高中三角函数专题练习题(及答案)

高中三角函数专题练习题（及答案）
一、填空题
1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛
⎫=⋅+- ⎪⎝
⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m
-的最小值是________．
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34
A π
=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．
3．在ABC 中，7AB =，23BC =，1
cos 7
BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π
3
BDC ∠=
．给出下列三个结论：①BCD △的面积有最大值，且最大值为3；②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π
3
．其中正确结论的序号为______．
4．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数且2C A =，则b =__________．
5．平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均相等，1160BAD DAA A AB ∠=∠=∠=，直线1AC ⋂平面1A BD E =，则异面直线1D E 与AD 所成角的余弦值为_________.
6．意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了
这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为()e e cos 2
x x
h x -+=，并称其为双曲余弦函
数．若()()cos sin cos cos sin cos h h m θθθθ+≥-对0,2πθ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，则实数m 的取值范
围为______．
7．在ABC 中，AB BC ≠，O 为ABC 的外心，且有23
AB BC AC +=
，sin (cos 3)cos sin 0C A A A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．
8．在角1θ，2θ，3θ，…，29θ的终边上分别有一点1P ，2P ，3P ，…，29P ，如果点k P 的坐标
为()()()sin 15,sin 75k k
-+，129k ≤≤，k ∈N ，则
12329cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______
9．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则
1
1
λ
μ
+
=__________；ADE 与
ABC 周长之比的取值范围为__________．
10．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==
，12
n n n a b
c ++=，则n A ∠的最大值是________________. 二、单选题
11．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ）
A ．若12θθ=，则AC BC =
B ．若12θθ≠，则121tan tan 2
θθ⋅= C ．θ可能值为6
π
D ．当θ取值最大时，12θθ= 12．已知O 是三角形ABC 的外心，若
()
22AC AB
AB AO AC AO m AO AB AC
⋅+⋅=，且
sin sin B C +=，则实数m 的最大值为（ ）
A ．3
B ．35
C ．75
D ．32
13．已知函数()132,f x x x R =∈，若当02
π
θ≤≤时，(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实
数m 的取值范围是（ ） A ．0,1 B ．
,0
C ．1,
D ．(),1-∞
14．已知,42ππα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，,32ππβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
sin αβαβ=+，则tan()αβ-=
（ ）
A
B ．1
C ．2+
D 2
15．如图，在正方体ABCD EFGH -中，P 在棱BC 上，BP x =，平行于BD 的直线l 在正方形EFGH 内，点E 到直线l 的距离记为d ，记二面角为A l P --为θ，已知初始状态下
0x =，0d =，则（ ）
A ．当x 增大时，θ先增大后减小
B ．当x 增大时，θ先减小后增大
C ．当d 增大时，θ先增大后减小
D ．当d 增大时，θ先减小后增大
16．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0
B ．4
C ．12
D ．16
17．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+><< ⎪⎝
⎭，
66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，下列四个结论： ①4
π
ϕ=
②9
3()2
k k N ω=
+∈ ③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
④直线3
x π
=-
是()f x 图象的一条对称轴
其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
18．设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,33
A a π
=2b 2c bc ++的
取值范围为（ ） A ．(1，9] B ．(3，9] C ．(5，9]
D ．(7，9]
19．已知1F ，2F 分别是双曲线
22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(21,)+∞
B ．(12,)+∞
C ．(1,1
2)
D ．(31,)+∞
20．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126
F PF π
∠=，
记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则12
12
e e e e +⋅的最大值为 A ．4
B ．2
C ．83
D ．
163
三、解答题
21．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．
（1）当4
PAQ π
∠=
时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；
（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
22．已知函数2()232sin cos ()f x x x x a a R =-++∈，且(0)3f = （1）求a 的值；
（2）若()f x ω在[0,]π上有且只有一个零点，0>ω，求ω的取值范围. 23．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且22b c ac =+， （1）求证：2B C =；
（2）若ABC ∆是锐角三角形，求a
c
的取值范围.
24．已知向量33cos ,sin 22x a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫- ⎪⎝=⎭，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
.
（1）用含x 的式子表示a b ⋅及a b +； （2）求函数的()f x a b a b =⋅-+值域.
25．函数2
11()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭，2
2ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点
1,64π⎛⎫
⎪⎝⎭
（1）求ϕ值；
（2）将()y f x =的图像左移
8π个单位后得到()y g x =，求()g x 在,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少？
26．已知函数22()sin 22sin 26144f x x t x t t ππ⎛
⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,242x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，最小值为
()g t .
