一定质 量的液体具有一定的体积。液体的形状取决于容器的形状，并 且由于分子间吸引力的作用，液体有力求自己表面积收缩到最 小的特性。所以，当容器的容积大于液体的体积时，液体不能 充满容器，故在重力的作用下，液体总保持一个自由表面，通 常称为水平面。
1.4 与其他课程之间的联系 • 流体力学是继《高等数学》、《大学物理》《理论
力学》之后开设，同时又成为学习许多后续专业课 程计算流体力学和从事专业研究的必备基础。
• 高等数学要求复习掌握：微分（偏导数、导数）、 积分（曲面积分、定积分、曲线积分）、多元函数 的泰勒公式、势函数、微分方程。
• 理论力学要求复习掌握：质量守恒定律、能量守恒 定律、动量定律。
• 两个相邻流体层的动量传递
平衡过程和传递过程
2.热量传递过程： • 物体各部分存在温度差，热量由高温区向
低温区传递
平衡过程和传递过程
3. 质量传递：当体系中的物质存在化学势差 异时，则发生由高化学势区向低化学势区 域的传递
• 化学势的差异可以由浓度、温度、压力或 电场力所引起。常见的是浓度差引起质量 传递过程，即混合物种某个组分由高浓度 向低浓度区扩散
平衡过程和传递过程
• 传递过程：物理量向平衡转移 • 平衡状态：强度性质的物理量不存在梯度
传递过程基础总结
cp k
Pr 同时存在动量、热量传递 。
DAB
DAB
k c p DAB
Sc 同时存在动量、质量传递 。 Le 同时存在热量、质量传递 。
DAB
若三个数均等于 1，则表示同时进行的两种传递过程可以类比。 3、传递过程、分子传递和涡流传递概念。 传递过程——质量、能量、动量等具有强度性质的物理量可由高强度向低强
化工传递过程基础总结
化研 1205 班
宁鹏
4、势函数的定义式、势函数存在的判据。 ①定义：对于不可压缩流体的平面二维流动，若存在速度势 ( x, y ) ，且满足
u x u y x y
，则 ( x, y ) 称为势函数。
②存在的判据：理想流体做无旋运动，或有势运动时，势函数存在判断旋度 u u x y 。 为 0 的方法：二维 y x
因为 y 0时，u x umax ，所以 umax
y 2 从而得出： u x umax 1 y 0
1 p 2 y0 2 x
第 4 页 共 28 页
化工传递过程基础总结
化研 1205 班
宁鹏
若在 x 方向取单位宽度的流通截面 A 2 y0 1 ，则通过该界面的体积流率 Vs 为： Vs u x dy 2 u x dy
1、什么是欧拉研究方法？ 在流场内某一固定位置， 找一固定体积的流体微元，但该微元的质量可随时 间改变， 观察者分析该流体微元的流动状态，并由此获得整个流场流体运动的规 律。 特点：流体微元的位置和体积不随时间变化，而质量随时间变化。 2、什么是拉格朗日研究方法？ 在流场内选择一固定质量的流体微元，观察者追随流体微元一起运动，并研 究其运动规律，据此获得整个流场内流体的运动规律。 特点：流体微元的质量不随时间变化，而而位置和体积随时间改变。 3、随体导数、全导数、偏导数的定义式和物理意义。 以流体密度ρ为例： 定义式： 偏导数： 全导数：
《自动控制原理》第二章传递函数
输出信号的拉氏变换 传递函数 = 输入信号的拉氏变换 零初始条件
C ( s) G(s) = R( s)
autocumt@ 1 中国矿业大学信电学院
一、 传递函数的定义和主要性质
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述： 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
dn d n −1 d a 0 n c (t ) + a1 n −1 c (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1 c (t ) + a n c (t ) dt dt dt d m −1 d dm = b0 m r (t ) + b1 m −1 r (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + bm −1 r (t ) + bm r (t ) dt dt dt
autocumt@
15
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自动控制原理
4、振荡环节
特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个 包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时， 包含两个独立的储能元件 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。
z1 n 2 (t) = n1 (t) z2
G(s) = N 2 (s) z1 = =K N1 (s) z 2
传递函数： 传递函数：
autocumt@
9
中国矿业大学信电学院
其它一些比例环节
自动控制原理
R2 R1
r (t )
Ec
R
c (t )
ic (t )
r1
r2
r (t )
c(t )
C
例：积分电路 积分电路
i1 (t )
R1
控制工程基础4-第2章 (数学模型-2：传递函数)
第三节 传递函数
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统
计算机控制技术第2章 Z变换及Z传递函数(2)讲解
Y (z)
1
1 5z1
6 z 2
z z11 2Fra bibliotekzz 1
4
z
z
2
9 2
z
z
3
第2章 Z变换及Z传递函数
取Z反变换得
yk 1 42k 9 3k
2
2
1 (3k2 2k2 ) 2
第2章 Z变换及Z传递函数
实例--试求下列函数的Z反变换
F(z) z z 0.2
f (kT ) (0.2)k
或
y(k) [b0u(k) b1u(k 1) bmu(k m)] [a1y(k 1) a2 y(k 2) an y(k n)]
第2章 Z变换及Z传递函数
上式称为n阶线性定常离散系统的差分方 程，其中ai、bi由系统结构参数决定，它是描述 计算机控制系统的数学模型的一般表达式，对 于实际的应用系统，根据物理可实现条件，应 有k≥0。当k＜0时，y(k)=u(k)=0。
则：
fi (kT )
1
ai z z zi
i 1, 2, , n
n
f * (t) fi (kT) (t kT) k 0 i1
第2章 Z变换及Z传递函数
3 留数法
设已知Z变换函数F(z)，则可证明，F(z)的Z 反变换f(kT)值，可由下式计算
f (kT ) 1 F (z)
1
在某一采样时刻的输出值y(k)不但与该时刻的输入 u(k)及该时刻以前的输入值u(k-1)，u(k-2)，…，u(k-m)有 关，且与该时刻以前的输出值y (k-1)，y (k-2)，…，y(kn)有关，即：
y(k) a1y(k 1) a2 y(k 2) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1) bmu(k m)
第二章 传递过程基本方程
第二章传递过程基本方程动量传递热量传递质量传递模型化共同规律化工单元操作传递过程的主要理论基础质量守恒动量守恒能量守恒现象方程描述系统的状态描述过程的速率传递现象理论使化学工程从经验与技艺发展成为一门工程科学控制体（control volume ）与控制面守恒原理的运用都是针对一定体系而言控制体控制体通过控制面与环境（环绕控制体的流体或相界面）进行质量、动量和能量交换。
控制体：流动空间任一坐标位臵处具有一定几何形状与大小的开放体系。
控制面：围成控制体的空间曲面。
控制体的大小控制体的取法(1) 代表性：基于控制体建立的传递过程微分方程应该在整个流动空间连续可积(2) 对称性与正交性：尽可能使控制面的法线与坐标轴平行或正交，使其模型简化、减小求解的难度。
宏观：例，一段管道、一台设备、甚至整个生产装臵宏观衡算只能得到空间平均的结果微观：数学意义上的微元体积 V微观(或微分)衡算建立微分方程，才能表达流体内部传递现象的规律，求得流场的分布函数。
空间平均的结果很容易从分布函数求平均得到xzy∆z∆y∆x o不同坐标系下的微元控制体常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系(x,y)(y,z)u y u zu x直角坐标系（Cartesian coordinates ）：x ，y ，zz∆z∆θ∆roθ= 0rθu zu θu rz∆θ∆roθ= 0θφ= 0φ∆φr u ru θu φ质量守恒与连续性方程质量守恒定律（Mass conservation ）输入控制体输出控制体控制体内生成控制体内质量－＋＝的质量速率的质量速率的质量速率的累积速率ni tm r W W ii out i in i ,...,2,1d d ,,==+-())(d d 11,,∑=-∑ninouti in i m t W W控制体内生成的质量速率和消耗的质量速率相等1i =∑nr tmW W out in d d =-传递过程与化学反应过程都必须服从质量守恒定律。