（1）求当1t =时，求8f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
（2）求()g t 的表达式； （3）当1
12
t -
≤≤时，要使关于t 的方程2()9g t k t =-有一个实数根，求实数k 的取值范围. 27．已知函数()()23
3cos sin cos 02
f x x x x ωωωω=+-
>的最小正周期为π.将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象.
（1）求ω的值及函数()g x 的解析式； （2）求()g x 的单调递增区间及对称中心
28．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()22
2sin S
B C a c +=
-． （1）证明：2A C =；
（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围． 29．已知函数2()2cos 23sin cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若()f x 在区间,6m π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的值域为[]0,3，求m 的取值范围.
30．函数f （x ）=A sin （2ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2
π
）的部分图象如图所示 （1）求A ，ω，φ的值；
（2）求图中a ，b 的值及函数f （x ）的递增区间； （3）若α∈[0，π]，且f （α）=2，求α的值．
【参考答案】
一、填空题
1．3
π
2．⎝ 3．①③ 4．10
5．56
6．1⎡⎤⎣⎦
7．4333
-
8．0
9． 3 21,32⎡⎢⎣⎦ 10．π
3
##60°
二、单选题 11．C 12．D 13．D 14．D 15．C 16．C 17．B 18．D 19．B 20．A 三、解答题
21．（1
）
S =
⎝
⎭花卉种植面积0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
]
；最小值为)
100001 （2）
PAQ ∠是定值，且4
PAQ π
∠=
．
【解析】 【分析】
（1）根据三角函数定义及4
PAQ π
∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α
表示出S 花卉种植面积，
（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】
（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4
PAQ π
∠=
，
∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫
=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积 11
22
AB BP AD DQ =
⋅+⋅ 11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭
(
)
5000
cos sin cos ααα=
=
+⎝⎭
，其中0,4πα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦ ∴当sin 214πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭时，
即8
π
α=时，S
)100001
=．
（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，， 则100100BP x DQ y =-=-，， 在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100
y
β-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xy
αβ
αβαβ-+++=
=-⋅+-，
∵PB DQ PQ +=，
∴100100x y -+-=100200
xy
x y +=+
，
∴()20000100100100002002tan 1
100001001002
200xy xy
xy xy xy αβ⎛
⎫-⨯+-
⎪⎝⎭+=
==⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭
， ∴4
π
αβ+=
，
∴PAQ ∠是定值，且4
PAQ π
∠=．
【点睛】
本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题. 22．（1
）a =（2）15,36⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
（1）利用降次公式、辅助角公式化简()f x
表达式，利用(0)f =a 的值. （2）令()0f x ω=，结合x 的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得ω的取值范围. 【详解】
（1
）2()2sin cos f x x x x a =-++
sin 2x x a =+
2sin 23x a π⎛
⎫=++- ⎪⎝
⎭
(0)f =
(0)2sin
3
f a π
∴=+=
即a =
（2）令()0f x ω=，则sin 203x πω⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
[0,]x π∈，2,2333π
ππωπω⎡⎤∴+
∈+⎢⎥⎣⎦
，
()f x 在[0,]π上有且只有一个零点，
223
π
ππωπ∴+
<，15
36
ω∴
<， ω∴的取值范围为
15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
23．（1）证明见解析；（2）(1,2) 【解析】
【分析】
（1）由22b c ac =+，联立2222cos b a c ac B =+-⋅，得2cos a c c B =+⋅，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案； （2）利用正弦定理和2B C =，得2cos 21a
C c
=+，再确定角C 的范围，即可得到本题答案. 【详解】
解：（1）锐角ABC ∆中，22b c ac =+，故由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-⋅，
2222cos c ac a c ac B ∴+=+-⋅，
22cos a ac ac B ∴=+⋅，即2cos a c c B =+⋅，
∴利用正弦定理可得：sin sin 2sin cos A C C B =+， 即sin()sin cos sin cos sin 2sin cos B C B C C B C C B +=+=+，
sin cos sin sin cos B C C C B ∴=+，
可得：sin()sin B C C -=，
∴可得：B C C -=，或B C C π-+=（舍去），
2B C ∴=.
（2）
2sin sin()sin(2)2cos cos22cos21sin sin sin a A B C C C C C C c C C C
++====+=+A B C π++=，
,,A B C 均为锐角，由于：3C A π+=，
022
C π
∴<<
，04
C π
<<
.