传递过程基本方程
传递过程基本方程
其中，动量方程是机械力学中的基本方程，它用来描述物体总动量的变化，它可以用来描述动力学中物体的运动规律和力学问题。
具体来讲，它可以表达为：
$$\frac{d\mathbf{P}}{dt}=\mathbf{F}$$
其中，$\mathbf{P}$是物体的总动量，$\mathbf{F}$是作用于物体的所有外力的合力，$t$是时间。
它是物体运动规律的基本方程。
质量守恒方程是物理学中的基本方程，它表示物质不会消失或增加。
它可以表达为：
$$\frac{\partial \rho}{\partial
t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{u})=0$$
其中，$\rho$为物质的密度，$t$为时间，$\mathbf{u}$为物质运动速度，$\nabla$为微分算子。
它表明物质的量不变，物质的流量为
$\rho\mathbf{u}$。
能量守恒方程是能源和动力学的基本方程，它描述了系统的能量变化规律。
它可以表达为：
$$\frac{\partial E}{\partial
t}+\nabla\cdot(\mathbf{u}E)+\nabla\cdot(\mathbf{P})=\mathbf{S}$$其中，$E$为物质的总能量，$t$为时间，$\mathbf{u}$为物质运动速度，$\mathbf{P}$为内部压强，$\mathbf{S}$为能量外源。
它表明物质的总能量是绝对守恒的，外源能量要与系统能量的变化相等。
《控制工程》传递函数
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1相加点c前移再相加点交换第二章传递函数2内环简化3内环简化1g1g2h1图2321g1g2h1g2g3h2图2334总传递函数1g1g2h1g2g3h2g1g2g3图2341分支点e前移h2g3h1图230第二章传递函数2内环简化3内环简化g2图236第二章传递函数4总传递函数图238含有多个局部反馈的闭环系统中当满足下面条件时1只有一条前向通道2各局部反馈回路间存在公共的传递函数方块递函数之和每一反馈回路的开环传结论
i
式中：a n…a 0, b m…b 0 均为常系数
x 0 (t)为系统输出量，x i(t)为系统输入量
第二章 传递函数 若输入、输出的初始条件为零，即 (K ) x 0 (0 ) 0 K = 0, 1 ,…, n－1
x i(
K)
(0 ) 0
K = 0, 1 ,…, m－1
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t ) 对微分方程两边取拉氏变换得： bm x(i m)( t ) + bm 1 x( m 1)( t ) + L + b0 xi( t )
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
南京工业大学传递工程第2章 传递过程导论精要
牛顿粘性定律（Newton’s law）
yx
( u x ) ux v y y
动量密度
傅立叶定律（Fourier’s law）
( C pT ) T q y k y y
能量密度
费克定律（Fick’s law）
j Ay D AB A y
过程中物理量随时间变化为非稳定场，数学
表达式，如上式所示。
稳定场（定常场）稳定场物理量不随时间变化。
数学表达式为：
u u( x , y , z )
u( x , y , z ) 0 t
或
均匀场
过程中物理量可能随时间变化。
数学表达式为：
u u( t )
一维过程的数学特征：
i j k x y z
哈密尔顿算子是一个矢性、微分算子， 它具有矢量和微分双重性质。 在课程中，有关哈密尔顿算子的运算有下面三种形式:
① 作用在数性函数（如温度T）上，称为梯度， 表示为:
T T T T i j k x y z
控制体（C.V.）是由称为控制面（C.S.）的封闭
边界面围成。
在传递过程中：控制体是指流体在流动过程中所通
过的一个固定不变的空间区域。
原则上讲以上两种研究对象所得方程是一致，因此都
可采用。但在大多数传递过程中，控制体法似乎要更 方便些。
举例 —— 研究对象的选取
ห้องสมุดไป่ตู้
图a 汽缸—活塞装置
若研究汽缸内的气体压缩、膨胀等传递情况， 请问对图a采用哪种研究对象（方法）更为方 便？
A y
质量密度
kg m3
通量 传递系数 密度梯度
三种量的分子传递，它们的唯象律具有同一形式
yx
( u x ) ux v y y
动量密度
傅立叶定律（Fourier’s law）
( C pT ) T q y k y y
能量密度
费克定律（Fick’s law）
j Ay D AB A y
过程中物理量随时间变化为非稳定场，数学
表达式，如上式所示。
稳定场（定常场）稳定场物理量不随时间变化。
数学表达式为：
u u( x , y , z )
u( x , y , z ) 0 t
或
均匀场
过程中物理量可能随时间变化。
数学表达式为：
u u( t )
一维过程的数学特征：
i j k x y z
哈密尔顿算子是一个矢性、微分算子， 它具有矢量和微分双重性质。 在课程中，有关哈密尔顿算子的运算有下面三种形式:
① 作用在数性函数（如温度T）上，称为梯度， 表示为:
T T T T i j k x y z
控制体（C.V.）是由称为控制面（C.S.）的封闭
边界面围成。
在传递过程中：控制体是指流体在流动过程中所通
过的一个固定不变的空间区域。
原则上讲以上两种研究对象所得方程是一致，因此都
可采用。但在大多数传递过程中，控制体法似乎要更 方便些。
举例 —— 研究对象的选取
ห้องสมุดไป่ตู้
图a 汽缸—活塞装置
若研究汽缸内的气体压缩、膨胀等传递情况， 请问对图a采用哪种研究对象（方法）更为方 便？
A y
质量密度
kg m3
通量 传递系数 密度梯度
三种量的分子传递，它们的唯象律具有同一形式
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z
uz
(y,z) y
z
ux
y
uy x
o
x
(x,y)
柱坐标系下的微元控制体
= 0
z
z u
o
r
uz
r z
ur
球坐标系下的微元控制体
= 0
= 0
u r o
ur
r
u
质量守恒与连续性方程
质量守恒定律 （Mass conservation） 若控制体内的流体包含 n 个组分，对任一组分 i 进行 质量衡算，都会有 ：
uy
z
uz
V
dV
t
V
ux
x
u y
x
uz
x
dV
t
V
dV
V
ux
x
u y
x
uz
x
dV
V
ux
x
u y
x
uz
x
dV
A
undA
ρ2
u2
V
A2
ρ1
u1
A1
undA u cosdA 1u1cos1dA 2u2cos2dA A22u2 A11u1
A
A
A1
A2
t
dV
V
d dt
dV
xx, xy, xz yx, yy, yz zx, zy, zz
其中xx、yy、zz为粘性正应力
其余为粘性剪应力
下标：前一个代表作用面的法线方向 后一个代表该应力本身的方向
粘性剪应力与动量扩散通量等价 粘性正应力也具有类似性质
z
(uz)ux|z+Z
(uy)ux|y
(ux)ux|x
(ux)ux|x+x
输入控制体 － 输出控制体 ＋ 控制体内生成 ＝ 控制体内质量
的质量速率 的质量速率
的质量速率
的累积速率
W i,in
W i,out
ri
dmi dt
i 1,2,...,n
n
控制体内生成的质量速率和消耗的质量速率相等 ri 0 1
n
1
Wi,in Wi,out
d dt
n
(
1
mi
)
Win
Wout
V
d mV
dt
dM dt
不稳定流动系统的连续性方程
A2 2u2
A11u1
dM dt
稳定流动系统的连续性方程
A2 2u2 A11u1
不可压缩流体的连续性方程 圆管流动的连续性方程
A2u2 A1u1
u2
u1
A1 A2
u1
d1 d2
2
动量守恒与流体运动微分方程
动量守恒定律
牛顿第二定律
d
mur
r F
t
lim
x , y , z
0
(
ux
)
x
x x
(
u
x
)
x
(u y ) yy (u y ) y
y
(uz )zz (uz )z
z
连续性方程
t
x
ux
y
uy
z
uz
u
代表空间任意点处由流体质量通量 u 的空间变化率引起
该点处流体密度随时间的变化率。
(u) 代表的流体质量通量的空间变化率又被称作质量通
uzux z uzux zz xy
六个面元扩散输入控制体的x方向的动量分量
xx x xx xx yz yx y yx yy xz zx z zx zz xy
作用于控制体的所有外力在x方向的分量的总和为
p x p xx yz gxxyz
x 方向的动量分量在控制体内的累积速率为
控制体的取法 代表性：在整个流场连续可积 对称性：
控制体
正交性： 大小形状：宏观、微观 坐标系 直角坐标系、柱坐标系、球坐标系
不同坐标系下的微元控制体
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系
直角坐标系（Cartesian coordinates）：x，y，z 柱坐标系（Cylindrical coordinates）：r，，z 球坐标系（ Spherical coordinates）：r，，
x
uy
y
uz
z
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ux
ux x
uy y
uz z
t
ux
x
uy
y
uz
z
Dux Dt
ux
u
D Dt
x方向
Dux Dt
xx
x
不同坐标系中的连续方程
直角坐标系(x,y,z)
t
x
ux
y
uy
z
uz
0
柱坐标系(r, ,z)
t
1 r
r
r
ur
1 r
u
z
uz
0
球坐标系(r,, )
t
1 r2
r
r2ur
1
r sin
u sin
1
r sin
u
0
【例2-1】 变直径管道中流体流动的连续性方程
t
x
ux
y
ux xyz
t
上四式代入动量衡算总式，以xyz通除并取其趋 于0极限，得流体在x方向运动微分方程
t
ux
x
uxux
y
u y u x
z
u
zux
xx x
yx y
zx z
p x
g
x
ux t
ux
t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ux
ux x
uy y
uz z
uxux
dm dt
流体的速度和密度是空间与时间的连续函数
ux, y, z,t x, y, z,t
z
(uz)z+z
(uy)y
(ux)x
y
z
y x
(ux)x+x
(ux)y+y
x
(uz)z
xyz
t
yz(ux )x
(ux )xx
xz (uy )y (uy )yy xy (uz )z (uz )zz
(uy)ux|y+y (uz)ux|z
x
y
动量通量
z
τxx|x
y
τz x|z + Δz τzx|z
τyx|y τxx|x+Δx
τyx|y+Δy
x
控制体以对流和扩散方式与周围流体交换动量 六个控制面 x 方向对流输入控制体的动量分量
uxux x uxux xx yz
uyux y uyux yy xz
dt
微元控制体流体动量守恒定律
输入控制体
输出控制体
作用在控制体
控制体内动量
－
＋
＝
的动量流率
的动量流率
上的合力
的累积速率
▪ 控制体受力
体积力 压力 表面力
z
9
7
8
3
z
6
1
2
5 4 y
x x
y
1-xx 2-xy 3-xz 4-yx 5-yy 6-yz 7-zx 8-zy 9-zz
9个粘性应力分量
表面力 9个分量
第二章 传递过程基本方程
第二章 传递过程基本方程
▪ 衡算体系 ▪ 质量守恒与连续性方程 ▪ 动量守恒与流动微分方程 ▪ 能量守恒与传热微分方程 ▪ 质量守恒与传质微分方程
衡算体系
控制体与控制面 流动空间具有一定几何形状与大小的开放体系称为控 制体，围成控制体的空间曲面称为控制面 控制体通过控制面与环境进行质量、动量和能量交换
量的散度，其物理意义可以理解为空间某点处单位体积内 流体质量的流散速率。
连续性方程
t
ux
x
uy
y
uzuz z
D u
Dt
流体密度的随 体导数
体积通量(或速度矢量) u 的散度，物理意义为空间某点 处单位体积流体的体积形变 （扩张或收缩）速率
连续性方程是传递过程最基本的方程之一，推导过程未加 假设，因此对各种流体在各种情况下都适用。