再根据32
C π
<，可得
6
C π
<，
6
4
C π
π
∴
<<
，
(1,2)a
c
∴∈ 【点睛】
本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题. 24．（1）cos 2x a b ⋅=；2cos a b x +=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）()3,12f x ⎡⎤
∈--⎢⎥⎣⎦
【解析】
（1）根据平面向量数量积的坐标表示以及三角恒等变换公式可得a b ⋅，根据a b +=2||a b +可求得结果；
（2）利用二倍角的余弦公式化为关于cos x 的二次函数可求得结果. 【详解】
（1）因为向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 所以2
3||cos 1a =，2||cos 12x b ==，
所以333cos
cos sin sin cos()cos 2222222
x a x x b x x x
x -=+==⋅， ()222
2212cos 2121cos 24cos a a b b x a b x x =+⋅+=++++==，
2cos a b x +=，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
；
（2）()2
cos22cos 2cos 2cos 1x x x f x x =-=--，
又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]cos 0,1x ∈，()3,12f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了求平面向量的模，考查了二倍角的余弦公式，考查了整体换元化为二次函数求值域，属于基础题. 25．（1）0ϕ=
（2）当4
x π
=时，min ()g x =；当8x π=-时，max 1()2g x =
【解析】 【分析】
（1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-，结合函数过点1,64π⎛⎫
⎪
⎝⎭
和,22ππϕ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
即可求解具体ϕ值；
（2）根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，由,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x π
ππ⎡⎤
+
∈-⎢⎥⎣⎦
，再结合余弦函数性质即可求解 【详解】
（1）11cos 21
()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+
⋅- 11
sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1
cos(2)2
x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11cos 423πϕ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
23
3
k π
π
ϕπ∴
-=
+或2()3
k k Z π
π-
+∈
又,22ππϕ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，0ϕ∴=
（2）由（1）知 1
()cos 22
f x x =
，
11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 32,444x π
ππ⎡⎤+
∈-⎢⎥⎣⎦
当324
4x π
π+=
时，即4x π=
时，min ()4
g x = 当204
x π
+
=时，即8x π
=-
时，max 1
()2
g x = 【点睛】
本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题
26．（1）4-（2）22515421()61
1282(1)
t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪
⎪⎝⎭⎪⎪
⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎪-+>⎪⎩（3）--22∞⋃+∞（，）（，） 【解析】 【分析】
（1）直接代入计算得解；（2）先求出1
sin(2)[,1]42
x π-∈-，再对t 分三种情况讨论，结合
二次函数求出()g t 的表达式；（3）令2()()9h t g t k t =-+，即2()(6)t 10h t k =-++有一个实数根，利用一次函数性质分析得解. 【详解】
（1）当1t =时，2()sin 22sin 2444f x x t x ππ⎛
⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以
48f π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. （2）因为[
,]242x ∈ππ
，所以32[,]464x πππ-∈-，所以1
sin(2)[,1]42
x π-∈- 2()[sin(2)]614
f x x t t π=---+（[,]242x ∈ππ
）
当12t <-时，则当1sin(2)42x π-=-时，2
min 5[()]54
f x t t =-+
当112t -
≤≤时，则当sin(2)4
x t π
-=时，min [()]61f x t =-+ 当1t >时，则当sin(2)14
x π-=时，2
min [()]82f x t t =-+
故22515421()61
1282(1)
t t t g t t t t t t ⎧⎛
⎫-+<- ⎪
⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎪-+>⎪⎩
（3）当1
12
t -
≤≤时，()61g t t =-+，令2()()9h t g t k t =-+即2()(6)t 10h t k =-++ 欲使2
()9g t kt =-有一个实根，则只需1()02(1)0h h ⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩或1()0
2(1)0h h ⎧
-≥⎪⎨
⎪≤⎩ 解得-2k ≤或2k ≥.
所以k 的范围：--22∞⋃+∞（，）（，）. 【点睛】
本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
27．（1）1ω=，()2sin()23x g x π=+；（2）单调递增区间为54,433k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈，对称中心为2(2,0)()3
k k π
π-∈Z . 【解析】 【分析】
（1）整理()f x 可得：()sin(2)3f x x π
ω=+，利用其最小正周期为π即可求得：1ω=，即
可求得：()sin(2)3f x x π
=+，再利用函数图象平移规律可得：()2sin()23
x g x π=+，问题得
解. （2）令222
232
x k k π
ππ
ππ-
≤
+≤+，k Z ∈，解不等式即可求得()g x 的单调递增区间；令23
x k π
π+=，k Z ∈，解方程即可求得()g x 的对称中心的横坐标，问题得解. 【详解】 解：（1
）1()2sin 2sin(2)23
f x x x x πωωω=+=+， 由
22π
πω
=,得1ω=. 所以()sin(2)3
f x x π
=+.
于是()y g x =图象对应的解析式为()2sin()23
x g x π
=+.
（2）由222
232
x k k πππ
ππ-
≤
+≤+,k Z ∈得 54433
k x k ππ
ππ-
≤≤+，k Z ∈ 所以函数()g x 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈. 由23x k π
π+=，解得22()3
x k k ππ=-
∈Z .
所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3
k k π
π-∈Z . 【点睛】
本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题． 28．（1）见解析；（2
）2⎫
⎪⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可． 【详解】
(1)证明：由()2
22sin S B C a c +=-，即222sin S
A a c
=-， 22sin sin bc A A a c
∴=
-，sin 0A ≠，22
a c bc ∴-=， 2222cos a
b
c bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-，
22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，
sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，
()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=， ()sin sin A C C ∴-=，
A ，
B ，()0,
C π∈，2A C ∴=． (2)解：
2A C =，3B C π∴=-，
sin sin3B C ∴=．
sin sin a b A B =且2b =， 2sin2sin3C
a C
∴=
， ()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 3
2sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C C
C C
∴======+++--，
ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪
⎝⎭⎪
⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎪⎛⎫
∈⎪
⎪⎝⎭⎩
，
,64C ππ⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭
，tan C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭
， 4
3tan tan S C C
=
-为增函数，
2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭
．
【点睛】
考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．
29．(Ⅰ) (),,36ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦k k k Z (Ⅱ) 62ππ≤≤m
【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为π2sin 216x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间;
(Ⅱ) 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
，可得7 2266
m πππ
≤+≤，从而可得结果.
【详解】
（Ⅰ）()2
2f x cos
x =+
πcos212sin 216x x x ⎛
⎫=+=++ ⎪⎝
⎭，
由()222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈得(),3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
所以，()f x 的单调递增区间是(),,36k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()π2sin 216f x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭.
因为π,6x m ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，所以π2,2666x m ππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦.
要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
. 所以
722
6
6m π
π
π≤+
≤
，即62
m ππ
≤≤. 【点睛】
本题主要考查二倍角公式、辅助角公式的应用以及三角函数的单调性、三角函数的值域，属于中档题. 函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整
体，由22
k x π
πωϕ+≤+≤
()322
k k Z π
π+∈求得函数的减区间，222
2
k x k π
π
πωϕπ-
+≤+≤
+求得增区间.
30．（1）π2,1,6A ωϕ===；（2）7π,112a b =-=，递增区间为()πππ,π36k k k Z ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦；
（3）
π24或7π24
. 【解析】 【分析】
（1）利用函数图像可直接得出周期T 和A ，再利用=2T
π
ω，求出ω，
然后利用待定系数法直接得出ϕ的值．
（2）通过第一问求得的值可得到()f x 的函数解析式，令()=0f x ，再根据a 的位置确定出a 的值；令0x =得到的函数值即为b 的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间．
（3）令()f α=0απ，即可求得α的取值．
【详解】
解：（1）由图象知A =2，34T =512π-（-3π）=912
π， 得T =π， 即
22π
ω
=2，得ω=1， 又f （-
3π）=2sin[2×（-3π
）+φ]=-2， 得sin （-23
π
+φ）=-1，
即-
23π
+φ=-2
π+2k π， 即ω=
6π
+2k π，k ∈Z ， ∵|φ|＜2
π
，
∴当k =0时，φ=6π
，
即A =2，ω=1，φ=6
π
；
（2）a =-3π-4T =-3π-4π=-712
π
，
b =f （0）=2sin 6
π=2×1
2=1，
∵f （x ）=2sin （2x +6
π
）， ∴由2k π-2π≤2x +6π≤2k π+2π
，k ∈Z ，
得k π-3π≤x ≤k π+6
π
，k ∈Z ，
即函数f （x ）的递增区间为[k π-3π，k π+6π
]，k ∈Z ；
（3）∵f （α）=2sin （2α+6
π
）
即sin （2α+
6π） ∵α∈[0，π]，
∴2α+6π∈[6
π，136π
]， ∴2α+6π=4π或34π，
∴α=
24
π或α=
724
π
．
【点睛】
关于三角函数图像需记住： 两对称轴之间的距离为半个周期； 相邻对称轴心之间的距离为半个周期；
相邻对称轴和对称中心之间的距离为1
4
个周期．
关于正弦函数单调区间要掌握：
当2,222x k k ππωϕππ⎡
⎤+∈-+⎢⎥⎣
⎦时，函数单调递增；
当32+,222x k k ππωϕππ⎡
⎤+∈+⎢⎥⎣
⎦时，函数单调递减．。